PODOLAK TOMASZ 13 III 2007 r. GRUPA V

WYDZIAL ELEKTRONIKI-TELEINFORMATYKA

SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 1

Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego i sprawdzenie twierdzenia Steinera

1.Wyniki pomiarów

a) tarcza metalowa - wymiary i masa

Lp	I oś				II oś				III oś					Masa
		2d [mm]	Δ2d [mm]	d [mm]	Δd [mm]	2d [mm]	Δ2d [mm]	d [mm]	Δd [mm]		2d [mm]	Δ2d [mm]	d [mm]	Δd [mm]		m[g]	Δm[g]
1.	79,70	0,14	39,85	0,07	135,50	0.1	67,75	0,05		131,58	0.056	65,79	0,028		967.3	0.1
2.	80,00	0,16	40,00	0,08	135,70	0.1	67,85	0,05		131,60	0.036	65,80	0,018		967.2	0.0
3.	79,90	0,06	39,95	0,03	135,60	0.0	67,80	0,00		131,72	0,084	65,86	0,042		967.1	0.1
4.	79,80	0,04	39,90	0,02	135,70	0.1	67,85	0,05		131,62	0,016	65,81	0,008		967.2	0.0
5	79,80	0,04	39,90	0,02	135,50	0.1	67,75	0,05		131,66	0,024	65,83	0,012		967.2	0.0
Śr.	79,84	0,05	39,92	0,025	135,6	0,04	67,8	0,01		131,636	0,02	65,818	0,012		967,2	0,03

b) tarcza metalowa - okresy drgań oraz momenty bezwładności

Lp	t[s]	Δ t [s]	T[s]	ΔT[s]	Id [ kgm^2]	Δ Id [kgm^2]	C[m^2]	ΔC[m^2]	I0 [kgm^2]	Δ I0 [kgm^2]
Pierwszy otwór	1	63,50	0,148	0,6350	0,00148
		2	64,48	0,832	0,6448	0,00832
		3	64,23	0,582	0,6423	0,00582
		4	60,73	2,918	0,6073	0,006073
		5	65,30	1,652	0,6530	0,006530
		Śr	63,648	0,78	0,63648	0,01	0,0137		0.1156	0,0205	0,01216
	Drugi otwór	1	58,23	4,148	0,5823	0,005823
		2	65,17	2,792	0,6517	0,006517
		3	62,62	0,242	0,6262	0,006262
		4	62,31	0,068	0,6231	0,006231
		5	63,56	1,182	0,6356	0,006356
		Śr	62,378	1,15	0,62378	0,001	0,019		0.0775	0,0951	0,01456	0,000000106
	Trzeci otwór	1	63,47	0,354	0,6347	0,006347
		2	59,41	4,414	0,5941	0,005941
		3	64,37	0,546	0,6437	0,006437
		4	64,67	0,846	0,6467	0,006467
		5	67,20	3,376	0,6720	0,006720
		Śr.	63,824	1,26	0,63824	0,001	0,02	0,0063	0,0922	0,029	0,0158	0,0063
0.0951	0,04

c) pierścień metalowy - wymiary i masa

Lp	m[g]	Δm[g]	2Rz [mm]	Δ2 Rz [mm]	Rz [mm]	Δ Rz [mm]	2rw [mm]	Δ2rw [mm]	rw [mm]	Δrw [mm]
1	220,3	0,02	119,50	0,128	59,75	0,154	105,10	0,02	52.55	0,01
2	220,2	0,08	119,40	0,228	59,7	0,204	105,00	0,08	52.5	0,04
3	220,4	0,12	119,54	0,088	59,77	0.134	105,20	0,12	52.6	0,06
4	220,2	0,08	120,10	0,472	60,5	0,596	105,10	0,02	52.55	0,01
5	220,3	0,02	119,60	0,028	59,8	0,104	105,00	0,08	52.5	0,04
Śr.	220,28	0,05	119,628	0,014	59,904	0,02	105,08	0,03	52,54	0,02

d) pierścień metalowy - okresy drgań i momenty bezwładności

Lp	t[s]	Δ t [s]	T[s]	ΔT[s]	Id[kgm^2]	Δ Id[kgm^2]	I0 [kgm^2]	Δ I0 [kgm^2]
1	67,08	0,416	0,6708	0,006708
2	66,79	0,706	0,6679	0,006679
3	68,97	1,474	0,6897	0,006897
4	67,41	0,086	0,6741	0,006741
5	67,23	0,266	0,6723	0,006723
Śr	67,496	0,38	0,67496	0,001

