ZAGADNIENIA Z MECHANIKI PŁYNÓW

1. Klasyfikacja płynów.

Płynami nazywamy ciała nie wykazujące sprężystości podstawowej . Ciała takie wykazują się wielką ruchliwością dzięki której :

• podlegają łatwo odkształceniom postaciowym pod działaniem nawet małych sił zewnętrznych

• przyjmują kształt naczynia w którym się znajdują

Własności te wykazują zarówno ciecze jak i gazy . Jednakże ciecze różnią się od gazów kilkoma istotnymi cechami (przy czym różnice te zanikają w pobliżu punktu krytycznego) . Otóż ciecze posiadają określoną objętość w szerokim zakresie ciśnień a pozostając w spoczynku w dużym naczyniu tworzą swobodne zwierciadło ( oczywiście w warunkach grawitacji ) . Natomiast gazy wykazują zdolność ekspansji , dzięki której wypełniają całkowicie naczynie , do którego zostały wprowadzone , nie tworząc swobodnego zwierciadła . W konsekwencji ciecz w danej temperaturze posiada określoną gęstość , niezależnie od wymiarów naczynia co odróżnia ją od gęstości gazów. Własności te tłumaczy molekularna struktura płynów . W cieczach poszczególne cząstki utrzymane są w ciasnym upakowaniu działaniem sił międzycząsteczkowych , natomiast cząstki gazu nie podlegają temu działaniu .

2.Pojęcie lepkości. Miary lepkości. Jednostki.

Istotną cechą każdego płynu rzeczywistego jest opór stawiany zewnętrznym siłą ścinającym. Siły te wywołują w płynie naprężenia styczne (). Stanowią one istotę tarcia wewnętrznego, które w przypadku płynów nazywa się lepkością. A zatem lepkością płynu nazywamy jego zdolność przenoszenia naprężeń stycznych.

Lepkość uwarunkowana jest molekularną strukturą płynów i dlatego zależność wiążącą siłę tarcia z rozkładem prędkości można by wyprowadzić z kinematycznej teorii gazów i cieczy.

Zmiana prędkości płynu przypadająca na jednostkę odległości w kierunku normalnym do kierunku przepływu czyli iloraz różniczkowy:

Gradient prędkości

Newton wysuną hipotezę, w myśl której siła styczna jest proporcjonalna do gradientu prędkości:

Przy czym znak - oznacza, że siła ta jest przeciwna do kierunku ruchu płynu.

Zatem naprężenie styczne równa się:

Wzór ten jest matematyczną formą Newtonowskiego prawa tarcia. Występujący w nim współczynnik proporcjonalności  zwany jest dynamicznym współczynnikiem lepkości.

Miarą lepkości w układzie SI jest :

Używa się też jednostki w układzie CGS:

Lub jednostki pochodnej, 100 razy mniejszej:

1 centypuaz=0,01P

Dwie cechy płynu, jakimi są lepkość i gęstość, można zastąpić jedną mianowicie ilorazem lepkości dynamicznej przez gęstość. Otrzymujemy wtedy kinematyczny współczynnik lepkości:

Zwany tak dlatego, że jego miara:

Zawiera miary długości i czasu.

Jednostką lepkości kinematycznej jest: 1 stok=1 st =1 cm/s

Ale częściej jest stosowana jednostka pochodna: 1 centystok=1cst=0,001st

3. Ciśnienie wielkość skalarna, wektorowa czy tensorowa?

Ciśnienie jest wielkością skalarną. Jeżeli siła powierzchniowa działająca na element powierzchniowy jest zwrócona ku temu elementowi, to naprężenie normalne jest ciśnieniem, w przeciwnym przypadku - ciągnieniem. Naprężenia normalne w cieczy są z reguły ciśnieniami. W płynie pozostającym w równowadze względem ścian naczynia, ciśnienie na element powierzchniowy, umieszczony w dowolnym punkcie, nie zależy od przestrzennej orientacji tego elementu. Powyższe prawo niezależności ciśnienia o orientacji elementu powierzchniowego, sformułowane przez Eulera, wyraża fakt że ciśnienie ma charakter skalarowy (bezkierunkowy)

Ciśnienie wywierane przez atmosferę ziemską nazywamy ciśnieniem atmosferycznym lub barometrycznym i oznaczamy symbolem p_b.

