31. Prawa Keplera. Ruchy planet i satelitów.

Prawami Keplera nazywamy trzy prawa astronomiczne, odkryte przez Jana Keplera i opisujące ruch planet wokół Słońca.

I Prawo Keplera

Wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych, w których w jednym z ognisk znajduje się słońce (prawo orbit).

II Prawo Keplera

Odcinek łączący jakąkolwiek planetę ze Słońcem zakreśla w równych odstępach czasu równe pola (prawo pól).

Inaczej mówiąc w równych odstępach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola. Wynika stąd, że w peryhelium (w pobliżu Słońca), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od Słońca).

III Prawo Keplera

Kwadrat okresu obiegu każdej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od Słońca

(prawo okresów).

Inaczej: stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu średniej arytmetycznej największego i najmniejszego oddalenia od Słońca jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym.

Co wyraża się wzorem:

gdzie:

T1, T2 - okresy obiegu dwóch planet

a1, a2 - średnie odległości tych planet od Słońca

np. okres obiegu Ziemi - 1 rok śr. odległość Ziemi od Słońca - 1 AU (jedn. astr.)

Ruchy planet i satelitów:

Ruchy planet i planetoid wokół Słońca są zastanawiające regularne. Prawie wszystkie te ciała poruszają się po niemal kołowych orbitach, które leżą w płaszczyznach bardzo bliskich koincydencji z płaszczyzną orbity Jowisza, a wszystkie widoczne planety i planetoidy mają ten sam kierunek ruchu wokół Słońca. Tempo ich obiegu orbitalnego nie jest równe; im bliżej Słońca jest dana planeta, tym krótszy jest jej okres orbitalny. Merkury np. obiega Słońce 1180 razy podczas każdego pojedynczego obiegu Plutona. Dziś ruchy ciał w Układzie Słonecznym opisuje się za pomocą tzw. praw Keplera.

Przykład

Rozpatrzmy ruch planety o masie m krążącej w odległości R wokół Słońca o masie M. Wtedy siła przyciągania grawitacyjnego wynosi

(6.5)

a ponieważ przyspieszenie w ruchu po okręgu jest dane wyrażeniem

(6.6)

to równanie (6.5) przyjmuje postać

(6.7)

skąd otrzymujemy

(6.8)

Newton pokazał, że prawa Keplera można wyprowadzić z zasad dynamiki. Pokazał na przykład, że tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości to spełnione są pierwsze i trzecie prawo Keplera.

Rozpoczniemy od wyprowadzenia trzeciego prawa Keplera dla planet poruszających się po orbitach kołowych. Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru (6.8) na masę Słońca otrzymujemy dla pierwszej planety krążącej wokół Słońca

a dla drugiej

Porównując te równania stronami otrzymujemy

Teraz przejdziemy do drugiego prawa Keplera. Na rysunku poniżej zaznaczona jest powierzchnia zakreślana w czasie Δt przez linię łączącą planetę ze Słońcem.

Rys. 1. Powierzchnia zakreślana w czasie Δt przez linię łączącą planetę ze Słońcem

Jeżeli weźmiemy bardzo krótki przedział czasu dt (Δt → 0) to zaznaczone pole dS jest powierzchnią trójkąta o podstawie równej długości zakreślanego łuku (vdt) i wysokości równej promieniowi R

Stąd chwilowa prędkość polowa (prędkość z jaką promień R zakreśla powierzchnię) jest równa

(1)

Z zasad dynamiki Newtona wynika zasada zachowania momentu pędu (poznamy ją w następnych rozdziałach), zgodnie z którą moment pędu L planety w jej obiegu wokół Słońca jest stały

(2)

Łącząc równania (1) i (2) otrzymujemy ostatecznie

(3)

Równanie (3) wyraża drugie prawo Keplera.

32. Pole grawitacyjne. Energia kinetyczna i potencjalna dla pola 1/r.

Prawo powszechnego ciążenia:

Każde dwa ciała o masach m1 i m2 przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.

