Opracowanie: Kamil Sterna

WYKŁAD 4

Wstęp do teorii miary

DEFINICJA 4.1

Dany ciąg

.

Tworzymy ciąg S_n =
.

A wtedy: {
,
} nazywamy szeregiem.

DEFINICJA 4.2

Szereg jest zbieżny: ⇔

S_n=
jest sumą szeregu.

UWAGA:

Mówiąc szereg
będziemy rozważać szereg {
,
}, natomiast mówiąc suma:
rozważamy wartość
S_n , gdzie S_n jest ciągiem sum częściowych szeregu.

TEORIA MIARY

DEFINICJA 4.3 (σ - ALGEBRA)

Dany zbiór Ω ≠ ∅, U - rodzina podzbiorów zbioru Ω.

U jest σ algebrą: ⇔ 1. Ω ∈U,

2.
(ၗ\A) ჎U,

3.
A_n჎U ⇒
A_n ჎ U.

PRZYKŁAD 4.1

ၗ = [0, 5]. Niech X={჆, [0,1[}.

Sprawdzamy, czy X jest ၳ algebrą:

Ad. 1^o Ω ∉U,

Ad. 2^o Ω\ ჆ = Ω∉U, Ω\ [0, 1[ = [1, 5] ∉U

Nie jest, więc musimy ją uzupełnić o Ω, [1, 5].

U₁ = {჆, [0,1[,
,
} Sprawdzamy, że jest to ၳ algebra:

1. [0, 5] = ၗ ∈ U₁

2. ၗ - ჆ = ၗ ∈ U₁; ၗ - ၗ = ჆∈U₁; ၗ - [0, 1[ = [1, 5] ∈U₁;

ၗ - [1, 5] = [0, 1[∈U₁.

3. ჆∪A = A dla A჎U₁;

ၗ∪A = ၗ dla A჎U₁;

[0, 1[∪[1, 5] = ၗ჎U₁.

Stąd wnioskujemy, że U₁ jest ၳ algebrą, która zawiera rodzinę X.

Istnieje nieskończenie wiele ၳ algebr zawierających rodzinę X.

U₁ jest najmniejszą z nich.

TWIERDZENIE 4.1

Z:
U_t jest ၳ algebrą na ၗ

T:
U_t jest ၳ algebrą na ၗ

D:

ad. 1
U_t jest ၳ algebrą პ
ၗ ჎U_t მ ၗ ჎
U_{t ,}

ad. 2 Niech A჎
U_t მ
A჎U_t i ponieważ U_t jest ၳ algebrą, to:

(ၗ\A)჎U_t მ (ၗ\A) ჎
U_t

ad. 3
A_n ჎
U_t მ

A_n ჎ U_t i ponieważ U_t jest ၳ algebrą, to:

A_n჎U_t მ
A_n჎
U_t

WNIOSEK 4.1

Jeżeli X jest pewną rodziną podzbiorów zbioru ၗ to
najmniejsza ၳ algebra U⊃X.

DEFINICJA 4.4 (ၳ ALGEBRA GENEROWANA PRZEZ RODZINĘ ZBIORÓW)

Niech X - rodzina podzbiorów zbioru ၗ; ၳ algebrą generowaną przez rodzinę X będziemy nazywali najmniejszą ၳ algebrę zawierającą X.

TWIERDZENIE 4.2 (WŁASNOŚCI ၳ ALGEBRY)

Z: U jest ၳ algebrą na ၗ

T: 1. ჆ ჎ U,

2.
A_n ჎ U პ
A_n჎U,

3. A, B ჎ U პ A∩B ჎ U, A
B ჎ U.

4. A, B ჎ U პ A\B ჎ U.

D:

ad. 1 ၗ ჎ U
ၗ\ၗ ჎U მ ჆ ჎U

ad. 2
A_n ჎ U

(ၗ\A_n) ჎U

(ၗ\A_n) ჎ U მ

⇔ (ၗ\
A_n) ჎ U

A_n ჎ U

ad. 3 A
B = (A
B
ၦ
… ) ჎ U,

ad. 4 A∩B = A∩B∩Ω∩…∩Ω... ჎U

ၳ-ALGEBRA ZBIORÓW BORELOWSKICH

Niech ၗ = IR, oraz X = {[a, b[ : a < b, a, b ჎IR};

ၳ algebrę generowaną przez X nazywamy ၳ-algebrą zb. borelowskich

i oznaczamy ją: B(IR). Elementy B(IR) będziemy nazywać również zbiorami borelowskimi.