Ciśnienie bezwzględne (absolutne p_a) mierzone jest względem doskonałej próżni.

Nadciśnienie (p_n) jest nadwyżką ciśnienia bezwzględnego ponad ciśnienie atmosferyczne :

Podciśnienie (p_w) stanowi różnicę między ciśnieniem atmosferycznym a ciśnieniem bezwzględnym:

Jednostką miary ciśnienia jest N/m² = Pa lub jednostka sto tysięcy razy większa czyli bar, który jest prawie równy atmosferze technicznej (1 at = 1kG/cm² ), a mianowicie:

4. Metody pomiaru ciśnienia. Jednostki ciśnienia.

W układzie jednostek SI jednostką ciśnienia jest Pa i bar

Ciśnienie mierzymy za pomocą :-do pomiaru podciśnienia służy wakuometr;
-do pomiaru nadciśnienia służy manometr;
-do pomiaru ciśnień absolutnych służy barometr.

5. Warunek równowagi. Powierzchnie stałego potencjału. Paradoks hydrostatyczny.

Równanie równowagi (rów. Eulera):

Można je również zapisać w postaci współrzędnościowej:

Równanie Eulera umożliwia nam analizę równowagi cieczy poddanej działaniu sił ciśnieniowych

(*)

Jedynie siły masowe-potencjalne są w stanie wywołać równowagę cieczy nieściśliwej. W szczególności jeżeli p=const to dp=0 i z równania (*) otrzymujemy że U=const co oznacz że powierzchnie stałego ciśnienia są zarazem powierzchniami ekwipotencjalnymi.

Paradoks hydrostatyczny.

Parcie na dno naczynia nie zależy od ciężaru zawartej w nim cieczy lub od objętości cieczy, lecz zależy wyłącznie od ciężaru właściwego cieczy, głębokości dna pod zwierciadłem i od pola F.

6. Równowaga względna. Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe.

Równowaga względna - stan w którym ciecz przemieszcza się wraz z naczyniem ruchem jednostajnym lub jednostajnie przyspieszonym (ciecz pozostaje w spoczynku względem ścianek naczynia).

Mechanika płynów zajmuje się badaniem równowagi lub ruchów, a także pow­stawaniem ruchów płynu pod działaniem różnego rodzaju sił.

Przedmiotem mechaniki płynów jest także określenie sił, z. jakimi płyn działa na ciało w nim zanurzone lub na ściany ograniczające przepływ.

Mechaniką cieczy potocznie nazywa się hydromechanikę, zaś mechaniką ga­zów -aeromechanikę. Hydromechanika dzieli się na hydrostatykę, która ba­da prawa rządzące cieczą w spoczynku oraz hydrodynamikę, zajmującą się ru­chem cieczy. Natomiast w ramach aeromechaniki rozpatruje się na ogół wyłącznie aerodynamikę.

Przedmiotem aerodynamiki jest m.in. badanie przepływów, podczas których występują duże różnice ciśnień, pociągające za sobą znaczne zmiany objęto­ści, a więc i gęstości. Chodzi tu o przepływy z dużymi prędkościami, jak np. podczas wypływu gazu ze zbiornika lub podczas przepływu przez kanał łączący dwie przestrzenie o znacznej różnicy ciśnień, albo podczas lotu szybkich samolotów,­ rakiet i pocisków.

Prawo Pascala

Gdy na płyn działają wyłącznie siły powierzchniowe, to ciśnienie ma jednakowa wartość w każdym punkcie płynu.

Jest to prawo mówiące o rozchodzeniu ciśnienia w płynie.

8. Napór na ściany płaskie. Współrzędne środka naporu .

Parciem hydrostatycznym nazywa się siłę powierzchniowa, jaką wywiera ciecz w stanie spoczynku na powierzchni dowolnie zorientowanej w przestrzeni. Siła ta jest skierowana prostopadle do rozpatrywanej powierzchni.

Odległość środka naporu od osi Ox równa jest iloczynowi momentu bezwładności przez moment statyczny figury względem tej osi

Współrzędne środka naporu.

9. Napór na ściany zakrzywione. Współrzędne środka naporu.

Składowa pozioma naporu Nn na powierzchni zakrzywionej, obliczona w dowolnym kierunku jest równa naporowi na figurę płaską, uzyskaną przez zrzutowanie powierzchni zakrzywionej na płaszczyznę pionową, prostopadła do tego kierunku

Składowa pionowa naporu Nz na powierzchnię zakrzywioną równa się ciężarowi słupa cieczy wznoszącego się nad ta powierzchnie, ograniczonego tworzącymi pionowymi poprowadzonymi przez kontur powierzchni i sięgającego do powierzchni Oxy

10.Zjawisko wyporu. Odkrycie Archimedesa.

Na powierzchnię zamkniętą A=A1+A2 ciała zanurzonego w cieczy działa parcie ze wszystkich stron. Wypadkowe parcie w kierunku poziomym tj. w kierunku osi x jest równe 0, gdyż dwa przeciwne skierowane parcia Fx dotyczą tej samej powierzchni Ax, a więc liczbowo są równe. Wypadkowe parcie w kierunku pionowym wynosi:Fz=Fz1+Fz2.
Fz1-parcie do góry równe ciężarowi słupa cieczy nad dolną powierzchnią ciała A1,

Fz2-parcie w dół równe ciężarowi słupa cieczy nad górną powierzchnią ciała A2,

Różnica tych ciężarów jest równa ciężarowi cieczy G o tej samej objętości co objętość ciała zanurzonego. Wypadkowe parcie działające do góry na zanurzone ciało nosi nazwę wyporu:

W=Fz=G=ρgV

Gdzie V i G -objętość i ciężar wypartej cieczy,

Powyższe równanie przedstawia prawo Archimedesa, w myśl którego ciało zanurzone w cieczy traci (pozornie) na ciężarze tyle, ile waży ciecz wyparta przez to ciało..

13.Metoda Eulera i Lagrange'a w kinematyce płynów.

Metoda Lagrange'a.

Niech Vo oznacza objętość pewnej masy płynu, którą zajmuje on w pewnej chwili początkowej t0. Po upływie czasu t, w chwili t=to+t ta sama masa zajmuje objętość V. Między wielkościami Vo i V jednoznaczna zależność. Dowolny element płynu ∂VV który w chwili to zajmował położenie Po(to), przemieści się w położenie P(to+t).Jego położenie określamy za pomocą współrzędnych x, y, z, tego punktu w przestrzeni, w którym element znajduje się w chwili t. Bieżące współrzędne elementu zależą nie tylko od geometrii przepływu lecz i od położenia jakie zajmował on w chwili to. Niech to położenie początkowe określane będzie współrzędnymi a, b, c, punktu Po. Matematycznym wyrazem tego faktu są równości:x= x (a, b, c, t)y= y (a, b, c, t)z= z (a, b, c, t)

Są to zarazem parametryczne równania toru tego elementu który został wyodrębniony, spośród innych za pomocą współrzędnych a, b, c. Parametrem jest czas, zmieniając wartość t określamy kolejne położenie elementu czyli jego trajektorię (tor). Zmieniając zaś trójkę liczb a, b, c, skierujemy uwagę na inne elementy płynu .Wszystkie interesujące nas wielkości (zmienne zależne) takie jak prędkość, ciśnienie, gęstość itd. traktujemy jako funkcję a, b, c, t pisząc np.: V= V(a, b, c, t). Tak rozumiana czwórka zmiennych niezależnych nosi nazwę zmiennych (współrzędnych) Lagrange'a. Przy ustalonych wartościach t, funkcja V= V(a, b, c, t) określa prędkość różnych elementów płynu , reprezentujących ruch całej masy.

Metoda Eulera.

