Wyklad4(1), Psychologia, biologia, Matematyka


Opracowanie: Kamil Sterna

WYKŁAD 4

Wstęp do teorii miary

DEFINICJA 4.1

Dany ciąg 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Tworzymy ciąg Sn = 0x01 graphic
.

A wtedy: {0x01 graphic
, 0x01 graphic
} nazywamy szeregiem.

DEFINICJA 4.2

Szereg jest zbieżny: ⇔ 0x01 graphic
0x01 graphic
Sn= 0x01 graphic
jest sumą szeregu.

UWAGA:

Mówiąc szereg 0x01 graphic
będziemy rozważać szereg {0x01 graphic
, 0x01 graphic
}, natomiast mówiąc suma: 0x01 graphic
rozważamy wartość 0x01 graphic
Sn , gdzie Sn jest ciągiem sum częściowych szeregu.

TEORIA MIARY

DEFINICJA 4.3 (σ - ALGEBRA)

Dany zbiór Ω ≠ ∅, U - rodzina podzbiorów zbioru Ω.

U jest σ algebrą: 1. Ω U,

2.0x01 graphic
(ၗ\A) ჎U,

3.0x01 graphic
An჎U ⇒ 0x01 graphic
An ჎ U.

PRZYKŁAD 4.1

ၗ = [0, 5]. Niech X={჆, [0,1[}.

Sprawdzamy, czy X jest ၳ algebrą:

Ad. 1o Ω ∉U,

Ad. 2o Ω\ ჆ = Ω∉U, Ω\ [0, 1[ = [1, 5] ∉U

Nie jest, więc musimy ją uzupełnić o Ω, [1, 5].

U1 = {჆, [0,1[, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
} Sprawdzamy, że jest to ၳ algebra:

1. [0, 5] = ၗ ∈ U1

2. ၗ - ჆ = ၗ ∈ U1; ၗ - ၗ = ჆∈U1; ၗ - [0, 1[ = [1, 5] ∈U1;

ၗ - [1, 5] = [0, 1[∈U1.

3. ჆∪A = A dla A჎U1;

ၗ∪A = ၗ dla A჎U1;

[0, 1[∪[1, 5] = ၗ჎U1.

Stąd wnioskujemy, że U1 jest ၳ algebrą, która zawiera rodzinę X.

Istnieje nieskończenie wiele ၳ algebr zawierających rodzinę X.

U1 jest najmniejszą z nich.

TWIERDZENIE 4.1

Z: 0x01 graphic
Ut jest ၳ algebrą na ၗ

T: 0x01 graphic
Ut jest ၳ algebrą na ၗ

D:

ad. 1 0x01 graphic
Ut jest ၳ algebrą პ 0x01 graphic
ၗ ჎Ut მ ၗ ჎0x01 graphic
Ut ,

ad. 2 Niech A჎0x01 graphic
Ut0x01 graphic
A჎Ut i ponieważ Ut jest ၳ algebrą, to:

0x01 graphic
(ၗ\A)჎Ut მ (ၗ\A) ჎0x01 graphic
Ut

ad. 3 0x01 graphic
An 0x01 graphic
Ut 0x01 graphic
0x01 graphic
An ჎ Ut i ponieważ Ut jest ၳ algebrą, to: 0x01 graphic
0x01 graphic
An჎Ut0x01 graphic
An0x01 graphic
Ut

WNIOSEK 4.1

Jeżeli X jest pewną rodziną podzbiorów zbioru ၗ to 0x01 graphic
najmniejsza algebra U⊃X.

DEFINICJA 4.4 (ၳ ALGEBRA GENEROWANA PRZEZ RODZINĘ ZBIORÓW)

Niech X - rodzina podzbiorów zbioru ၗ; ၳ algebrą generowaną przez rodzinę X będziemy nazywali najmniejszą ၳ algebrę zawierającą X.

TWIERDZENIE 4.2 (WŁASNOŚCI ၳ ALGEBRY)

Z: U jest ၳ algebrą na ၗ

T: 1. ჆ ჎ U,

2. 0x01 graphic
An ჎ U პ 0x01 graphic
An჎U,

3. A, B ჎ U პ A∩B ჎ U, A0x01 graphic
B ჎ U.

4. A, B ჎ U პ A\B ჎ U.

D:

ad. 1 ၗ ჎ U 0x01 graphic
ၗ\ၗ ჎U მ ჆ ჎U

ad. 2 0x01 graphic
An ჎ U 0x01 graphic
0x01 graphic
(ၗ\An) ჎U 0x01 graphic
0x01 graphic
(ၗ\An) ჎ U მ

⇔ (ၗ\0x01 graphic
An) ჎ U0x01 graphic
0x01 graphic
An ჎ U

ad. 3 A0x01 graphic
B = (A0x01 graphic
B0x01 graphic
0x01 graphic
… ) ჎ U,

ad. 4 A∩B = A∩B∩Ω∩…∩Ω... ჎U

-ALGEBRA ZBIORÓW BORELOWSKICH

Niech ၗ = IR, oraz X = {[a, b[ : a < b, a, b ჎IR};

ၳ algebrę generowaną przez X nazywamy ၳ-algebrą zb. borelowskich

i oznaczamy ją: B(IR). Elementy B(IR) będziemy nazywać również zbiorami borelowskimi.

PRZYKŁAD 4.2

1. {a} 0x01 graphic
B(IR) {a} = 0x01 graphic
[a, a + 0x01 graphic
[ , (zatem {a} ჎ B(IR))

2. ]a, b[ 0x01 graphic
[a, b[ \{a} (z 4o. tw.) jest zb. borelowskim

3. [a, ∞[ 0x01 graphic
0x01 graphic
[a, n[ jest zb. borelowskim (z 3o df.)

PRZYKŁAD 4.3

2 - zbiór wszystkich podzbiorów zb. ၗ ≠ ჆

2 - jest ၳ algebrą na ၗ

DEFINICJA 4.5 (MIARA)

Niech ၗ ≠ ჆, U - jest ၳ algebrą na ၗ

μ: U → IR+ 0x01 graphic
{0} - jest miarą: მ

  1. μ {჆}=0,

  2. 0x01 graphic
    An ჎ U 0x01 graphic
    0x01 graphic
    Ai 0x01 graphic
    Aj = ∅ პ μ ( 0x01 graphic
    An) = 0x01 graphic
    μ (An) (przeliczalna addytywność miary)

  3. 0x01 graphic
    μ (A)=0  0x01 graphic
    B ⊂A პ μ (B) = 0

  4. μ (ၗ) = 1

Podsumowanie:

- jeżeli są spełnione warunki 1o0x01 graphic
2o to μ jest miarą;

- jeżeli 1o0x01 graphic
2o0x01 graphic
3o, to μ jest miarą zupełną;

- jeżeli 1o0x01 graphic
2o0x01 graphic
4o, to μ jest miarą unormowaną;

- jeżeli zaś 1o0x01 graphic
2o0x01 graphic
3o0x01 graphic
4o, to μ jest prawdopodobieństwem.

UWAGA:

Każdy element algebry będziemy nazywać zbiorem μ mierzalnym.

Dygresja:

  1. A, B ჎ U; A0x01 graphic
    B 0x01 graphic
    μ (B) ≥ μ (A)

w szczególności jeżeli μ (B)=0 to μ (A)=0.

Dow:

B = A0x01 graphic
(B\A) 0x01 graphic
A0x01 graphic
(B\A) = ჆,

zatem: μ(B) 0x01 graphic
μ (A) + μ (B\A) ≥ μ (A);

udowodniliśmy ponadto:

  1. A, B U 0x01 graphic
    A0x01 graphic
    B μ (B\A) = μ (B) - μ (A)

DEFINICJA 4.6 (PRZESTRZEŃ Z MIARĄ)

Jeżeli ၗ ≠ ∅, U - ၳ algebra na ၗ, μ - miara na U, to uporządkowaną trójkę (ၗ, U,   nazywamy przestrzenią z miarą.

MIARA DIRACA SKUPIONA W PUNKCIE xo

PRZYKŁAD 4.3 c.d.

Niech ၗ ≠ ჆, 2 - jest ၳ algebrą na ၗ, x0 ჎ ၗ

μ Xo : 2 → IR+0x01 graphic
{0}

μ Xo(A) =0x01 graphic

Ad. 1 μ Xo (჆) = 0, bo xo ∉ ჆

Ad. 2 Niech: 0x01 graphic
An ჎ 2 0x01 graphic
0x01 graphic
Ai 0x01 graphic
Aj = ∅,

  1. xo0x01 graphic
    An 0x01 graphic
    0x01 graphic
    Ai 0x01 graphic
    Aj = ჆ ⇒ 0x01 graphic
    xo ჎ Ai 0x01 graphic
    0x01 graphic
    xo ∉ Ak

⇒ δXo(Ai) = 1 0x01 graphic
δXo(Ak) = 0 dla k≠i

μ Xo (0x01 graphic
An) = 1, bo xo0x01 graphic
An oraz 0x01 graphic
μ Xo(An) = μ Xo(Ai) = 1;

  1. xo0x01 graphic
    An0x01 graphic
    xo ∉ An

μ Xo(0x01 graphic
An) = 0 0x01 graphic
0x01 graphic
μ Xo(An) = 0;

z a) i b) wynika, że μ Xo (0x01 graphic
An) = 0x01 graphic
μ Xo(An)

Pokazaliśmy, że μ Xo jest miarą. Nazywamy ją miarą Diraca skupioną w punkcie xo.

Ad. 3 0x01 graphic
μ Xo(A) = 0 0x01 graphic
B0x01 graphic
A პ μ Xo(B) = 0 (bo B∈2)

Ad. 4 xo჎ ၗ პ μ Xo(ၗ) = 1, zatem miara Diraca jest prawdopodobieństwem.

TWIERDZENIE 4.3 (O UZUPEŁNIANIU MIARY)

Każdą miarę (niezupełną) można uzupełnić do miary zupełnej.

Konstrukcja (uzasadnienie): (ၗ, U, μ) - przestrzeń z miarą.