To jest prawo powszechne, ponieważ stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych; np. wyjaśnia spadanie ciał na Ziemię, ale też tłumaczy ruch planet.

Np.:

Siła z jaką Ziemia przyciąga jabłko jest taka sama co do wartości jak siła z jaką jabłko przyciąga Ziemię. Pod wpływem tej siły jabłko przyspiesza w kierunku Ziemi (z przyspieszeniem g) i Ziemia przyspiesza w kierunku jabłka (z przyspieszeniem a)

Ponieważ masa Ziemi jest tak wielka (w porównaniu z masą jabłka) przyspieszenie a jest niemierzalnie małe i mówimy, że jabłko spada na Ziemię.

Wartość współczynnika proporcjonalności G, nazywanego stałą grawitacji, Newton oszacował stosując równanie (6.2) do siły działającej między Ziemią, a ciałem o masie m. Zgodnie z zasadą dynamiki

Skąd

gdzie RZ jest promieniem Ziemi. Masę Ziemi MZ Newton obliczył zakładając średnią gęstość Ziemi równą ρZ = 5·103 kg/m3 (dla porównania gęstość żelaza, głównego składnika masy Ziemi, wynosi ρFe = 7.9·103·kg/m3, a gęstość krzemu, podstawowego składnika skorupy ziemskiej, wynosi ρSi = 2.8·103 kg/m3). Uwzględniając RZ = 6.37·106 m Newton otrzymał wartość G = 7.35·10-11 Nm2/kg2 co jest wartością tylko o 10% większą niż ogólnie dzisiaj przyjmowana wartość 6.67·10-11 Nm2/kg2. Wartość stałej G obliczonej przez Newtona jest obarczona błędem wynikającym z przyjętej średniej wartości gęstości Ziemi.

Na przykładzie sił grawitacyjnych omówimy ważne w fizyce pojęcie pola . Nasze rozważania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w początku układu. W punkcie przestrzeni opisanym wektorem r znajduje się inna masa m. Wektor r opisuje położenie masy m względem masy M więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między tymi masami możemy zapisać w postaci wektorowej

gdzie znak minus wynika z faktu, że wektor F jest zwrócony przeciwnie do wektora r. Zwróćmy uwagę, że siłę tę możemy potraktować jako iloczyn masy m i wektora γ(r) przy czym

Definicja

Wektor γ(r) dany równaniem nazywamy natężeniem pola grawitacyjnego.

Zwróćmy uwagę na to, że jeżeli w punkcie r umieścilibyśmy dowolną masę np. m' to zawsze możemy zapisać siłę jako iloczyn masy m' i tego samego wektora γ(r).

Widzimy, że wektor γ(r) nie zależy od obiektu na który działa siła (masy m') ale zależy od źródła siły (masa M) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą źródło (wektor r). Oznacza to, że masa M stwarza w punkcie r takie warunki, że umieszczona w nim masa m odczuje działanie siły. Inaczej mówiąc masie M przypisujemy obszar wpływu (działania), czyli pole. Na rysunku poniżej jest pokazany wektor γ(r) w wybranych punktach wokół masy M.

Rys. 6.4. "Mapa" natężenia pola grawitacyjnego wokół masy M

Zwróćmy uwagę, że rozdzieliliśmy siłę na dwie części. Stwierdzamy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Taki opis pozwala uniezależnić się od obiektu (masy m') wprowadzanego do pola.