W przestrzeni objętej przepływem wybieramy myślowo pewien punkt „obserwacyjny” M.(x, y, z). Przez ten punk przechodzą kolejno coraz inne elementy płynu z określonymi parametrami v, p ,q itd. Interesuje nas zależność tych wielkości od czasu t w określonym zbiorze punktów M. Według koncepcji Eulera ruch płynu opisuje się przez podanie funkcji:

V= v (x, y, z, t)P= p (x, y, z, t)Q= q (x, y, z, t)

Tak rozumiana czwórka zmiennych x, y, z, t nosi nazwę zmiennych Eulera. W metodzie Eulera mamy okienko i rejestrujemy prędkość przelotnej cząstki. Badanie przepływów pod względem kinematycznym polega na określeniu prędkości poruszającego się płynu, znając prędkość można znaleźć rozkład ciśnień i siły działającej w płynie.

16. Równania toru i linii prądu, rurka i powierzchnia prądu, struga

TOR ELEMENTU PŁYNU - Linia w przestrzeni styczna do wektorów prędkości w każdym swoim punkcie w odpowiedniej chwili.

W przepływach ustalonych tor elementu płynu pokrywa się z linią prądu

LINIA PRĄDU - Nazywamy linię pola prędkości . Jest to linia styczna w każdym punkcie do wektora prędkości.

RURKĘ PRĄDU - Nazywamy powierzchnię utworzoną z linii prądu.

STRUGA - Jest to poruszający się płyn wypełniający rurkę prądu . Jeśli przekrój poprzeczny strugi stanowi powierzchnię elementarną dδ (ma wymiar elementu płynu) to strugę nazywamy elementarną.

Strumień masy strugi i strumień masy strugi elementarnej , zgodnie z definicją określa się wzorami :

17. Przepływy potencjalne .

Prawie zawsze można traktować w przybliżeniu każdy przepływ przestrzenny jako przepływ dwuwymiarowy ( płaski lub osiowo symetryczny). Takie uproszczenie jest niezmiennie korzystne ze względów matematycznych gdyż pozwala stosować bardzo wygodną i dobrze opracowaną teorię funkcji zmiennej zespolonej. W niniejszych rozważaniach będą omówione wobec tego tylko płaskie przepływy potencjalne .

Równania Laplace'a dla układu płaskiego :

Cechy równania Laplace'a jest jego liniowość co jest wykorzystywane przy superpozycji czyli nakładanych przepływów.

Przyrost potencjału prędkości może być wyrażony jako różniczka zupełna:

Wykorzystując dwa pierwsze wyrazy równania otrzymujemy :

d
V_x*dx+V_y*dy

Całkując otrzymujemy różnicę potencjałów prędkości dwóch punktów A i B ( dowolnych )

Po uwzględnieniu równania :

Otrzymujemy dla przepływu płaskiego :

Równanie to oznacza zależność pomiędzy cyrkulacji prędkości a potencjałem prędkości w przepływie płaskim:

gdzie  jest funkcją prądu.

• Równania Cauchy - Riemanna

Różnica funkcji prądu w dwóch dowolnych punktach płaskiego przepływu potencjalnego równa się zatem strumieniowi objętości
gdzie
[m³/s] jest iloczynem prędkości normalnej V_n i powierzchni wyobrażonej przez odcinek AB=dl

Warunki Cauchego Riemanna występują również w teorii funkcji zespolonej zmiennej Stąd wynika , że potencjał prędkości  tworzą część rzeczywistą , a funkcje prądu  część urojoną pewnej funkcji holomorficznej zwanej potencjałem zespolonym f(z)f(z)= +i*Przy tym z = x + i * yGdzie z- zmienna zespolona

- jedność urojona

18. Przepływy elementarne. Superpozycja przepływów.

Przepływy elementarne są to takie przepływy, które dadzą się określić analitycznie prostym potencjałem zespolonym. Przepływy elementarne odgrywają podstawowe znaczenie w badaniach przepływów. Wśród przepływów elementarnych wyróżniamy:-przepływ jednostajny;-przepływ prostopadły do ściany;-przepływ wzdłuż ściany;-źródło płaskie ;-wir płaski;-dipol.

Bardzo ważną cechą równań Laplace'a jest jego liniowość, co jest wykorzystywane przy super pozycji, czyli nakładaniu się dwóch lub więcej przepływów potencjalnych. W przypadku dwóch przepływów można zatem zapisać:

skąd:

W wyniku super pozycji został otrzymany przepływ o potencjale zespolonym f(z), którego części rzeczywiste i urojone są odpowiednio  i , przy czym obowiązuje zależność:

Superpozycja przepływów może być wyliczona metodą analityczną lub wykreślną, a zadanie sprowadza się do znalezienia sumarycznego (wypadkowego) potencjału zespolonego, a zwłaszcza części urojonej.

21 . Zasada zachowania masy. Równanie ciągłości.

Masa układu (obszaru płynnego) pozostaje stała. Masa cząstki elementarnej jest równa ρdV, gdzie dV jest objętością zajętą przez cząstkę, a ρ jest gęstością płynu. Wiedząc, że gęstość może się zmieniać w rożnych punktach układu, zachowanie masy może być wyrażone przez całkęD/Dt*∫ ρdV=0 D/Dt - jest użyte, gdyż rozpatrujemy określony zbiór elementów materialnych.

Równanie ciągłości wynika bezpośrednio z zasady zachowania masy dm/dt = d/dt * ∫ ρdV = 0

22. Zasada pędu w mechanice płynów. Równanie Eulera, Naviera-Stokesa.

Zasada pędu w mechanice płynów .

Poznana w mechanice ciał sztywnych zasada pędu znajduje także zastosowanie w mechanice płynów, głównie przy obliczaniu reakcji dynamicznej strumienia na umieszczoną w nim przeszkodę (np. na łopatkę turbiny) lub na ściany przewodu (kanału) , ograniczającego przepływ.

Zgodnie z brzmieniem wspomnianej zasady prędkość układu materialnego równa się geometrycznej sumie sił zewnętrznych, działających na ten układ, czyli

Aby skonkretyzować pojęcie układu materialnego, wyodrębniamy pewien obszar V, który może zawierać nie tylko płyn lecz także ciała sztywne, ruchome lub nieruchome. Jednak tylko płyn zawarty w obszarze stanowi układ materialny (rys.1). Otaczająca go powierzchnia płynna przemieszcza się wraz z wyodrębnionym zbiorem cząstek płynu (Fz→F'z), które zmieniają przy tym swój prąd. Ale w przepływie ustalonym obszar V można traktować jako nieruchomy, bowiem w dowolnym jego punkcie różne elementy płynu mają zawsze te same parametry. Będziemy go nazywać obszarem kontrolnym, a powierzchnię otaczającą go - powierzchnią kontrolną.

Różnica pędu masy przepływająca przez obszar kontrolny w jednostce czasu określa prędkość zmiany pędu układu, czyli lewą stronę równania (1).

Całkę obliczamy po powierzchni kontrolnej Fz, przy czym wyrażenie podcałkowe jest różne od zera tylko na tej części powierzchni, która jest przebijana przez linie prądu (czyli nie jest powierzchnią prądu).

Zmiana pędu dokonuje się pod wpływem się zewnętrznych, które są oddziaływaniami ze strony ciał nie należących do układu. Chodzi tu o ściany sztywne, na których przepływający gaz lub ciecz zmienia swój kierunek. Również płyn znajdujący się poza obszarem kontrolnym może działać na układ pewną siłą powierzchniową. Wreszcie pole grawitacyjne (lub inne zewnętrzne pole sił) może zmieniać pęd układu.

Płyn uderzający o ścianę sztywną wytwarza na jej powierzchni F_w pewne pole ciśnień dynamicznych oraz pole się tarcia. Wypadkowa zbioru elementarnych sił (normalnych i stycznych do F_w nazywa się reakcją dynamiczną strugi (symbol R). Z reguły jest to niewiadoma, którą chcemy obliczyć właśnie z pomocą zasady pędu. W równaniu (1) wystąpi wprawdzie siła przeciwna (-R), jako oddziaływanie ściany na płyn , ale nie ma to istotnego znaczenia.

Innego rodzaju siła powierzchniowa może powstać wskutek istnienia statycznego pola ciśnień na powierzchni F_z. Jeżeli odpowiedni zbiór elementarnych sił ciśnieniowych -pdF ma wektor główny, to jest nim właśnie siła ciśnieniowa , statyczna

Siła ta występuje , np. gdy przepływ przez rurociąg o osi zakrzywionej odbywa się pod ciśnieniem.

Trzecia z wymienionych sił zewnętrznych ma charakter siły objętościowej i jako taka, ma wektor główny

Jeżeli ta siła jest wyłącznie pochodzenia grawitacyjnego (tzn. q=g),to Pq oznacza po prostu ciężar płynu w obszarze kontrolnym. Może on zmieniać pęd cieczy, ale tylko w ruchu pionowym. W przypadku gazu jest z reguły pomijalny.Zgodnie z brzmieniem zasady pędu wyrażenie (2) równa się sumie wektorowej trzech omawianych sił

(3)

Jest to ogólne (wektorowe) równanie zasady pędu dla przepływu ustalonego. Wprawdzie na tej podstawie nie można określić szczegółowo pola sił na powierzchni opływanego cała, a tylko jego wypadkową R, ale taki wynik na ogół nas zadowala. Zasadę pędu wykorzystuje się najczęściej do obliczania dynamicznej reakcji strugi na płaty lotnicze łopatki turbin, ściany rurociągów.

Z drugiej strony równanie (3) odznacza się ogólnością , która polega na tym , że stosuje się ono do płynów rzeczywistych (a więc lepkich i ściśliwych) i niezależnie od tego, czy płyn wymienia ciepło z otoczeniem, czy też nie. Różnica między reakcją strugi płynu idealnego i lepkiego polega jedynie na nieco zmienionym module i kierunku wektora R.

Całkę przekształca się łatwo , gdy w przekrojach kontrolnych występują prostokątne profile prędkości oraz jednorodne pole gęstości. W takim przypadku

gdzie indeksy 1,2 dotyczą przekroju wlotowego i wylotowego odpowiednio.

Jeżeli ponadto wektor główny się statycznych (ciśnieniowych i masowych). Równa się zero, to wzór na reakcję dynamiczną strugi redukuje się do postaci

Jeżeli w obszarze kontrolnym ciśnienie statyczne ulega zmianie tak, że wektor wówczas oprócz równania zasady pędu trzeba jeszcze wykorzystać równanie Bernouliego. Wiele zadań technicznie ważnych rozwiązuje się tą drogą stosunkowo łatwo. Trzeba jednak podkreślić, że

łatwość ta uwarunkowana jest znajomością prędkości w przekrojach kontrolnych.

Równania Eulera.

Podstawowe równania dynamiki płynów nie lepkich wyprowadził Euler (1775r.). Punktem wyjścia jest druga zasada dynamiki , w myśl której pochodna pędu układu względem czasu równa się wektorowi głównemu sił zewnętrznych , działających na ten układ . Niech płyn zawarty w pewnym ograniczonym obszarze V stanowi nasz układ . Elementarna masa p dV, wyodrębniona w otoczeniu dowolnego punktu w tym obszarze , ma pęd p v dV.

Pęd całego układu wynosi .Siły zewnętrzne, działające na układ ,są to siły

Objętościowe i powierzchniowe .

.Druga zasada dynamiki zastosowana do układu płynnego dostarcza więc równania

Obliczając pochodną całki objętościowej z lewej strony tego równania trzeba uwzględnić , że zmienia się w czasie nie tylko pęd p v, lecz i objętość V obszaru, który obejmuje stale tę samą masę płynu (ściśliwego).

Wobec tego

gdzie F oznacza granicę obszaru V. Teraz wszystkie trzy równania są całkami liczonymi po tym samym obszarze. Przenosimy je na jedną stronę i przyrównujemy do zera wyrażenie podcałkowe .

Otrzymujemy równanie:

(b)

W płynie nie lepkim tensor naprężeń  = - pI, więc div = -grad p., gdzie p oznacza ciśnienie statyczne. Ponadto rozwijamy pochodną iloczynu w pierwszym wyrazie równania (b), które

przyjmuje postać

Wyrażenie w nawiasie równa się zero na mocy warunku ciągłości . Ostatnia operacja polega na rozwinięciu pochodnej materialnej wektora prędkości i podzieleniu całego równania przez p.

Otrzymujemy

Powyższe równanie wektorowe rozpiszemy w postaci trzech równań analitycznych w prostokątnym układzie współrzędnych

Są to równania Eulera .Opisują one wyłącznie ruch płynu nie lepkiego, ponieważ przy ich wyprowadzaniu nie uwzględniliśmy tarcia wewnętrznego .

Natomiast równania te odnoszą się zarówno do płynów nieściśliwych (tzn. cieczy), jak i do gazów , a różnica polega na traktowaniu gęstości bądź jako wielkości stałej ,bądź te§ jako funkcji położenia i czasu. Przytoczone równania stanowią więc teoretyczną podstawę zarówno hydro- jak i aerodynamiki. W trzech równaniach Eulera występują cztery niewiadome :vţ, vy ,vz,p., gdy płynem jest ciecz lub gaz przy umiarkowanych zmianach ciśnienia.

Równania Naviera-Stokesa.

Zasadniczą przyczyną wspomnianych mankamentów teorii Eulera jest pomijanie lepkości , jako

nieodłącznej cechy każdego płynu rzeczywistego . Stwierdziliśmy tam, że podczas ruchu płynu

lepkiego powstają naprężenia styczne ,których wartość można określić za pomocą niutonowskiego prawa tarcia . Mówiąc dokładniej na element płynu lepkiego w ruchu , oprócz sił objętościowych

działają siły powierzchniowe , które mają składową normalną i styczną. Głębsza analiza zagadnienia wykazuje ,że wpływ lepkości przejawia się nie tylko w powstawaniu naprężeń stycznych, ale również w zmianie wartości ciśnienia w porównaniu z jego wartością w płynie idealnym. Komplikuje to znacznie postać różniczkowych równań ruchu płynu lepkiego w stosunku do równań Eulera .

Przejdźmy do wyprowadzenie różniczkowych równań przepływu lepkiego przestrzennego. W związku tensora naprężeń  .Ponieważ każdy z tych tensorów ma sześć składowych , więc ogólnie biorąc, związki między nimi wymagałyby wprowadzenie 36 współczynników proporcjonalności.

Liczbę ich można jednak zredukować do jednego, jeżeli przejmie się trzy dodatkowe postulały:

1' - Płyn jest ośrodkiem izotropowym (tzn. wszystkie kierunki w przestrzeni są równoprawne).

2' -Związek między tensorami  i  nie zależy od przestrzennej orientacji

układu współrzędnych.

3' -Związek ten w przypadku stycznym (v=0), jak również w przepływie idealnym musi się sprowadzać do postaci  =-pl.

Wszystkie te postulaty, łącznie z podstawowym postulatem Newtona o proporcjonalności naprężeń stycznych do prędkości odkształceń, spełnia następujący związek (tensorowy)

Jak widać, jedynym współczynnikiem proporcjonalności (o charakterze empirycznym) pozostała lepkość dynamiczna .

W przypadku płynu nieściśliwego (div v=0) mamy znacznie prostszy związek którym będziemy się dalej posługiwać:

Określenie siły powierzchniowej, która występuje w równaniu hydrodynamiki, wymaga obliczenia diwergencji tensora . Jak wiemy div(pl)=graf p. pozostaje do obliczenia div . Otóż

Wykorzystując wzór na prędkość odkształceń kontynuujemy obliczenia:

A zatem

Wnioskujemy stąd, że aby otrzymać równanie dynamiki dla cieczy newtonowskiej, wystarcz do prawej strony równania Eulera dodać człon zawierający laplasjan wektora prędkości. W ten sposób otrzymamy:

