Marlena Orlińska 17.12.09. r.

Wydział: IZ

Nr. albumu: 179110

Ćwiczenie nr 8

Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa.

Cel ćwiczenia:

Celem laboratorium była obserwacja ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy dwoma metodami: metodą Stokesa i za pomocą wiskozymetru.

I. Wstęp teoretyczny:

Lepkość jest właściwością materii we wszystkich stanach skupienia, związaną z oddziaływaniami międzycząsteczkowymi. Lepkością albo tarciem wewnętrznym nazywa się opór, jaki występuje podczas ruchu jednych części (warstw) ośrodka względem innych.

Wskutek tarcia występującego między cząsteczkami cieczy, poruszająca się cząsteczka pociąga za sobą sąsiadujące cząsteczki tym silniej, im większa jest siła lepkości. Te cząsteczki pociągają następne. Każda następna warstwa porusza się jednak nieco wolniej, tym wolniej, im mniejsza lepkość cieczy. Prędkość spada do zera dla cząstek przy ściankach, które są jakby "przyklejone", a więc nieruchome. Tak więc maksymalną prędkość mają cząsteczki na osi rury.

Mówimy, że przepływ jest laminarny, czyli warstwowy. Kolejne warstwy cieczy płyną nie zakłócając się wzajemnie. Przy dużych prędkościach w cieczy pojawiają się zawirowania i ruch z laminarnego zmienia się w turbulentny.

W przypadku laminarnego przepływu cieczy w rurce o promieniu R wszystkie jej warstwy poruszają się w kierunkach równoległych, przy czym każda warstwa oddalona o r od osi rurki ma inną prędkość v(r). Największą prędkość ma warstwa cieczy poruszająca się wzdłuż osi rurki, a w miarę zbliżania się do ścian rurki prędkość ruchu warstw cieczy maleje, aby na jej brzegu osiągnąć wartość v = 0.

Z lepkością cieczy wiąże się też zjawisko hamowania ruchu ciał poruszających się w lepkiej cieczy. W przypadku gdy ciałem tym jest kulka, poruszająca się na tyle wolno, aby opływ cieczy był laminarny, a nie turbulentny.

Siłę tę opisuje prawo Stokesa:

Korzystając z tego wzoru, można łatwo wyprowadzić wzór na prędkość kulki spadającej w lepkiej cieczy:

Wyznaczanie bezwzględnego współczynnika lepkości bezpośrednio z tego wzoru jest dość uciążliwe, ze względu na dużą liczbę występujących w nim wielkości. Aby nieco uprościć tę czynność skonstruowano przyrząd zwany wiskozymetrem Hopplera. W wiskozymetrze tym stosuje się kulkę wykonaną z materiału o znanej gęstości, której parametry (tzw. stałą kulki K) określa się wstępnie w cieczy o znanej lepkości i gęstości. Teraz znając gęstość dowolnej innej cieczy, możemy wyznaczyć jej lepkość mierząc czas opadania kulki w tej cieczy na tym samym odcinku co w cieczy wzorcowej. W tym wypadku zamiast podanego wyżej wzoru korzystamy z wzoru uproszczonego:

II. Część doświadczalna:

Klasy mierników:

1. Linijka - 0,1 [cm]

2. Śruba mikrometryczna - 0,01 [mm]

3. Stoper - 0,01 [s]

4. Waga - 0,2 [mg]

5. Areometr - 0,01 [g/cm³]

1. Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa:

Wyniki pomiaru odległości między pierścieniami (h) oraz gęstości badanej cieczy (ρ_c) i

ich niepewności:

h [m]	∆h [m]	∆h/h	ρc [kg/m^3]	∆ρc [kg/m^3]	∆ρc/ρc
0,235	0,001	0,0043	1260	10	0,0079

Wyniki pomiaru średnicy kulki (d), promienia (r) oraz ich niepewności:

