Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich jednakowo dokładnych
Źródła błędów:
1) niedoskonałość zmysłów obserwatora,
2) narzędzia pracy (taśma, teodolit, niwelator, łata itp.),
3) warunki pracy: czyli środowisko (temperatura, wiatr, teren pagórkowaty lub zadrzewiony).
Podział błędów:
1) absolutne (
)to błędy przypadające na całą mierzoną wielkość
2) błędy względne (
)wyrażają stosunek błędu absolutnego do wielkości mierzonej, a więc są to błędy przypadające na jednostkę wielkości mierzonej; błędy względne służą do oceny dokładności pomierzonych wielkości; w tym celu przedstawiamy je zazwyczaj w postaci ułamka lub w procentach.
1) błędy grube (omyłki) - zostają wykryte i wyeliminowane przez podwójne pomiary tych samych wielkości}
2) błędy systematyczne (stałe) - mają stały znak (+ lub -) a czasem stałą wartość i najczęściej dają się usunąć z dokonanych obserwacji przez wprowadzenie do wyniku odpowiedniej poprawki (np. wpływ temperatury na pomiar długości taśmą stalową), lub przez zastosowanie odpowiedniej metody pomiaru (np. usunięcie błędu ekscentryczności alidady przez wzięcie średniej arytmetycznej z odczytów dwóch, noniuszy).
3) błędy przypadkowe - niewielkie i z różnymi znakami są nieuchwytne i dlatego niemożliwe do usunięcia. Rachunek wyrównawczy zajmuje się tylko błędami przypadkowymi. Błędy przypadkowe dzielimy na;
1) błędy prawdziwe (rzeczywiste),
2) błędy pozorne.
Najczęściej w praktyce mamy do czynienia z błędami pozornymi.
Błąd prawdziwy ε jest to różnica między wartością prawdziwą X a obserwowaną l:
czyli
Błąd pozorny v jest to różnica między wartością najprawdopodobniejszą 
(średnią arytmetyczną) a wartością obserwowaną (pomierzoną) l:
czyli
Dla charakterystyki dokładności pomiarów przyjmuje się najczęściej następujące wielkości:
1) błąd średni m,
2) błąd graniczny 
Błąd średni spostrzeżeń jednakowo dokładnych
Błąd średni - wskaźnik dokładności w geodezji - pozwala na ocenę dokładności wykonanej pracy. Rozróżniamy błędy średnie: pojedynczego spostrzeżenia i średniej arytmetycznej.
Błąd średni m pojedynczego spostrzeżenia wyrażony przez błędy prawdziwe określony jest wzorem:
gdzie liczba pomiarów 
.
W praktyce stosujemy zazwyczaj błąd średni pojedynczego spostrzeżenia wyrażony przez błędy pozorne:
Błąd średni m pozwala ocenić dokładność wykonania pojedynczego pomiaru, czyli przy kilku pomiarach tej samej wielkości charakteryzuje on dokładność każdego z nich.
Jeśli mamy n obserwacji (spostrzeżeń) tej samej wielkości X, np. 
to najprawdopodobniejszą wartością mierzonej wielkości będzie średnia arytmetyczna
.
Oczywiście wyznaczona z tego wzoru średnia arytmetyczna (wartość wyrównana) jest również obarczona tzw. błędem średnim średniej arytmetycznej
Błąd średni średniej arytmetycznej jest 
razy mniejszy od błędu średniego pojedynczego spostrzeżenia. Pozwala on ocenić dokładność wyznaczonej wartości wyrównanej.
Błąd graniczny
Błędem granicznym nazywamy największą liczbową wartość błędu, dopuszczalną dla danego szeregu spostrzeżeń. Z teorii błędów wynika, że na 1000 spostrzeżeń (dotyczących tej samej wielkości) należy się spodziewać zaledwie trzech spostrzeżeń z błędami większymi od trzykrotnego błędu średniego. Dlatego za błąd graniczny (dopuszczalny) przyjęto uważać trzykrotny błąd średni:
Często też za błąd graniczny przyjmuje się podwójny błąd średni. Błędy większe od błędu granicznego uważa się już za błędy grube.
Własności średniej arytmetycznej i błędów pozornych
1) Przy wzrastaniu liczby spostrzeżeń (
) średnia arytmetyczna (
) spostrzeżeń tej samej wielkości dąży do rzeczywistej wartości tej wielkości (X):
2) Suma błędów pozornych równa się zeru
Zależność powyższą stosujemy do kontroli rachunku.