2.Obliczanie błędów

a) tarcza metalowa

• I oś

Δd_śr=
mm

ΔT_śr=
s

• II oś

Δd_śr=
mm

ΔT_śr=
1 s

• III oś

Δd_śr=
mm

ΔT_śr=
s

Δm_śr=
g

ΔC_śr=
m²

c) pierścień metalowy

ΔT_śr=
s

Δ 2R_z=

Δ2 r_w=

Δ R_z=

Δ r_w=

Δm_śr=
g

3. Przykładowe obliczenia

a) wyznaczanie momentu bezwładności dla tarczy metalowej względem różnych osi

• I oś

I_d =
= 0,0137 kg

Po uwzględnieniu błędu pomiaru

I_d =0,0137+
= 0,01413 kg

• II oś

I_d =
= 0,019 kg

Po uwzględnieniu błędu pomiaru

I_d= 0,019 +
= 0,025 kg

• III oś

I_d =
= 0,02 kg

Po uwzględnieniu błędu pomiaru

I_d= 0,02 + 0,0063 = 0.0263 kg

• błąd wyznaczenia I_d wyznaczamy za pomocą pochodnej logarytmicznej

b) wyznaczanie momentu bezwładności względem osi środkowej

• dla pierwszej wartości d

I₀= I_d - md² = 0,0137 - 0,9672*(0,03992)² = 0,01216 kg

Po uwzględnieniu błędu

I₀ = 0,01216+
= 0,0122 kg

• dla drugiej wartości d

I₀= I_d - md² = 0,019- 0,9672*(0,0678)² = 0,01456 kg

Po uwzględnieniu błędu

I₀=0,01456 +0,000000106 = 0,01456 kg

• dla trzeciej wartości d

I₀= I_d - md² = 0,02 - 0,9672*(0,065818)² = 0,0158 kg

Po uwzględnieniu błędu

I₀=0,0158+0,0063 = 0.0221 kg

• błąd wyznaczenia I₀ obliczam za pomocą różniczki zupełnej

0,0061+|-2 ^. 0,9672 ^. 0,0678|^. 0,00002+(0,0678)^2. 0,0001 = 0,000000106

0,0063+2^.0,9672 ^. 0,065818 ^.0.00002+ 0,065818^{2 .} 0,0001 = 0,0063

c) obliczanie stałej C

• dla pierwszej wartości d

C =

C=
^. 9.81 ^. 0,03992 -
^{2 .} (0,03992)² = 0.1156 m²

• dla drugiej wartości d

C=
^. 9.81 ^. 0.0678 -
^{2 .} (0.0678)² = 0.0775 m²

• dla trzeciej wartości d

C= (0.63824)^{2 .} 9.81 ^. 0,065818 -
^{2 .} (0,065818)² =0,0922 m²

• błąd stałej C obliczamy z różniczki zupełnej

= 2 ^. 0.63648 ^. 9.81^. 0.03992^.0.01 + ((0.63648)^{2 .} 9.81 - 8^.(3,14)^2.0.03992)^. 0.02 = 0.02149 m²

d) obliczanie I₀ dla tarczy za pomocą wzoru I₀=

I₀ =
= 0,002 kgm²

• błąd bezwzględny wyznaczamy za pomocą pochodnej logarytmicznej:

e) Obliczenie momentu bezwładności pierścienia względem środka masy ze wzoru tablicowego:

• błąd wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej

f) Moment bezwładności pierścienia I_d wyliczamy ze wzoru:

• błąd wyznaczamy za pomocą pochodnej logarytmicznej:

b) Obliczanie momentu bezwładności względem środka masy (z twierdzenia Steinera):

• błąd wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej:

4.Wnioski

METODA	I0 10^-3[kg∙m^2]
Z twierdz. Steinera	0,69
Ze wzoru tablicowego	0, 7

Jak widać z przedstawionej wyżej tabelki udało nam się udowodnić twierdzenia Steinera. Oczywiście otrzymanie wyniku idealnie zgodnego z wynikiem tablicowym jest niemalże niemożliwe gdyż wartości mierzone są obarczone pewnymi błędami. Są one spowodowane takimi czynnikami jak: skończona dokładność suwmiarki, stopera oraz wagi.. Dodatkowo wpływ na wynik miał refleks obsługującego(czas po jakim zdoła zatrzymać stoper). Ponadto zaokrąglenie liczby Π do dwóch miejsc po przecinku oraz stałej grawitacji miało znaczący wpływ na zwiększenie błędu wyniku ostatecznego

---