GEOMETRIA ANALITYCZNA

Należy powtórzyć:

• odległość dwóch punktów, współrzędne i długość wektora;

• dodawanie i odejmowanie wektorów, mnożenie wektora przez liczbę, iloczyn skalarny wektorów;

• warunek równoległości oraz warunek prostopadłości wektorów;

• równanie ogólne i kierunkowe prostej, odległość punktu od prostej i odległość prostych równoległych;

• warunek równoległości oraz warunek prostopadłości prostych;

• równanie okręgu, wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów;

• wektorowe określenie symetrii środkowej i osiowej, jednokładności, translacji;

• izometria;

• przekształcanie wykresu funkcji;

• własności miarowe w trójkątach i czworokątach.

1. Dane są punkty A=(-3, -2), B=(3, 1), C=(2, 0). Oblicz współrzędne i długość wektora
   .

2. Dane są punkty A=(-1, 2), B=(3, 1), C=(0, - 2) oraz D=(2a, b - 3). Dla jakich a oraz b zachodzi:


b) wektor
jest wektorem zerowym.

3. Dane są punkty wierzchołki trójkąta: A=(-1, 3), B=(0, 2), C=(-4, 0). Sprawdź czy trójkąt ABC jest prostokątny? Oblicz iloczyn skalarny
   

4. Dane są wektory
   . Wyznacz k i m, dla których wektory te są:

a) równe; b) równoległe; c) prostopadłe.

5. Oblicz obwód i pole trójkąta ABC, gdzie A=(-4, -1), B=(-1, 4), C=(2, 0).

6. W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznacz zbiory A, B oraz
   

7. Dane są: I. okrąg o₁: x²+2x+y²-3=0, II. okrąg o₂: (x-1)²+(y+2)²=0, III. prosta x+2y-3=0.

Określ wzajemne położenie okręgów oraz prostej względem każdego z okręgów.

8. Wyznacz równanie stycznej do okręgu (x+2)² + (x-3)² =4 w x_o= - 1.

9. Dla jakich wartości parametru m prosta y=mx jest styczna do okręgu (x+1)²+(y-2)² = 1?

10. Czy w czworokąt o wierzchołkach: A=(-2, -2), B=(-1, 2), C=(3, 0), D=(1,-2) można wpisać okrąg?

11. Napisz równanie okręgu

a) opisanego b) wpisanego

w trójkąt o wierzchołkach A=(-2,3), B=(0,2), C=(3,0).

12. Napisz równanie okręgu wpisanego i równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD takim, że A=(-1,1), B=(1,-1), C=(3,1), D=(1,3).

13. Czy w czworokąt o wierzchołkach: A=(-3, 2), B=(4, 2), C=(2,5), D=(-1,5) można wpisać okrąg? Odpowiedź uzasadnij. Napisz równanie okręgu opisanego na tym czworokącie.

14. Punkty A=(3,2) i B=(6,1) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym
    . Wysokość poprowadzona z wierzchołka A trójkąta zawiera się w prostej y= - 2x+8. Znajdź wierzchołek C i długość wysokości AD.

15. Dane są punkty A(2,-1), B(2,3), C(1,3), które są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołka D(rozważ wszystkie możliwe przypadki).

16. Punkty A(-2,-1) oraz B(-1,2) są wierzchołkami równoległoboku o środku symetrii S(1,0). Wyznacz współrzędne wierzchołka D. Oblicz pole i obwód tego równoległoboku.

17. Wykaż, że czworokąt ABCD taki, że A=(-2,1), B=(0,-4), C=(5,-2), D=(3,3) jest rombem.

18. Opisz za pomocą układu odpowiednich nierówności przedstawiony na rysunku trójkąt.




19. Punkt A ^`=(-1,2) jest obrazem punktu A w:

1. jednokładności o środku (2,3) i skali k = - 2;

2. przesunięciu o wektor o współrzędnych [-1,2];

3. symetrii względem punktu (2,1);

4. symetrii względem prostej y=x.

Wyznacz współrzędne punktu A.

1. Wyznacz współrzędne obrazu punktu A=(2,-3) w:

1. translacji o wektor [-4,1],

2. symetrii względem punktu (0,-1),

3. jednokładności o środku (-1,3) i skali równej ½,

4. symetrii względem osi OX,

5. symetrii względem osi OY.

1. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x). Naszkicuj wykres funkcji:




Opisz kolejne etapy rozwiązania zadania.




2. Dane jest przekształcenie P płaszczyzny takie, że dla każdego punktu A=(x,y) jego obraz A' w przekształceniu P ma współrzędne (k -x, 2ky). Dla jakich wartości parametru k przekształcenie to jest izometrią? Odpowiedź uzasadnij. Dla wyznaczonego k znajdź w przekształceniu P współrzędne obrazów wierzchołków trójkąta ABC: A=(0,2), B=(0,-2), C=(3,0).

3. Dane jest przekształcenie P płaszczyzny takie, że dla każdego punktu A=(x, y) jego obraz A' w przekształceniu P ma współrzędne (x - k, k + y).Dla jakich wartości parametru k przekształcenie to jest izometrią? Odpowiedź uzasadnij. Dla wyznaczonego k znajdź w przekształceniu P obraz prostej x - y + 2 =0.

2

---