Opracowanie: Piotr Pietruszka
WYKŁAD 21
,
(*)
,
,
WNIOSEK:
Szereg (*) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do f w [-l,l]
(zbieżność w sensie
)
Tzn.
ciąg sum częściowych szeregu Fouriera (*)
DEFINICJA 21.1
Niech f - ograniczona w [a,b]
f - przedziałami monotoniczna
jeżeli [a,b] da się podzielić na skończoną ilość podprzedziałów, w których funkcja jest monotoniczna.
2.
- punkt nieciągłości pierwszego rodzaju
PRZYKŁAD 21.1
nie jest przedziałami monotoniczna w [0,1]
DEFINICJA 21.2 (WARUNKI DIRICHLETA)
funkcja w [a,b] spełnia warunki Dirichleta
Jest przedziałami monotoniczna w [a,b]
posiada co najwyżej skończoną ilość punktów nieciągłości I rodzaju i:
TWIERDZENIE 21.1 (DIRICHLETA)
Z:
f - spełnia warunki Dirichleta w [-l,l]
T:
PRZYKŁAD 21.2
Niech
Rozwinąć f(x) w szereg Fouriera, narysować wykres sumy i obliczyć wartość sumy w punkcie
f- nieparzyste
nieparzysta parzysta
nieparzysta
UWAGA 21.1
=
Suma szeregu Fouriera jest f. okresową o okresie zasadniczym 2l.
UWAGA 21.2
1. Jeżeli f - nieparzysta , to
- szereg sinusów
Jeżeli f- parzysta , to
szereg cosinusów
NIEPEŁNE SZEREGI FOURIERA
Niech
Rozwinąć f w szereg sinusów w [0,l]
Rozwinąć f w szereg cosinusów w [0,l]
Rozwinąć f w pełny szereg Fouriera w [0,l]
Ad 1
Ad 2
UWAGA 21.3
Jeżeli f jest okresowa o okresie zasadniczym T
ZAGADNIENIE:
Rozwinąć f w szereg Fouriera w przedziale [a,b] ,
Ad 3. Rozwinąć f w szereg Fouriera w [0,l]
PRZYPOMNIENIE:
Postać zespolona szeregu Fouriera
zauważmy, że:
oraz
Niech
wobec tego
DEFINICJA 21.3 (WIDMO AMPLITUDOWE)
Jeżeli
Ciąg
- widmo amplitudowe funkcji
DEFINICJA 21.4 (WIDMO FAZOWE)
arg
jeżeli
0 jeżeli
- widmo fazowe funkcji
jeżeli