Energia potencjalna jest to energia jaką posiada element umieszczony w polu potencjalnym. Energię potencjalną zawsze definiuje się względem jakiegoś poziomu zerowego. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J]. Energia potencjalna ciała zależy od jego położenia względem drugiego ciała, z którym oddziałuje.Gdy położenie to ulega zmianie, zmienia się również energia potencjalna ciała.W przypadku energii potencjalnej grawitacji, mówiąc o zmienie położenia mamy na myśli zmianę jego wysokości nad Ziemią. Przyrost energii potencjalnej grawitacji ciała jest równy pracy siły zewnętrznej, wykonanej przy jego podnoszeniu na wysokość h ruchem jednostajnym.Siła zewnętrzna równoważy wówczas siłę grawitacji. Energię potencjalną grawitacji ciała o masie m umieszczonego na wysokości h nad tak zwanym poziomem zerowym obliczamy za pomocą iloczynu m masy, g grawitacji i h wysokości.

W polu grawitacyjnym

Źródłem pola grawitacyjnego jest obiekt posiadający masę. Jeżeli oddalamy się od niego siła przyciągania słabnie. Oznacza to, że jej wartość zmienia się w funkcji odległości. Przyjęto, że poziom odniesienia dla energii potencjalnej pola grawitacyjnego to nieskończoność. W efekcie wyrażenie na pracę potrzebną do wyniesienia obiektu do nieskończoności przyjmie następujący kształt:

gdzie:

r - odległość od źródła pola grawitacyjnego do przyciąganego obiektu [m],

G - stała grawitacyjna [N×m2×kg-2],

M - masa źródła pola grawitacyjnego [kg],

m - masa przyciąganego obiektu [kg].

Minus przed całką oznacza, że energia potencjalna jest zawsze ujemna, bo wartość zerową przyjmuje w nieskończoności. Z wzoru całkowego można wyprowadzić prostą zależność:

Taka definicja może wydawać się dziwna, ale bardzo ułatwia obliczenie II prędkości kosmicznej, która mówi czy obiekt ucieknie z pola grawitacyjnego.

* jeszcze prześle coś o tej energii jak znajde

33. Prędkości kosmiczne.

I prędkość kosmiczna (potrzebna do osiągnięcia orbity okołoziemskiej)

Definicja: Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką trzeba posiadać, aby móc orbitować wokół ciała o znanej masie M po orbicie kołowej o promieniu równym średniemu promieniowi tego ciała.

Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką trzeba posiadać, aby móc orbitować wokół ciała o znanej masie M po orbicie kołowej o promieniu równym średniemu promieniowi tego ciała.

Prędkość ta dla Ziemi wynosi około 7,91km×s-1

Przykład zadania: Oblicz wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla Księżyca.

II prędkość kosmiczna:(potrzebna do opuszczenia orbity okołoziemskiej i osiągnięcia orbity okołosłonecznej)

Definicja: Druga prędkość kosmiczna jest to najmniejsza prędkość, jaką trzeba posiadać, aby móc uciec nieskończenie daleko od ciała o znanej masie M. Ściślej - jest to najmniejsza prędkość, jaką nadać trzeba ciału na powierzchni innego ciała o masie M, aby tor jego ruchu stał się parabolą lub hiperbolą.

Drugą prędkość kosmiczną obliczamy, wykorzystując zasadę zachowania energii. Porównujemy wartości energii mechanicznej na powierzchni ciała i w nieskończoności:

Dla Ziemi wartość ta wynosi około 11,19km×s-1

Przykład zadania: Oblicz wartość drugiej prędkości kosmicznej dla Księżyca.

* a to do poczytania

III prędkość kosmiczna (potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego)

Trzecia prędkość kosmiczna jest najmniejszą prędkością początkową, przy której ciało (np. statek kosmiczny), rozpoczynając ruch w pobliżu planety lub innego ciała Układu Słonecznego, przezwycięży przyciąganie całego Układu (w szczególności Słońca) i go opuści. Jest to prędkość w praktyce odpowiadająca prędkości ucieczki względem Słońca. Prędkość ta przy powierzchni Ziemi wynosi ok. 42 km/s, lecz wobec jej ruchu obiegowego wokół Słońca wystarczy przy starcie z jej powierzchni w kierunku zgodnym z tym ruchem nadać obiektowi prędkość 16,7 km/s, by opuścił on Układ Słoneczny.

IV prędkość kosmiczna (potrzebna do opuszczenia Drogi Mlecznej)

Czwarta prędkość kosmiczna jest najmniejszą prędkością, której osiągnięcie umożliwi opuszczenie na zawsze Galaktyki. W okolicach Słońca (Układu Słonecznego) prędkość ta wynosi ok. 350 km/s, lecz, wykorzystując fakt ruchu Słońca dookoła środka Galaktyki, wystarczy obiektowi nadać prędkość tylko około 130 km/s w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu obiegowego Słońca względem centrum Galaktyki, by mógł on ją opuścić.

V prędkość kosmiczna

Loty po trajektoriach parabolicznych leżących w płaszczyźnie prostopadłej do orbity Ziemi wymagają prędkości kosmicznej - 52,8 km/s. Taka prędkość pozwoli na osiągnięcie dowolnego punktu na płaszczyźnie prostopadłej do orbity Ziemi.

VI prędkość kosmiczna

Wiele komet obiega Słońce po bardzo wydłużonych orbitach eliptycznych i leci w kierunku przeciwnym do orbitalnego ruchu Ziemi wokół Słońca. Aby więc je dogonić w dowolnej chwili, prędkość startowa rakiety musi wynieść - 72,2 km/s. Jest to początkowa prędkość, jaką zapewnia lot po paraboli względem Słońca w kierunku przeciwnym do ruchu Ziemi.

34. Ciśnienie. Wzór barometryczny.

Ciśnienie

Fizyczne pojęcie ciśnienia wiąże się zarówno naciskiem ze strony przedmiotów na pewne powierzchnie, jak też z działaniem mechanicznym płynów - cieczy i gazów.

Definicja ciśnienia

Wzór na ciśnienie powstaje poprzez podzielenie siły nacisku (lub siły parcia)

Fparcia - siła parcia, (w niutonach N), lub

N siła nacisku (w niutonach N)

p - ciśnienie (w paskalach Pa)

S - pole powierzchni (w m2)

Interpretacja ciśnienia:

Ciśnienie jest wielkością skalarną i mówi nam o tym jak bardzo działająca siła jest skupiona na powierzchni. Np. igła, działając swoim czubkiem na małą powierzchnię wytwarza duże ciśnienie, co powoduje, że łatwo dziurawi materiał. Z drugiej strony narty rozkładając ciężar człowieka na dużą powierzchnię przyczyniają się od tego, że nie zapada się on w śniegu - ciśnienie w tym przypadku jest specjalnie zmniejszane.

* Parcie, czyli nacisk płynu

Na powierzchnię ciał zanurzonych w płynach (cieczach, gazach) działa ze strony płynu siła nacisku zwana tutaj parciem. Parcie (podobnie jak inne formy siły nacisku) jest skierowane prostopadle do powierzchni.

Jeżeli na danej głębokości w płynie panuje ciśnienie o wartości p, wtedy wartość siły parcia można obliczyć ze wzoru:

Fparcia = p · S

Fparcia - siła parcia (w niutonach N)

p - ciśnienie płynu (w paskalach Pa)

S - pole powierzchni (w m2)

Ciśnienie hydro- aerostatyczne

Ciśnienie jakie wywiera na otaczające ciała ciecz nie będąca w ruchu nazywa się ciśnieniem hydrostatycznym.

Analogiczne ciśnienie w gazie określane jest mianem ciśnienia aerostatycznego.

W przypadku obu rodzajów ciśnień - hydrostatycznego, i aerostatycznego - obserwujemy zależność wartości tego ciśnienia od głębokości:

- im większe zanurzenie, tym większe ciśnienie.

Wynika to z faktu, że mechanizmem to ciśnienie wywołującym jest nacisk (ciężar) ze strony słupa płynu położonego nad punktem pomiaru - im wyższy słup, typ większy nacisk Np. na Ziemi ciśnienie w wodzie (ciśnienie hydrostatyczne) zwiększa się co 10 m o jedną atmosferę (1 atmosfera to ok. 100 tys. paskali).

