PODOLAK TOMASZ 13 III 2007 r. GRUPA V
WYDZIAL ELEKTRONIKI-TELEINFORMATYKA
SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 1
Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego i sprawdzenie twierdzenia Steinera
1.Wyniki pomiarów
a) tarcza metalowa - wymiary i masa
Lp |
I oś |
II oś |
III oś |
Masa |
||||||||||||
|
2d [mm] |
Δ2d [mm] |
d [mm] |
Δd [mm] |
2d [mm] |
Δ2d [mm] |
d [mm] |
Δd [mm] |
2d [mm] |
Δ2d [mm] |
d [mm] |
Δd [mm] |
m[g] |
Δm[g] |
||
1. |
79,70 |
0,14 |
39,85 |
0,07 |
135,50 |
0.1 |
67,75 |
0,05 |
131,58 |
0.056 |
65,79 |
0,028 |
967.3 |
0.1 |
||
2. |
80,00 |
0,16 |
40,00 |
0,08 |
135,70 |
0.1 |
67,85 |
0,05 |
131,60 |
0.036 |
65,80 |
0,018 |
967.2 |
0.0 |
||
3. |
79,90 |
0,06 |
39,95 |
0,03 |
135,60 |
0.0 |
67,80 |
0,00 |
131,72 |
0,084 |
65,86 |
0,042 |
967.1 |
0.1 |
||
4. |
79,80 |
0,04 |
39,90 |
0,02 |
135,70 |
0.1 |
67,85 |
0,05 |
131,62 |
0,016 |
65,81 |
0,008 |
967.2 |
0.0 |
||
5 |
79,80 |
0,04 |
39,90 |
0,02 |
135,50 |
0.1 |
67,75 |
0,05 |
131,66 |
0,024 |
65,83 |
0,012 |
967.2 |
0.0 |
||
Śr. |
79,84 |
0,05 |
39,92 |
0,025 |
135,6 |
0,04 |
67,8 |
0,01 |
131,636 |
0,02 |
65,818 |
0,012 |
967,2 |
0,03 |
b) tarcza metalowa - okresy drgań oraz momenty bezwładności
Lp |
t[s] |
Δ t [s] |
T[s] |
ΔT[s] |
Id [ kgm2] |
Δ Id [kgm2] |
C[m2] |
ΔC[m2] |
I0 [kgm2] |
Δ I0 [kgm2] |
|
Pierwszy otwór |
1 |
63,50 |
0,148 |
0,6350 |
0,00148 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
64,48 |
0,832 |
0,6448 |
0,00832 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
64,23 |
0,582 |
0,6423 |
0,00582 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
60,73 |
2,918 |
0,6073 |
0,006073 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
65,30 |
1,652 |
0,6530 |
0,006530 |
|
|
|
|
|
|
|
Śr |
63,648 |
0,78 |
0,63648 |
0,01 |
0,0137 |
|
0.1156 |
0,0205 |
0,01216 |
|
Drugi otwór |
1 |
58,23 |
4,148 |
0,5823 |
0,005823 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
65,17 |
2,792 |
0,6517 |
0,006517 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
62,62 |
0,242 |
0,6262 |
0,006262 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
62,31 |
0,068 |
0,6231 |
0,006231 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
63,56 |
1,182 |
0,6356 |
0,006356 |
|
|
|
|
|
|
|
Śr |
62,378 |
1,15 |
0,62378 |
0,001 |
0,019 |
|
0.0775 |
0,0951 |
0,01456 |
0,000000106 |
Trzeci otwór |
1 |
63,47 |
0,354 |
0,6347 |
0,006347 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
59,41 |
4,414 |
0,5941 |
0,005941 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
64,37 |
0,546 |
0,6437 |
0,006437 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
64,67 |
0,846 |
0,6467 |
0,006467 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
67,20 |
3,376 |
0,6720 |
0,006720 |
|
|
|
|
|
|
|
Śr. |
63,824 |
1,26 |
0,63824 |
0,001 |
0,02 |
0,0063 |
0,0922 |
0,029 |
0,0158
|
0,0063
|
0.0951 |
0,04 |
c) pierścień metalowy - wymiary i masa
Lp |
m[g] |
Δm[g] |
2Rz [mm] |
Δ2 Rz [mm] |
Rz [mm]
|
Δ Rz [mm] |
2rw [mm]
|
Δ2rw [mm] |
rw [mm]
|
Δrw [mm] |
1 |
220,3 |
0,02 |
119,50 |
0,128 |
59,75 |
0,154 |
105,10 |
0,02 |
52.55 |
0,01 |
2 |
220,2 |
0,08 |
119,40 |
0,228 |
59,7 |
0,204 |
105,00 |
0,08
|
52.5
|
0,04 |
3 |
220,4 |
0,12 |
119,54 |
0,088 |
59,77 |
0.134 |
105,20 |
0,12 |
52.6 |
0,06 |
4 |
220,2 |
0,08 |
120,10 |
0,472 |
60,5 |
0,596 |
105,10 |
0,02 |
52.55 |
0,01 |
5 |
220,3 |
0,02 |
119,60 |
0,028 |
59,8 |
0,104 |