PRZYKŁAD 4.2

1. {a}
B(IR) {a} =
[a, a +
[ , (zatem {a} ჎ B(IR))

2. ]a, b[
[a, b[ \{a} (z 4^o. tw.) jest zb. borelowskim

3. [a, ∞[

[a, n[ jest zb. borelowskim (z 3^o df.)

PRZYKŁAD 4.3

2^ၗ - zbiór wszystkich podzbiorów zb. ၗ ≠ ჆

2^ၗ - jest ၳ algebrą na ၗ

DEFINICJA 4.5 (MIARA)

Niech ၗ ≠ ჆, U - jest ၳ algebrą na ၗ

μ: U → IR₊
{0} - jest miarą: მ

1. μ {჆}=0,

2. 
   A_n ჎ U
   
   A_i
   A_j = ∅ პ μ (
   A_n) =
   μ (A_n) (przeliczalna addytywność miary)

3. 
   μ (A)=0 
   B ⊂A პ μ (B) = 0

4. μ (ၗ) = 1

Podsumowanie:

- jeżeli są spełnione warunki 1^o
2^o to μ jest miarą;

- jeżeli 1^o
2^o
3^o, to μ jest miarą zupełną;

- jeżeli 1^o
2^o
4^o, to μ jest miarą unormowaną;

- jeżeli zaś 1^o
2^o
3^o
4^o, to μ jest prawdopodobieństwem.

UWAGA:

Każdy element ၳ algebry będziemy nazywać zbiorem μ mierzalnym.

Dygresja:

1. A, B ჎ U; A
   B
   μ (B) ≥ μ (A)

w szczególności jeżeli μ (B)=0 to μ (A)=0.

Dow:

B = A
(B\A)
A
(B\A) = ჆,

zatem: μ(B)
μ (A) + μ (B\A) ≥ μ (A);

udowodniliśmy ponadto:

2. A, B ჎ U
   A
   B პ μ (B\A) = μ (B) - μ (A)

DEFINICJA 4.6 (PRZESTRZEŃ Z MIARĄ)

Jeżeli ၗ ≠ ∅, U - ၳ algebra na ၗ, μ - miara na U, to uporządkowaną trójkę (ၗ, U,   nazywamy przestrzenią z miarą.

MIARA DIRACA SKUPIONA W PUNKCIE x_o

PRZYKŁAD 4.3 c.d.

Niech ၗ ≠ ჆, 2^ၗ - jest ၳ algebrą na ၗ, x₀ ჎ ၗ

μ _Xo : 2^ၗ → IR₊
{0}

μ _Xo(A) =

Ad. 1 μ _Xo (჆) = 0, bo x_o ∉ ჆

Ad. 2 Niech:
A_n ჎ 2^ၗ

A_i
A_j = ∅,

1. x_o჎
   A_n
   
   A_i
   A_j = ჆ ⇒
   x_o ჎ A_i
   
   x_o ∉ A_k ⇒

⇒ δ_Xo(A_i) = 1
δ_Xo(A_k) = 0 dla k≠i

μ _Xo (
A_n) = 1, bo x_o ∈
A_n oraz
μ _Xo(A_n) = μ _Xo(A_i) = 1;

2. x_o ∉
   A_n პ
   x_o ∉ A_n

μ _Xo(
A_n) = 0

μ _Xo(A_n) = 0;

z a) i b) wynika, że μ _Xo (
A_n) =
μ _Xo(A_n)

Pokazaliśmy, że μ _Xo jest miarą. Nazywamy ją miarą Diraca skupioną w punkcie x_o.

Ad. 3
μ _Xo(A) = 0
B
A პ μ _Xo(B) = 0 (bo B∈2^ၗ)

Ad. 4 x_o჎ ၗ პ μ _Xo(ၗ) = 1, zatem miara Diraca jest prawdopodobieństwem.

TWIERDZENIE 4.3 (O UZUPEŁNIANIU MIARY)

Każdą miarę (niezupełną) można uzupełnić do miary zupełnej.

Konstrukcja (uzasadnienie): (ၗ, U, μ) - przestrzeń z miarą.