3) Suma kwadratów błędów pozornych powinna być minimum:
Na tej zasadzie opiera się rachunek wyrównawczy i od niej nosi nazwę „metody najmniejszych kwadratów".
Zadania
Zadanie 1. Zmierzono długości trzech różnych odcinków:
140 m - z błędem absolutnym 7 cm,
204 m - z błędem absolutnym 8 cm,
247 m - z błędem absolutnym 13 cm.
który odcinek został zmierzony najdokładniej?
Rozwiązanie. Obliczamy błędy względne pomierzonych długości;
Odp. Najdokładniej został zmierzony odcinek długości 204 m, gdyż błąd względny pomiaru tej długości jest najmniejszy.
Zadanie 2. Pewną długość pomierzono taśmą dziewięciokrotnie i otrzymano wyniki:
1 = 182,06 m, l. = 182,15 m, l = 182,07 m,
l = 182,13 m, l = 132,05 m, l = 182,12 m,
l = 182,10 m, l = 182,08 m, l = 182,14 m.
Obliczyć najprawdopodobniejszą długość, błąd średni pojedynczego spostrzeżenia oraz błąd średni wartości wyrównanej (średniej arytmetycznej).
Rozwiązanie. W celu uproszczenia obliczeń wprowadzamy wartość przybliżoną 
szukanej wielkości. Jest to zwykle najmniejsza wartość 
- tutaj przyjęto 
. Wówczas w celu wyznaczenia średniej 
obliczamy średnią arytmetyczną różnic 
między rezultatami pomiarów a przyjętą przybliżoną wartością 
. Dla przejrzystości obliczenia wykonano w poniższej tabeli.
Lp. |
Wyniki pomiarów |
t w cm |
v |
vv |
tt |
Obliczenia błędów średnich |
1 |
182.06 |
6 |
+4 |
16 |
36 |
Średnia arytmetyczna;
gdzie Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia:
Błąd średni średniej arytmetycznej
Kontrola:
|
2 |
182,13 |
13 |
-3 |
9 |
169 |
|
3 |
182,10 |
10 |
0 |
0 |
100 |
|
4 |
182,15 |
15 |
-5 |
25 |
225 |
|
5 |
182,05 |
5 |
+5 |
25 |
25 |
|
6 |
182,08 |
8 |
+2 |
4 |
64 |
|
7 |
182,07 |
7 |
+3 |
9 |
49 |
|
8 |
182,12 |
12 |
-2 |
4 |
144 |
|
9 |
182,14 |
14 |
-4 |
16 |
196 |
|
x0 |
182,00 |
90 |
0 |
108 |
1008 |
|
Dla kontroli obliczonej sumy kwadratów błędów pozornych wykorzystano wzór
.
Zadanie 3. Na pewnym punkcie zmierzono kąt 5 razy z tą samą dokładnością i otrzymano wyniki podane w poniższej w tabeli. Obliczyć najprawdopodobniejszą wartość kąta, błąd średni pojedynczego pomiaru oraz błąd średni wartości wyrównanej (średniej arytmetycznej).
Rozwiązanie podano w tabeli.
Lp. |
Wyniki pomiarów |
t |
v |
vv |
tt |
Obliczenia błędów średnich |
1 |
82°41'15" |
15" |
+12" |
144 |
225 |
Kontrola:
|
2 |
82°41 '30" |
30 |
- 3 |
9 |
900 |
|
3 |
82°42 '00" |
60 |
-33 |
1089 |
3600 |
|
4 |
82°41"00" |
0 |
+27 |
729 |
0 |
|
5 |
82°41'30" |
30 |
- 3 |
9 |
900 |
|
x0 |
82°41'00" |
135 |
0 |
1980 |
5625 |
|
Zadanie 4. Błąd średni pojedynczego pomiaru kąta 
. Ile razy trzeba zmierzyć kąt, aby otrzymać wynik z błędem średnim 
?
Rozwiązanie
, 
, 
, 
.
Kąt należy pomierzyć 9 razy, bo wtedy błąd średni średniej arytmetycznej wyniesie 
.
Błędy średnie funkcji pomiarów bezpośrednich
1. Zamierzono wielkość x z błędem średnim 
. Błąd średni 
iloczynu 
gdzie a jest wielkością stałą, wynosi: 
.
2. Zmierzono dwie niezależne od siebie wielkości 
i 
ze średnimi błędami 
i 
. Błąd średni sumy lub różnicy tych wielkości mierzonych, czyli błąd 
funkcji 
, wynosi:
Jeśli 
i 
to 
.
Dla n obserwacji przy 
.
Wiemy, że błędy systematyczne rosną proporcjonalnie do wartości wielkości mierzonej (lub liczby spostrzeżeń na przykład odłożeń taśmy przy pomiarze długości). Natomiast ze wzoru 
wynika, że błędy przypadkowe rosną proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego z wartości wielkości mierzonej (lub z liczby spostrzeżeń).
Błąd średni funkcji liniowej
gdzie 
- stałe współczynniki, 
- wielkości zmierzone z błędami średnimi
wynosi
.
Błąd średni dowolnej funkcji
- wielkości mierzone z błędami średnimi 
(bf)
Wzór ten jest wzorem ogólnym, na podstawie, którego możemy obliczyć błędy średnie wszystkich wymienionych powyżej funkcji.
Zadanie 5. Obliczyć błędy średnie następujących funkcji
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
Rozwiązania
a) 
. Na podstawie tego wzoru, określamy odległość pomierzoną dalmierzem. We wzorze tym wielkość stała 
, a l to odczyt na łacie zawarty między kreskami skrajnymi dalmierza. Błąd średni odległości 
. Zatem błąd 
odległości pomierzonej dalmierzem jest stukrotnie większy od błędu odczytu na łacie 
.
W przykładach b), c), d) korzystamy z zależności (bf)
b) 
, ponieważ: 
, 
c) 
, 
d) 
, ponieważ 
Zadanie 6. W trójkącie zmierzono dwa kąty 
i 
z błędami średnimi 
i 
. Obliczyć trzeci kąt trójkąta 
i jego błąd średni 
.
Rozwiązanie
Zadanie 7. Przy jednym odłożeniu taśmy 20-metrowej błąd systematyczny
, a błąd przypadkowy 
. Jakie będą błędy systematyczne i przypadkowe dla mierzonego tą taśmą boku długości 500 m (25 odłożeń taśmy)?
Rozwiązanie, Oznaczając 
Otrzymujemy:
, 
Zadanie 8. Siatkę kwadratów można wykreślić za pomocą zwykłego cyrkla pełniącego rolę odmierzacza i podziałki dwoma sposobami:
a) odmierzamy jeden raz na podziałce odcinek 10 cm (bok kwadratu) i odkładamy go wielokrotnie wzdłuż brzegu arkusza pierworysu
b) przed każdym odłożeniem odcinka 10 cm odmierzamy go na podziałce.
Który sposób jest dokładniejszy, jeśli uwzględnimy tylko błędy odmierzenia odcinka?
Rozwiązanie. W pierwszym wypadku popełniamy błąd stały 
przy naniesieniu każdego odcinka. Błąd naniesienia końcowego punktu siatki kwadratów przy n bokach wyniesie:
Dla
,
; 
.
W drugim wypadku za każdym odłożeniem boku kwadratu popełniamy błąd średni m, który będzie błędem przypadkowym, a więc z, różnymi znakami. Błąd naniesienia końcowego punktu siatki kwadratów wyniesie;
Dla
,
; 
.
A więc drugi sposób jest niewątpliwie dokładniejszy.
Zadanie 9. Wyprowadzić wzór na odchyłkę kątową w ciągu poligonowym.
Rozwiązanie. Kąt 
obliczamy z różnicy dwóch pomierzonych kierunków K1 i K2, czyli 
. Błędy pomiaru kierunku 
są to błędy przypadkowe, zatem błąd pomiaru kata
.
Kąty mierzymy w dwóch położeniach lunety, zatem błąd średni pomiaru kąta 
(średniej arytmetyczne z dwóch położeń lunety)
.
Jeśli ciąg poligonowy składa się z n kątów, to błąd kątowy ciągu jest równy
Zadanie 10. Błąd pomiaru kierunku odczytanego na jednym noniuszu teodolitu wynosi 
. Zmierzono kąt w dwóch położeniach lunety i w trzech seriach. Obliczyć błąd średni pomierzonego kąta (średniej arytmetycznej z trzech serii).
Rozwiązanie. Wprowadzamy oznaczenia pomocnicze; kierunek K odczytany na jednym noniuszu, średnia z odczytów dwóch noniuszy 
,
kąt pomierzony w jednym położeniu lunety 
,
kąt pomierzony w dwóch położeniach lunety 
kąt pomierzony w trzech seriach 
.
Błąd odczytu kierunku na jednym noniuszu
.