Wzór na ciśnienie hydrostatyczne

W celu obliczenia wartości ciśnienia hydrostatycznego posługujemy się wzorem:

p = ρcieczy · g· h

Znaczenie symboli:

p - ciśnienie hydrostatyczne (w ukł. SI w paskalach Pa)

g - przyspieszenie grawitacyjne (ziemskie) (w ukł. SI w m/s2).

h - głębokość zanurzenia w cieczy (w ukł. SI w metrach m

Wzór barometryczny

Ciśnienie atmosferyczne w danym punkcie nad powierzchnią Ziemi określone jest przez ciężar warstwy powietrza leżącej powyżej tego punktu, powinno więc zależeć od wysokości. Im większa wysokość, tym mniejsza jest warstwa powietrza, więc i ciśnienie jest mniejsze. Różnica ciśnień dp związana ze wzrostem wysokości dh ma więc znak ujemny i wynosi

Gdzie
jest gęstością gazu na wysokości h , a g jest przyspieszeniem ziemskim na tej wysokości.

WYPROWADZENIE WZORU BAROMETRYCZNEGO *(nie wiem ale chyba potrzebne)

Z dobrym przybliżeniem można potraktować powietrze jako gaz doskonały. Dzieląc obustronnie równanie stanu gazu doskonałego dla jednego mola
przez wartość średniej masy molowej powietrza, określonej z uwzględnieniem procentowej zawartości azotu, tlenu i pozostałych gazów w powietrzu, otrzymujemy

Wzór możemy więc przepisać w postaci

Otrzymujemy w ten sposób równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych

Zakładając, że temperatura atmosfery ma wartość stałą (tzw. atmosfera izotermiczna) i pole grawitacyjne jest jednorodne (g(h)=const) możemy łatwo scałkować to równanie otrzymując

Ze wzoru wynika, że

Dla
ciśnienie równe jest ciśnieniu atmosferycznemu
na powierzchni Ziemi. Stąd wyznaczamy stałą całkowania;
. Ostatecznie otrzymujemy

Jest to tzw. wzór barometryczny. Wynika z niego, że ciśnienie zmienia się z wysokością szybciej dla niższych temperatur oraz dla cięższego gazu.

Korzystając z faktu, że
, gdzie m0 - średnia masa cząsteczki powietrza, możemy zależność przedstawić w postaci

Wzór obowiązuje dla atmosfery izotermicznej, dla której mamy
oraz jednorodnego pola grawitacyjnego. Jeżeli warunki te nie są spełnione, należy podstawić zależność funkcyjną temperatury od wysokości oraz zależność g=g(h) do wzoru (11.59) i rozwiązać otrzymane równanie różniczkowe.

* (normalnie to wystarczyłoby tylko to co jest na tej stronie o wzorze barometrycznym ale to będzie egzamin więc wyprowadzenie też umieszczam)

35. Prawo Pascala i prawo Archimedesa.

Prawo Pascala wiąże się z faktem, że ciśnienie (parcie) w płynach "rozchodzi się w całej objętości płynu".

Prawo Pascala sformułować można na kilka podobnych sposobów - np.:

Ciśnienie działające z zewnątrz na płyn (gaz, ciecz) jest przenoszone we wszystkich kierunkach jednakowo.

Wartość siły parcia w płynach nie zależy też od kierunku ustawienia powierzchni, na którą wywierane jest parcie.

W płynach siła nacisku (także ciśnienie) "rozchodzi się" we wszystkie strony i nie ma znaczenia, czy powierzchnię ustawimy pod kątem, poziomo, czy pionowo - zawsze płyn będzie naciskał na tę powierzchnię tak samo: z góry, z dołu, z boku.