Uzupełnianie miary polega na uzupełnianiu ၳ algebry do Uo, a następnie rozszerzeniu miary do μ o.

Uo = {B: B = A0x01 graphic
S, A ჎ U, S - podzbiór zbioru miary 0}, Uo⊃U

μ o: Uo → IR+0x01 graphic
{0} , taka że jeżeli B = A0x01 graphic
S, to (przyjmujemy z definicji) μ o(B) = μ (A)

μ o - jest miarą zupełną.

PRZYKŁAD 4.4

Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, U = { ჆ , ၗ , 0x01 graphic
, 0x01 graphic
}, U jest ၳ algebrą

Niech μ: U∋A→ μ (A) : = 0x01 graphic

Sprawdzamy, czy są spełnione warunki miary:

(჆  

(჈  (  (, bo 4∈ ჈, 4∉ i 4∈,

1 = 0 + 1

A1, A2 - są to jedyne zbiory rozłączne

(჆) = 0, () = 0, () = 1, (ၗ) = 1.

Sprawdzamy, czy jest to miara zupełna - nie jest, bo podzbiory zbioru A (miary 0) nie należą do U, zatem:

Uo= {ၦ, ၗ, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
}

0x01 graphic
μ 0(B) : = 0x01 graphic
jest miarą zupełną.

MIARA LEBESQUE'A NA R

B(IR) - jest ၳ algebrą zb. Borelowskich na IR (tzn. generowaną przez X={[a, b[ : a < b, a, b ჎ IR})

Ω = IR a, b჎ IR

TWIERDZENIE 4.4

0x01 graphic
miara0x01 graphic
określona na B(IR), taka że 0x01 graphic
([a, b[) = b - a

(miara odcinka półotwartego jest równa długości tego odcinka).

Tak określona miara nie jest miarą zupełną.

DEFINICJA 4.7

Uzupełnienie 0x01 graphic
do miary zupełnej nazywamy miarą Lebesgue'a na IR

Bo(IR) = {B: B = A0x01 graphic
S, A ჎ B(IR) (S - podzbiór zbioru miary 0) }

l(B) : = 0x01 graphic
(A) dla B = A0x01 graphic
S

UMOWA:

Elementy algebry Bo(IR) nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue'a.

TWIERDZENIE 4.5 (O CIĄGŁOŚCI MIARY Z DOŁU)

Z: 0x01 graphic
0x01 graphic
U (ၗ, U, μ) - przestrzeń z miarą

A1 0x01 graphic
A2 0x01 graphic
A3 0x01 graphic
… wstępujący ciąg zbiorów

A = 0x01 graphic
An

T: (A) = 0x01 graphic
(An)

D: A = A10x01 graphic
(A2\A1)0x01 graphic
(A3\A2)0x01 graphic
… są parami rozłączne, zatem

(   (A1  0x01 graphic
 (An+1\ An  (

An 0x01 graphic
An+1 პ  ( An+1\ An  (An+1  (An)

( = (A1) + 0x01 graphic
0x01 graphic
[( Ak+1) -  (Ak)] = (A1) + 0x01 graphic
[((A2)  (A1)+ + (A3) - (A2) +

+ ... +  (An) - (An+1) + (An+1) - (An)] =(A1  0x01 graphic
[((An+1)-  ((A1)= 0x01 graphic
((An+1 )= 0x01 graphic
(An)

TWIERDZENIE 4.6 (O CIĄGŁOŚCI MIARY Z GÓRY)

Z: (An)nIN ჌ U, A1჉A2჉A3… ჉ zstępujący ciąg zbiorów A = 0x01 graphic
An

T: μ (A) = 0x01 graphic
μ (An)

( Dowód analogiczny do Tw 4.5)

DEFINICJA 4.5

a) l({a})

{a} = 0x01 graphic
[a, a +0x01 graphic
[ - ciąg zstępujący

na podst. Tw. 4.6 პ l({a}) = 0x01 graphic
l([a, a +0x01 graphic
[) = 0x01 graphic
0x01 graphic
= 0

b) l(N)

l(IN) = l(0x01 graphic
{n}) 0x01 graphic
0x01 graphic
l({n}) = 0

c) l([a, b])

l([a, b]) = l([a, b[0x01 graphic
{b}) = l([a, b[)0x01 graphic
l({b}) = b - a

MIARA LEBESQUE'A NA Rn

DEFINICJA 4.8 (ODCINEK W Rn)

[a, b[ := {x: 0x01 graphic
ai ≤ xi< bi }

B(IRn) - jest σ - algebrą generowaną przez X={[a, b[ : a, b჎ IRn, a < b}, gdzie a < b მ 0x01 graphic
ai < bi

TWIERDZENIE 4.7

0x01 graphic
miara 0x01 graphic
określona na B(Rn) taka, że 0x01 graphic
([a, b[) = 0x01 graphic
(bi - ai)

Uzupełnienie miary 0x01 graphic
do miary zupełnej nazywamy miarą Lebesgue'a w Rn i oznaczamy przez ln.



Wyszukiwarka