Błąd odczytu kierunku z dwóch noniuszy (błąd średni średniej arytmetycznej z dwóch odczytów);
Błąd pomiaru kąta 
(
):
Błąd pomiaru kąta
(średniej arytmetycznej z dwóch położeń lunety)
Błąd średni pomiaru kąta 
(średniej arytmetycznej z trzech serii):
Odpowiedź. Błąd średni kąta pomierzonego w trzech seriach wynosi 
Uwaga. Należy rozróżniać, kiedy błąd średni mnożymy, a kiedy dzielimy przez pierwiastek z ilości spostrzeżeń (
):
1) Mając do czynienia z funkcją spostrzeżeń obliczamy jej błąd mnożąc błąd średni pojedynczego spostrzeżenia przez 
.
2) Gdy obliczamy błąd średni średniej arytmetycznej, oczywistym jest, że błąd ten będzie mniejszy od błędu średniego pojedynczego pomiaru, a zatem należy ten ostatni podzielić przez 
.
Zadanie 11. Błąd średni pojedynczego pomiaru kąta teodolitem wynosi 
W trójkącie zmierzono tym teodolitem kąt 
cztery razy, a kąt 
dziewięć razy. Jaki jest błąd średni trzeciego kąta w trójkącie?
Rozwiązanie. Z warunków zadania 
Błąd średni średniej arytmetycznej z 4-krotnego pomiaru kąta 
wynosi
Błąd średni średniej arytmetycznej z 9-krotnego pomiaru kąta 
wynosi;
Trzeci kąt w trójkącie;
Błąd średni kąta 
wynosi:
Zadanie 12, Błąd średni pojedynczego pomiaru kąta teodolitem wynosi 
Ile razy należy zmierzyć tym teodolitem kąty 
i 
w trójkącie, jeśli chcemy, aby błąd średni trzeciego obliczanego kąta 
(o niedostępnym wierzchołku) nie przekraczał ±15”?
Rozwiązanie. Po oznaczeniu 
, otrzymamy:
.
Błąd średni średniej arytmetycznej z nieznanej liczby n pomiarów kątów 
i 
Ale
,
Stąd
.
Odpowiedź. Gdy w trójkącie pomierzymy kąty 
i 
po 8 razy, to błąd średni trzeciego kąta 
o niedostępnym wierzchołku będzie wynosił ±15”.
Sprawdzenie
,
Zadanie 13. Błąd azymutu wyjściowego 
i błąd każdego pomierzonego kąta 
Wyznaczyć błąd średni azymutu dziesiątej linii w tym ciągu.
Rozwiązanie. W ciągu poligonowym azymut dowolnej linii przy pomierzonych kątach prawych definiuje następująca zależność:
Przy bezbłędnym azymucie wyjściowym błąd średni azymutu dziesiątej linii wynosiłby
Po uwzględnieniu błędu azymutu wyjściowego błąd średni azymutu dziesiątej linii wyniesie
.
Odpowiedź. Błąd średni azymutu dziesiątej linii wynosi 
Zadanie 14. Z jaką dokładnością należy mierzyć kąt pochylenia 
, aby błąd średni poprawki obliczanej z wzoru 
był równy błędowi średniemu pomiaru 100 metrowego boku 
Przyjąć 
i 
,
(
może być zaniedbana jako wielkość mała w porównaniu z drugim składnikiem).
Ponieważ
Więc
,
dla 
,
dla 
,
dla 
,
dla 
.
Ogólnie można stwierdzić, że kąty pochylenia zawarte w przedziale 
wystarczy mierzyć z dokładnością 0,1° (6'), a kąty mniejsze z jeszcze mniejszą dokładnością.
Zadanie 15. Pomierzono długość prostej d = 220,41 m ze średnim błędem 
i azymut prostej 
ze średnim błędem 
Wyznaczyć błędy średnie przyrostów 
, 
.
Rozwiązanie. Korzystając z wzoru, na błąd średni dowolnej funkcji 
otrzymamy
,
, 
,
Odpowiedź. Błędy średnie przyrostów wynoszą: 
Zadanie 16. W trójkącie pomierzono podstawę a = 241,60 m z błędem średnim 
i wysokość h =136,20 m z błędem średnim 
. Obliczyć pole trójkąta i jego błąd średni.
Rozwiązanie.
Odpowiedź. Pole trójkąta P = 1 ha 6450 m2 
.
Opracowano na podstawie Ćwiczeń z geodezji. J. Ząbek, Z. Adamczewski, S. Kwiatkowski
1
Wyszukiwarka