Uzupełnianie miary polega na uzupełnianiu ၳ algebry do U_o, a następnie rozszerzeniu miary do μ _o.

U_o = {B: B = A
S, A ჎ U, S - podzbiór zbioru miary 0}, U_o⊃U

μ _o: U_o → IR₊
{0} , taka że jeżeli B = A
S, to (przyjmujemy z definicji) μ _o(B) = μ (A)

μ o - jest miarą zupełną.

PRZYKŁAD 4.4

Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, U = { ჆ , ၗ ,
,
}, U jest ၳ algebrą

Niech μ: U∋A→ μ (A) : =

Sprawdzamy, czy są spełnione warunki miary:

^ (჆  

^ (_჈_  (_  (_, bo 4∈ _჈_, 4∉_ i 4∈_,

1 = 0 + 1

A1, A2 - są to jedyne zbiory rozłączne

(჆) = 0, (_) = 0, (_) = 1, (ၗ) = 1.

Sprawdzamy, czy jest to miara zupełna - nie jest, bo podzbiory zbioru A (miary 0) nie należą do U, zatem:

U_o= {ၦ, ၗ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
}

μ ₀(B) : =
jest miarą zupełną.

MIARA LEBESQUE'A NA R

B(IR) - jest ၳ algebrą zb. Borelowskich na IR (tzn. generowaną przez X={[a, b[ : a < b, a, b ჎ IR})

Ω = IR a, b჎ IR

TWIERDZENIE 4.4

miara
określona na B(IR), taka że
([a, b[) = b - a

(miara odcinka półotwartego jest równa długości tego odcinka).

Tak określona miara nie jest miarą zupełną.

DEFINICJA 4.7

Uzupełnienie
do miary zupełnej nazywamy miarą Lebesgue'a na IR

B_o(IR) = {B: B = A
S, A ჎ B(IR) (S - podzbiór zbioru miary 0) }

l(B) : =
(A) dla B = A
S

UMOWA:

Elementy ၳ algebry B_o(IR) nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue'a.

TWIERDZENIE 4.5 (O CIĄGŁOŚCI MIARY Z DOŁU)

Z:

U (ၗ, U, μ) - przestrzeń z miarą

A₁
A₂
A₃
… wstępujący ciąg zbiorów

A =
A_n

T: (A) =
(A_n)

D: A = A₁
(A₂\A₁)
(A₃\A₂)
… są parami rozłączne, zatem

(   (A₁ 
 (A_n+1\ A_n  (

A_n
A_n+1 პ  ( A_n+1\ A_n  (A_n+1  (A_n)

( = (A₁) +

[( A_k+1) -  (A_k)] = (A₁) +
[((A₂)  (A₁)+ + (A₃) - (A₂) +

+ ... +  (A_n) - (A_n+1) + (A_n+1) - (A_n)] =(A₁ 
[((A_n+1)-  ((A₁)=
((A_n+1 )=
(A_n)

TWIERDZENIE 4.6 (O CIĄGŁOŚCI MIARY Z GÓRY)

Z: (A_n)_n∈IN ჌ U, A₁჉A₂჉A_3… ჉ zstępujący ciąg zbiorów A =
A_n

T: μ (A) =
μ (A_n)

( Dowód analogiczny do Tw 4.5)

DEFINICJA 4.5

a) l({a})

{a} =
[a, a +
[ - ciąg zstępujący

na podst. Tw. 4.6 პ l({a}) =
l([a, a +
[) =

= 0

b) l(N)

l(IN) = l(
{n})

l({n}) = 0

c) l([a, b])

l([a, b]) = l([a, b[
{b}) = l([a, b[)
l({b}) = b - a

MIARA LEBESQUE'A NA Rⁿ

DEFINICJA 4.8 (ODCINEK W Rⁿ)

[a, b[ := {x:
a_i ≤ x_i< b_i }

B(IRⁿ) - jest σ - algebrą generowaną przez X={[a, b[ : a, b჎ IRⁿ, a < b}, gdzie a < b მ
a_i < b_i

TWIERDZENIE 4.7

miara
określona na B(Rⁿ) taka, że
([a, b[) =
(b_i - a_i)

Uzupełnienie miary
do miary zupełnej nazywamy miarą Lebesgue'a w Rⁿ i oznaczamy przez l_n.