* Z `Resnicka':

Ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane jednakowo na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia bez żadnych strat. Prawo to jest słuszne ciecz , gaz jest w stanie równowagi. I tu z przykład jest rysunek naczynia z tłokiem i jak zwiększamy ciśnienie zewnętrzne o dp0 to zmiana ciśnienia w dowolnym punkcie w cieczy dp jest równa dp0.

Prawo Archimedesa

Prawo Archimedesa formułuje się słownie w następujący sposób:

Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało

Mówiąc inaczej, gdybyśmy dokładnie takie samo ciało "wyrzeźbili" z wody (ale nie z lodu, bo lód jest lżejszy niż woda!), to ciężar tej "rzeźby" dałby nam wartość siły wyporu w wodzie. Oczywiście nie musimy dokładnie rzeźbić ciała - wystarczy, że po prostu weźmiemy tylko tę ilość "materiału" na naszą rzeźbę - czyli wodę mającą tyle samo objętości co ciało.

Jakie wnioski wyciągamy z tego prawa:

- że siła wyporu jest tym większa, im cięższy jest płyn - większa siła wyporu jest w wodzie, niż w powietrzu i większa w rtęci, niż w wodzie.

- siła wyporu jest tym większa, im większe (rozmiarami, objętością) jest ciało (a przynajmniej jego zanurzona część)

Wzór na siłę wyporu

Siłę wyporu da się zapisać wzorem:

Fwyporu = ρpłynu ∙g ∙Vzanurzona

ρpłynu - gęstość płynu (cieczy, gazu) w którym zanurzone jest ciało - [w układzie SI w kg/m3]

Vzanurzona - objętość tej części ciała, która jest zanurzona w płynie (w układzie SI w m3)

g - przyspieszenie ziemskie [w układzie SI w m/s2]

Pływanie ciał po powierzchni cieczy

Ciało będzie pływało po powierzchni cieczy, jeśli jego siła wyporu przy maksymalnym zanurzeniu będzie większa niż ciężar tego ciała.

Gdy ciało pływa po powierzchni wody siła ciężkości jest równoważona przez siłę wyporu (siły ciężkości i wyporu mają równe wartości, ale przeciwne zwroty). Oczywiście jeśli ciało nie jest całkowicie zanurzone, to siła wyporu ma jeszcze pewien „zapas”, dzięki któremu nawet zwiększenie ciężaru ciała nie spowoduje od razu jego zatonięcia, bo automatycznie może wzrosnąć siła wyporu. Do momentu aż zanurzy się całe.

Pływanie ciał całkowicie zanurzonych

Nieco inaczej wygląda sytuacja ciał całkowicie zanurzonych - łodzie podwodne, zatopione obiekty, balony, tonące przedmioty itd.

Tutaj mamy dwie główne możliwości

1. siła wyporu jest mniejsza od siły ciężkości - ciało tonie.

2. siła wyporu jest większa od siły ciężkości - ciało wypływa unosząc się do góry.

Na pograniczu tych dwóch przypadków jest jeszcze trzeci:

3. siły wyporu i ciężkości są sobie równe - wtedy ciało pozostaje w bezruchu unosząc się w płynie

Powyższy opis zachowania ciała odnosi się tylko do sytuacji, w których początkowo ciało znajdowało się w bezruchu. Jeśli wcześniej nadano mu prędkość może ono chwilowo poruszać się niezgodnie z powyższymi zasadami (do momentu, w którym tarcie płynu nie spowoduje jego zatrzymania).

Pływalność a gęstość

W przypadku ciał wykonanych z jednolitego materiału można łatwo przewidzieć czy będą one tonęły, czy wypływały na powierzchnię płynu. Zależy to od gęstości ciał i gęstości płynów w których miałyby one pływać:

- jeżeli gęstość ciała jest większa niż gęstość płynu (ρciała > ρpłynu), wtedy ciało będzie tonąć.

- jeżeli gęstość ciała jest mniejsza niż gęstość płynu (ρciała < ρpłynu), wtedy ciało będzie wypływać na powierzchnię.

---