	Kulka szklana			Kulka czarna
	dsz [mm]	∆dsz [mm]	∆dsz/dsz	dcz [mm]	∆dcz [mm]	∆dcz/dcz
	7,96	0,01	0,0071	5,90	0,01	0,0017
	8,01		0,0070	5,89		0,0017
	7,74		0,0073	5,98		0,0016
	7,77		0,0072	5,95		0,0017
	7,93		0,0071	5,95		0,0017
	7,97		0,0071	5,94		0,0017
	7,97		0,0071	5,90		0,0017
	8,20		0,0069	5,90		0,0017
	8,30		0,0068	5,93		0,0017
	7,96		0,0071	5,91		0,0017
Średnia	7,981		0,0071	5,925		0,0017
Odchylenie standardowe	0,16895			0,02953
Odchylenie standardowe średniej	0,056			0,010

Średnia została obliczona ze wzoru:

Odchylenie standardowe zostało obliczone ze wzoru:

Odchylenie standardowe średniej zostało obliczone ze wzoru:

Za niepewność średnicy zostało przyjęte odchylenie standardowe średniej, ponieważ jest większe od klasy miernika:

Wyniki pomiaru masy (m), gęstości (ρ) oraz ich niepewności:

Kulka szklana
msz [g]	∆msz [g]	∆msz/msz	ρsz [kg/m^3]	∆ρsz [kg/m^3]	∆ρsz/ρsz
0,6928	0,0002	0,0003	2604	57	0,0216

Kulka czarna
mcz [g]	∆mcz [g]	∆mcz/mcz	ρcz [kg/m^3]	∆ρcz [kg/m^3]	∆ρcz/ρcz
0,2396	0,0002	0,0008	2201	13	0,0059

Gęstość kulki została policzona ze wzoru:

Niepewność gęstości kulki została policzona ze wzoru:

Niepewność gęstości dla kulki szklanej:

Niepewność gęstości dla kulki czarnej:

Za niepewność masy została przyjęta niedokładność wagi.

Wyniki pomiaru czasu (t) spadania kulek:

	Kulka szklana			Kulka czarna
	tsz [s]	∆tsz [s]	∆tsz/tsz	tcz [s]	∆tcz [s]	∆tcz/tcz
	6,52	0,01	0,0199	16,58	0,01	0,0078
	6,71	0,13	0,0194	16,63	0,13	0,0078
	6,57		0,0198	16,38		0,0079
	6,50		0,0200	16,38		0,0079
	6,50		0,0200	16,54		0,0079
	6,47		0,0201	16,14		0,0081
	6,42		0,0202	16,17		0,0080
	6,41		0,0203	16,14		0,0081
	6,44		0,0202	16,05		0,0081
	6,45		0,0202	16,12		0,0081
Średnia	6,499		0,0200	16,313		0,0080
Odchylenie standardowe	0,08875			0,21577
Odchylenie standardowe średniej	0,030			0,072

Średnia została obliczona ze wzoru:

Odchylenie standardowe zostało obliczone ze wzoru:

Odchylenie standardowe średniej zostało obliczone ze wzoru:

Za niepewność czasu został przyjęty refleks obserwatora (0,13 [s]), ponieważ jest on większy od klasy miernika (0,01 [s]) oraz od odchylenia standardowego średniej (0,072 [s], 0,030 [s]).

Na podstawie danych pomiarowych obliczyłam współczynnik lepkości (η) dla każdej kulki

i jego niepewność (∆η):

Rodzaj kulki	η [N∙s/m^2]	∆η [N∙s/m^2]	∆η/η
Szklana	1,32	0,11	0,0874
Czarna	1,27	0,05	0,0399
Średnia	1,29	0,08	0,0637

Współczynnik lepkości został policzony ze wzoru:

Niepewność pomiaru współczynnika lepkości została obliczona ze wzoru:

Niepewność współczynnika lepkości dla kulki szklanej:

