Wyklad21, Psychologia, biologia, Matematyka


Opracowanie: Piotr Pietruszka

WYKŁAD 21

0x01 graphic
, 0x01 graphic
(*)

0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
,0x01 graphic
0x01 graphic

WNIOSEK:

Szereg (*) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do f w [-l,l]

(zbieżność w sensie 0x01 graphic
)

Tzn. 0x01 graphic

0x01 graphic
ciąg sum częściowych szeregu Fouriera (*)

DEFINICJA 21.1

Niech f - ograniczona w [a,b]

  1. f - przedziałami monotoniczna 0x01 graphic
    jeżeli [a,b] da się podzielić na skończoną ilość podprzedziałów, w których funkcja jest monotoniczna.

2. 0x01 graphic
- punkt nieciągłości pierwszego rodzaju 0x01 graphic

PRZYKŁAD 21.1

0x01 graphic
nie jest przedziałami monotoniczna w [0,1]

0x01 graphic

DEFINICJA 21.2 (WARUNKI DIRICHLETA)

funkcja w [a,b] spełnia warunki Dirichleta 0x01 graphic

  1. Jest przedziałami monotoniczna w [a,b]

  2. posiada co najwyżej skończoną ilość punktów nieciągłości I rodzaju i: 0x01 graphic

  3. 0x01 graphic

0x08 graphic


TWIERDZENIE 21.1 (DIRICHLETA)

Z:

f - spełnia warunki Dirichleta w [-l,l]

T:

0x01 graphic

PRZYKŁAD 21.2

Niech 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Rozwinąć f(x) w szereg Fouriera, narysować wykres sumy i obliczyć wartość sumy w punkcie 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

f- nieparzyste

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

nieparzysta parzysta

0x08 graphic

nieparzysta

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

UWAGA 21.1

0x01 graphic
=0x01 graphic

Suma szeregu Fouriera jest f. okresową o okresie zasadniczym 2l.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

UWAGA 21.2

1. Jeżeli f - nieparzysta , to 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
- szereg sinusów

  1. Jeżeli f- parzysta , to0x01 graphic
    0x01 graphic

0x01 graphic
szereg cosinusów

NIEPEŁNE SZEREGI FOURIERA

Niech 0x01 graphic

  1. Rozwinąć f w szereg sinusów w [0,l]

  2. Rozwinąć f w szereg cosinusów w [0,l]

  3. Rozwinąć f w pełny szereg Fouriera w [0,l]

Ad 1

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Ad 2

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

UWAGA 21.3

Jeżeli f jest okresowa o okresie zasadniczym T

0x01 graphic

ZAGADNIENIE:

0x01 graphic

Rozwinąć f w szereg Fouriera w przedziale [a,b] , 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Ad 3. Rozwinąć f w szereg Fouriera w [0,l]

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

PRZYPOMNIENIE:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Postać zespolona szeregu Fouriera

0x01 graphic

zauważmy, że:

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic

Niech

0x01 graphic

0x01 graphic

wobec tego

0x01 graphic

DEFINICJA 21.3 (WIDMO AMPLITUDOWE)

Jeżeli 0x01 graphic
0x01 graphic

Ciąg 0x01 graphic
- widmo amplitudowe funkcji 0x01 graphic

DEFINICJA 21.4 (WIDMO FAZOWE)

0x08 graphic

arg 0x01 graphic
jeżeli 0x01 graphic

0x01 graphic
0 jeżeli 0x01 graphic
- widmo fazowe funkcji

0x01 graphic
jeżeli 0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka