Opracowanie: Kamil Sterna
WYKŁAD 4
Wstęp do teorii miary
DEFINICJA 4.1
Dany ciąg
.
Tworzymy ciąg Sn =
.
A wtedy: {
,
} nazywamy szeregiem.
DEFINICJA 4.2
Szereg jest zbieżny: ⇔
Sn=
jest sumą szeregu.
UWAGA:
Mówiąc szereg
będziemy rozważać szereg {
,
}, natomiast mówiąc suma:
rozważamy wartość
Sn , gdzie Sn jest ciągiem sum częściowych szeregu.
TEORIA MIARY
DEFINICJA 4.3 (σ - ALGEBRA)
Dany zbiór Ω ≠ ∅, U - rodzina podzbiorów zbioru Ω.
U jest σ algebrą: ⇔ 1. Ω ∈U,
2.
(ၗ\A) U,
3.
AnU ⇒
An U.
PRZYKŁAD 4.1
ၗ = [0, 5]. Niech X={, [0,1[}.
Sprawdzamy, czy X jest ၳ algebrą:
Ad. 1o Ω ∉U,
Ad. 2o Ω\ = Ω∉U, Ω\ [0, 1[ = [1, 5] ∉U
Nie jest, więc musimy ją uzupełnić o Ω, [1, 5].
U1 = {, [0,1[,
,
} Sprawdzamy, że jest to ၳ algebra:
1. [0, 5] = ၗ ∈ U1
2. ၗ - = ၗ ∈ U1; ၗ - ၗ = ∈U1; ၗ - [0, 1[ = [1, 5] ∈U1;
ၗ - [1, 5] = [0, 1[∈U1.
3. ∪A = A dla AU1;
ၗ∪A = ၗ dla AU1;
[0, 1[∪[1, 5] = ၗU1.
Stąd wnioskujemy, że U1 jest ၳ algebrą, która zawiera rodzinę X.
Istnieje nieskończenie wiele ၳ algebr zawierających rodzinę X.
U1 jest najmniejszą z nich.
TWIERDZENIE 4.1
Z:
Ut jest ၳ algebrą na ၗ
T:
Ut jest ၳ algebrą na ၗ
D:
ad. 1
Ut jest ၳ algebrą პ
ၗ Ut მ ၗ
Ut ,
ad. 2 Niech A
Ut მ
AUt i ponieważ Ut jest ၳ algebrą, to:
(ၗ\A)Ut მ (ၗ\A)
Ut
ad. 3
An
Ut მ
An Ut i ponieważ Ut jest ၳ algebrą, to:
AnUt მ
An
Ut
WNIOSEK 4.1
Jeżeli X jest pewną rodziną podzbiorów zbioru ၗ to
najmniejsza ၳ algebra U⊃X.
DEFINICJA 4.4 (ၳ ALGEBRA GENEROWANA PRZEZ RODZINĘ ZBIORÓW)
Niech X - rodzina podzbiorów zbioru ၗ; ၳ algebrą generowaną przez rodzinę X będziemy nazywali najmniejszą ၳ algebrę zawierającą X.
TWIERDZENIE 4.2 (WŁASNOŚCI ၳ ALGEBRY)
Z: U jest ၳ algebrą na ၗ
T: 1. U,
2.
An U პ
AnU,
3. A, B U პ A∩B U, A
B U.
4. A, B U პ A\B U.
D:
ad. 1 ၗ U
ၗ\ၗ U მ U
ad. 2
An U
(ၗ\An) U
(ၗ\An) U მ
⇔ (ၗ\
An) U
An U
ad. 3 A
B = (A
B
ၦ
… ) U,
ad. 4 A∩B = A∩B∩Ω∩…∩Ω... U
ၳ-ALGEBRA ZBIORÓW BORELOWSKICH
Niech ၗ = IR, oraz X = {[a, b[ : a < b, a, b IR};
ၳ algebrę generowaną przez X nazywamy ၳ-algebrą zb. borelowskich
i oznaczamy ją: B(IR). Elementy B(IR) będziemy nazywać również zbiorami borelowskimi.
PRZYKŁAD 4.2
1. {a}
B(IR) {a} =
[a, a +
[ , (zatem {a} B(IR))
2. ]a, b[
[a, b[ \{a} (z 4o. tw.) jest zb. borelowskim
3. [a, ∞[
[a, n[ jest zb. borelowskim (z 3o df.)
PRZYKŁAD 4.3
2ၗ - zbiór wszystkich podzbiorów zb. ၗ ≠
2ၗ - jest ၳ algebrą na ၗ
DEFINICJA 4.5 (MIARA)
Niech ၗ ≠ , U - jest ၳ algebrą na ၗ
μ: U → IR+
{0} - jest miarą: მ
μ {}=0,
An U
Ai
Aj = ∅ პ μ (
An) =
μ (An) (przeliczalna addytywność miary)
μ (A)=0
B ⊂A პ μ (B) = 0
μ (ၗ) = 1
Podsumowanie:
- jeżeli są spełnione warunki 1o
2o to μ jest miarą;
- jeżeli 1o
2o
3o, to μ jest miarą zupełną;
- jeżeli 1o
2o
4o, to μ jest miarą unormowaną;
- jeżeli zaś 1o
2o
3o
4o, to μ jest prawdopodobieństwem.
UWAGA:
Każdy element ၳ algebry będziemy nazywać zbiorem μ mierzalnym.
Dygresja:
A, B U; A
B
μ (B) ≥ μ (A)
w szczególności jeżeli μ (B)=0 to μ (A)=0.
Dow:
B = A
(B\A)
A
(B\A) = ,
zatem: μ(B)
μ (A) + μ (B\A) ≥ μ (A);
udowodniliśmy ponadto:
A, B U
A
B პ μ (B\A) = μ (B) - μ (A)
DEFINICJA 4.6 (PRZESTRZEŃ Z MIARĄ)
Jeżeli ၗ ≠ ∅, U - ၳ algebra na ၗ, μ - miara na U, to uporządkowaną trójkę (ၗ, U, nazywamy przestrzenią z miarą.
MIARA DIRACA SKUPIONA W PUNKCIE xo
PRZYKŁAD 4.3 c.d.
Niech ၗ ≠ , 2ၗ - jest ၳ algebrą na ၗ, x0 ၗ
μ Xo : 2ၗ → IR+
{0}
μ Xo(A) =
Ad. 1 μ Xo () = 0, bo xo ∉
Ad. 2 Niech:
An 2ၗ
Ai
Aj = ∅,
xo
An
Ai
Aj = ⇒
xo Ai
xo ∉ Ak ⇒
⇒ δXo(Ai) = 1
δXo(Ak) = 0 dla k≠i
μ Xo (
An) = 1, bo xo ∈
An oraz
μ Xo(An) = μ Xo(Ai) = 1;
xo ∉
An პ
xo ∉ An
μ Xo(
An) = 0
μ Xo(An) = 0;
z a) i b) wynika, że μ Xo (
An) =
μ Xo(An)
Pokazaliśmy, że μ Xo jest miarą. Nazywamy ją miarą Diraca skupioną w punkcie xo.
Ad. 3
μ Xo(A) = 0
B
A პ μ Xo(B) = 0 (bo B∈2ၗ)
Ad. 4 xo ၗ პ μ Xo(ၗ) = 1, zatem miara Diraca jest prawdopodobieństwem.
TWIERDZENIE 4.3 (O UZUPEŁNIANIU MIARY)
Każdą miarę (niezupełną) można uzupełnić do miary zupełnej.
Konstrukcja (uzasadnienie): (ၗ, U, μ) - przestrzeń z miarą.
Uzupełnianie miary polega na uzupełnianiu ၳ algebry do Uo, a następnie rozszerzeniu miary do μ o.
Uo = {B: B = A
S, A U, S - podzbiór zbioru miary 0}, Uo⊃U
μ o: Uo → IR+
{0} , taka że jeżeli B = A
S, to (przyjmujemy z definicji) μ o(B) = μ (A)
μ o - jest miarą zupełną.
PRZYKŁAD 4.4
Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, U = { , ၗ ,
,
}, U jest ၳ algebrą
Niech μ: U∋A→ μ (A) : =
Sprawdzamy, czy są spełnione warunki miary:
(
( ( (, bo 4∈ , 4∉ i 4∈,
1 = 0 + 1
A1, A2 - są to jedyne zbiory rozłączne
() = 0, () = 0, () = 1, (ၗ) = 1.
Sprawdzamy, czy jest to miara zupełna - nie jest, bo podzbiory zbioru A (miary 0) nie należą do U, zatem:
Uo= {ၦ, ၗ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
}
μ 0(B) : =
jest miarą zupełną.
MIARA LEBESQUE'A NA R
B(IR) - jest ၳ algebrą zb. Borelowskich na IR (tzn. generowaną przez X={[a, b[ : a < b, a, b IR})
Ω = IR a, b IR
TWIERDZENIE 4.4
miara
określona na B(IR), taka że
([a, b[) = b - a
(miara odcinka półotwartego jest równa długości tego odcinka).
Tak określona miara nie jest miarą zupełną.
DEFINICJA 4.7
Uzupełnienie
do miary zupełnej nazywamy miarą Lebesgue'a na IR
Bo(IR) = {B: B = A
S, A B(IR) (S - podzbiór zbioru miary 0) }
l(B) : =
(A) dla B = A
S
UMOWA:
Elementy ၳ algebry Bo(IR) nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue'a.
TWIERDZENIE 4.5 (O CIĄGŁOŚCI MIARY Z DOŁU)
Z:
U (ၗ, U, μ) - przestrzeń z miarą
A1
A2
A3
… wstępujący ciąg zbiorów
A =
An
T: (A) =
(An)
D: A = A1
(A2\A1)
(A3\A2)
… są parami rozłączne, zatem
( (A1
(An+1\ An (
An
An+1 პ ( An+1\ An (An+1 (An)
( = (A1) +
[( Ak+1) - (Ak)] = (A1) +
[((A2) (A1)+ + (A3) - (A2) +
+ ... + (An) - (An+1) + (An+1) - (An)] =(A1
[((An+1)- ((A1)=
((An+1 )=
(An)
TWIERDZENIE 4.6 (O CIĄGŁOŚCI MIARY Z GÓRY)
Z: (An)n∈IN U, A1A2A3… zstępujący ciąg zbiorów A =
An
T: μ (A) =
μ (An)
( Dowód analogiczny do Tw 4.5)
DEFINICJA 4.5
a) l({a})
{a} =
[a, a +
[ - ciąg zstępujący
na podst. Tw. 4.6 პ l({a}) =
l([a, a +
[) =
= 0
b) l(N)
l(IN) = l(
{n})
l({n}) = 0
c) l([a, b])
l([a, b]) = l([a, b[
{b}) = l([a, b[)
l({b}) = b - a
MIARA LEBESQUE'A NA Rn
DEFINICJA 4.8 (ODCINEK W Rn)
[a, b[ := {x:
ai ≤ xi< bi }
B(IRn) - jest σ - algebrą generowaną przez X={[a, b[ : a, b IRn, a < b}, gdzie a < b მ
ai < bi
TWIERDZENIE 4.7
miara
określona na B(Rn) taka, że
([a, b[) =
(bi - ai)
Uzupełnienie miary
do miary zupełnej nazywamy miarą Lebesgue'a w Rn i oznaczamy przez ln.