Niepewność współczynnika lepkości dla kulki czarnej:

Średnia została policzona ze wzoru:

Niepewność średniej została policzona ze wzoru:

2. Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metoda wiskozymetru (dla kulki szklanej):

Wyniki pomiaru czasu spadania kulki (t) i ich niepewności:

	t [s]	∆t [s]	∆t/t
	252,86	0,01	0,0032
	251,62	0,13	0,0033
Średnia	252,240		0,0032
Odchylenie standardowe	0,877
Odchylenie standardowe średniej	0,819

Średnia i odchylenie standardowe zostało obliczone z tych samych wzorów co wyżej.

Odchylenie standardowe średniej zostało obliczone ze wzoru:

Za niepewność czasu zostało przyjęte odchylenie standardowe średniej (0,819 [s]), ponieważ jest ono większe od klasy miernika (0,01 [s]) oraz od refleksu obserwatora (0,13 [s]).

Wyniki wartości gęstości kulki (ρ_k), cieczy (ρ_c) i ich niepewności:

ρk [kg/m^3]	∆ρk [kg/m^3]	∆ρk/ρk	ρc [kg/m^3]	∆ρc [kg/m^3]	∆ρc/ρc	k [m^2/s^2]
2410	10	0,0041	1235	5	0,0040	0,7941∙10^-^6

Dane umieszczone w tabeli zostały podane w ćwiczeniu.

Na podstawie danych pomiarowych obliczyłam współczynnik lepkości (η) i jego niepewność (∆η):

η [N∙s/m^2]	∆η [N∙s/m^2]	∆η/η
0,2354	0,0048	0,0203

Współczynnik lepkości został policzony ze wzoru:

Niepewność współczynnika lepkości została policzona ze wzoru:

h - odległość między pierścieniami

ρ_c - gęstość cieczy

ρ_k - gęstość kulki

ρ_sz - gęstość kulki szklanej

ρ_cz - gęstość kulki czarnej

d_sz - średnica kulki szklanej

d_cz - średnica kulki czarnej

m_sz - masa kulki szklanej

m_cz - masa kulki czarnej

t_cz - czas spadania kulki czarnej

t_sz - czas spadania kulki szklanej

- średnia arytmetyczna

- odchylenie standardowe

- odchylenie standardowe średniej arytmetycznej

η_sz - współczynnik lepkości cieczy dla kulki szklanej

η_sz - współczynnik lepkości cieczy dla kulki czarnej

η - współczynnik lepkości cieczy

g - przyspieszenie ziemskie (10 [m/s²])

k - stała kulki

III. Wyniki i ich niepewności:

1. Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa:

= 1,32 ± 0,11 [N∙s/m²]

= 1,27 ± 0,05 [N∙s/m²]

= 1,29 ± 0,08 [N∙s/m²]

2. Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metoda wiskozymetru:

= 0,2354 ± 0,0048 [N∙s/m²]

IV. Dyskusja wyników i ich niepewności:

Z pierwszej tabeli pomiarów średnicy widzimy, że z lepsza dokładnością została zmierzona kulka czarna. Jej niepewność jest o wiele mniejsza od niepewności kulki szklanej. Wiemy, że odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartości jakiejś wielkości są rozrzucone wokół jej średniej. Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej. Dlatego też zauważamy, że odchylenie standardowe kulki czarnej jest dużo mniejsze od odchylenia kulki szklanej. Spowodowane to mogło być tym, iż kulka szklana nie była doskonale gładka oraz okrągła, a więc ciecz stawiała większy opór podczas jej ruchu.

Z kolejnych dwóch tabel widzimy, że największy wpływ na niepewność gęstości miała niepewność pomiaru średnicy, ponieważ nie dość, iż jest ona mnożona razy 3 to jeszcze jest o wiele większa od niepewności pomiaru masy. Spowodowane to było tym, że pomiar masy mógł być dokonany z bardzo dużą dokładnością, a pomiar średnicy niestety nie. Mimo wszystko gęstość kulki czarnej została obliczona z dwukrotnie mniejszą niepewnością. Największy wpływ na to miała zmierzona średnica kulek.

Z kolejnej tabeli możemy odczytać, że do pomiaru najlepiej wziąć mniejszą, lżejszą kulkę, ponieważ będzie dłużej spadać, co o wiele zmniejszy niepewność pomiaru czasu. Przy szybkim spadaniu kulki refleks obserwatora ma duże znaczenie, ponieważ może wprowadzić dość duże niepewności, natomiast przy wolnym spadaniu kulki refleks obserwatora zmniejsza znaczenie niepewności. Jednakże z odchylenia standardowego widzimy, że o wiele mniejsze miał pomiar czasu dla kulki szklanej niż dla kulki czarnej.

Wartość współczynnika lepkości została lepiej policzona dla kulki czarnej. Zostało to spowodowane dużymi niepewnościami przy pomiarze kulki szklanej dla jej średnicy, czasu spadania oraz gęstości. Sięgają te niepewności rzędu paru procent. Natomiast największe niepewności, które wpłynęły na współczynnik lepkości dla kulki czarnej to pomiar czasu oraz obu gęstości. Można zauważyć, że niepewność pomiaru będzie mniejsza, jeżeli do wykonania ćwiczenia użyjemy kulki małej i lekkiej. Im mniejsza będzie kulka, tym mniejsze będą opory tarcia wewnętrznego kulki o ciecz, oraz im gęstość kulki będzie zbliżona do gęstości cieczy, tym czas pomiaru będzie dłuższy i niepewność pomiarowa obserwatora mniej istotna. Poza tym niepewność powstała podczas wyznaczania współczynnika lepkości wynika głownie z niedokładnego pomiaru czasu opadania tzn. z nieodpowiedniego wychwytywania początku i końca czasu przejścia kulek przez oznaczoną drogę. Dlatego też chcąc otrzymać wynik bardziej prawdopodobny należałoby pomiary przeprowadzić dużo więcej razy. Natomiast ostateczny wynik współczynnika lepkości posiada niepewność mniejszą od 10% co jest do zaakceptowania.

Przy obliczeniach dla wiskozymetru odrzucamy pierwszy pomiar, ponieważ został on wykonany na rozmieszanie cieczy, poza tym bardzo odbiega od reszt wykonanych pomiarów. Z pierwszej tabeli dla wiskozymetru widać niewielką niepewność zmierzonego czasu, co może świadczyć, że dość dobrze został wykonany pomiar. Chociaż mimo wszystko można było uzyskać mniejsza niepewność, odczekując dłużej na ustabilizowanie się cieczy.

Na wynik współczynnika lepkości cieczy największy wpływ miały niepewności dotyczące podanych gęstości.

V. Wnioski:

Metoda pomiaru lepkości cieczy wiskozymetrem jest dużo bardziej dokładniejsza. Gęstość cieczy i kulki jest podana ze stosunkowo duża dokładnością, czas pomiaru jest duży, co zmniejsza wpływ błędu pomiarowego stopera.

Po zmierzeniu gęstości cieczy w naczyniu odpowiadała w przybliżeniu glicerynie, której gęstość wynosi (1260 [kg/m³]) co wskazuje na stężenie gliceryny prawie 100%. Natomiast gęstość cieczy w wiskozymetrze wskazuje, że gliceryna użyta do ćwiczenia (1235 [kg/m³]) posiada stężenie 90%.

Największymi przyczynami błędów pomiarowych był ludzki czas reakcji czyli refleks oraz duża niedokładność niektórych przyrządów do mierzenia. Aby zapobiec takim niepewnością można było wykonać większą ilość pomiarów, uniezależnić mechanizm pomiarowy od czasu reakcji człowieka lub użyć po prostu dokładniejszego sprzętu.

---