105,00 |
0,08 |
52.5 |
0,04 |
Śr. |
220,28
|
0,05 |
119,628
|
0,014 |
59,904 |
0,02
|
105,08
|
0,03 |
52,54 |
0,02 |
d) pierścień metalowy - okresy drgań i momenty bezwładności
Lp |
t[s] |
Δ t [s] |
T[s] |
ΔT[s] |
Id[kgm2] |
Δ Id[kgm2] |
I0 [kgm2] |
Δ I0 [kgm2] |
1 |
67,08 |
0,416 |
0,6708 |
0,006708 |
|
|
|
|
2 |
66,79 |
0,706 |
0,6679 |
0,006679 |
|
|
|
|
3 |
68,97 |
1,474 |
0,6897 |
0,006897 |
|
|
|
|
4 |
67,41 |
0,086 |
0,6741 |
0,006741 |
|
|
|
|
5 |
67,23 |
0,266 |
0,6723 |
0,006723 |
|
|
|
|
Śr |
67,496 |
0,38 |
0,67496 |
0,001 |
|
|
|
|
2.Obliczanie błędów
a) tarcza metalowa
I oś
Δdśr=
mm
ΔTśr=
s
II oś
Δdśr=
mm
ΔTśr=
1 s
III oś
Δdśr=
mm
ΔTśr=
s
Δmśr=
g
ΔCśr=
m2
c) pierścień metalowy
ΔTśr=
s
Δ 2Rz=
Δ2 rw=
Δ Rz=
Δ rw=
Δmśr=
g
3. Przykładowe obliczenia
a) wyznaczanie momentu bezwładności dla tarczy metalowej względem różnych osi
I oś
Id =
= 0,0137 kg
Po uwzględnieniu błędu pomiaru
Id =0,0137+
= 0,01413 kg
II oś
Id =
= 0,019 kg
Po uwzględnieniu błędu pomiaru
Id= 0,019 +
= 0,025 kg
III oś
Id =
= 0,02 kg
Po uwzględnieniu błędu pomiaru
Id= 0,02 + 0,0063 = 0.0263 kg
błąd wyznaczenia Id wyznaczamy za pomocą pochodnej logarytmicznej
b) wyznaczanie momentu bezwładności względem osi środkowej
dla pierwszej wartości d
I0= Id - md2 = 0,0137 - 0,9672*(0,03992)2 = 0,01216 kg
Po uwzględnieniu błędu
I0 = 0,01216+
= 0,0122 kg
dla drugiej wartości d
I0= Id - md2 = 0,019- 0,9672*(0,0678)2 = 0,01456 kg
Po uwzględnieniu błędu
I0=0,01456 +0,000000106 = 0,01456 kg
dla trzeciej wartości d
I0= Id - md2 = 0,02 - 0,9672*(0,065818)2 = 0,0158 kg
Po uwzględnieniu błędu
I0=0,0158+0,0063 = 0.0221 kg
błąd wyznaczenia I0 obliczam za pomocą różniczki zupełnej
0,0061+|-2 . 0,9672 . 0,0678|. 0,00002+(0,0678)2. 0,0001 = 0,000000106
0,0063+2.0,9672 . 0,065818 .0.00002+ 0,0658182 . 0,0001 = 0,0063
c) obliczanie stałej C
dla pierwszej wartości d
C =
C=
. 9.81 . 0,03992 -
2 . (0,03992)2 = 0.1156 m2
dla drugiej wartości d
C=
. 9.81 . 0.0678 -
2 . (0.0678)2 = 0.0775 m2
dla trzeciej wartości d
C= (0.63824)2 . 9.81 . 0,065818 -
2 . (0,065818)2 =0,0922 m2
błąd stałej C obliczamy z różniczki zupełnej
= 2 . 0.63648 . 9.81. 0.03992.0.01 + ((0.63648)2 . 9.81 - 8.(3,14)2.0.03992). 0.02 = 0.02149 m2
d) obliczanie I0 dla tarczy za pomocą wzoru I0=
I0 =
= 0,002 kgm2
błąd bezwzględny wyznaczamy za pomocą pochodnej logarytmicznej:
e) Obliczenie momentu bezwładności pierścienia względem środka masy ze wzoru tablicowego:
błąd wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej
f) Moment bezwładności pierścienia Id wyliczamy ze wzoru:
błąd wyznaczamy za pomocą pochodnej logarytmicznej:
b) Obliczanie momentu bezwładności względem środka masy (z twierdzenia Steinera):
błąd wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej:
4.Wnioski
METODA |
I0 10-3 [kg∙m2] |
Z twierdz. Steinera |
0,69 |
Ze wzoru tablicowego |
0, 7 |
Jak widać z przedstawionej wyżej tabelki udało nam się udowodnić twierdzenia Steinera. Oczywiście otrzymanie wyniku idealnie zgodnego z wynikiem tablicowym jest niemalże niemożliwe gdyż wartości mierzone są obarczone pewnymi błędami. Są one spowodowane takimi czynnikami jak: skończona dokładność suwmiarki, stopera oraz wagi.. Dodatkowo wpływ na wynik miał refleks obsługującego(czas po jakim zdoła zatrzymać stoper). Ponadto zaokrąglenie liczby Π do dwóch miejsc po przecinku oraz stałej grawitacji miało znaczący wpływ na zwiększenie błędu wyniku ostatecznego