Gdzie: v=/ρ - lepkość kinematyczna. Jest to równanie Naviera-Stokesa, zapisane w postaci wektorowej. Wraz z równaniem ciągłości div v=0 tworzy ono podstawowy układ dynamiki płynów newtonowskich, nie ściśliwych. Przy rozwiązaniu tych równań dla konkretnego przepływu należy uwzględnić warunki brzegowe, a gdy przepływ jest niestacjonarny - także warunki początkowe. Te ostatnie polegają na określeniu pola prędkości w pewnej chwili (t=0), obranej za początkową, a więc wymagają sprecyzowania trzech funkcji:

Vx(x,y,z;0), Vy (x,y,z;0), Vz (x,y,z;0);

Postać tych funkcji nie zależy od tego, czy płyn jest idealny, czy też lepki.

Różnica w analitycznym opisie ruchu płynu idealnego i lepkiego wynika nie tylko z odmienności równań ruchu , lecz i z odmiennej postaci warunków brzegowych. Te ostatnie formułujemy zwykle dla powierzchni ciał opływanych lub ograniczających przepływ oraz w nieskończoności. Przyjmuje się, że w przepływie nie zaburzonym znane są prędkości i ciśnienie, a niekiedy także natężenie przepływu.

Postać powierzchniowych warunków brzegowych zależy od tego, czy ciało sztywne porusza się w płynie , czy też struga opływa nieruchome ciało. Omawiane warunki dotyczą prędkości, a ściślej mówiąc składowej normalnej i stycznej wektora prędkości. Odnośnie do składowej normalnej warunki brzegowe wyrażają oczywisty fakt, iż powierzchnia graniczna ciała sztywnego jest dla płynu nieprzenikliwa. Wobec tego jest to jedna z powierzchni prądu. W przepływie płaskim mówimy w takim przypadku o zerowej linii prądu, na której Vn=0 .

Warunki brzegowe składowej stycznej wynikają z faktu , iż elementy płynu lepkiego przywierają do ścian. W takim razie na powierzchni ciała nieruchomego prędkość płynu równa się zero, a gdy ciało porusza się, jest ona taka sama jak prędkość jak prędkość danego punktu ruchomej powierzchni. W ten sposób możemy zawsze ustawić tyle warunków brzegowych , ile jest stałych całkowania.

23. Przepływ Couette`a i Hagena-Poiseuillea.

Ciecz lepka płynie między dwiema równoległymi płaszczyznami, z których jedna jest nieruchoma, druga zaś porusza się z prędkością U.

Warunki brzegowe pola prędkości określają zależności:

V_X (U = 0) = 0

V_Y(U - h) = 0

Wyznaczamy stałe A i B:

; B = 0

zatem

Profile prędkości V_X(y) są paraboliczne i zależą od gradientu . Jeśli
to przebieg V_X(y) jest liniowy (linia 1 na rysunku). Jeśli
czyli
, parabola wklęsłością zwrócona jest w dodatnim kierunku osi X (linia 2 na rysunku).

Jeśli
linia wklęsłością zwrócona jest w kierunku ujemnym (linia 3 na rysunku).

Przepływy przedstawione w tym przypadku nazywają się przepływem Couette`a. Posiadają one duże znaczenie praktyczne, gdyż stanowią model przepływu oleju w łożyskach..

Przepływ Poiseuielle`a jest to ustalony, uwarstwiony przepływ cieczy lepkiej przez prosto osiową rurę kołową o stałym przekroju. W tym przypadku profil prędkości jest paraboliczny czyli

V - prędkość na osi rury

r - odległość od osi

R - promień wewnętrzny rury

24. Liczby kryterialne i ich znaczenie w modelowaniu przepływu.

a)Liczba Reynoldsa jest wielkością bezwymiarową stanowi ona kryterium podobieństwa częściowego z uwagi na siły lepkości i bezwładności:

b)Kryterium podobieństwa sił ciężkości.

Wielkość bezwymiarowa wyrażająca stosunek sił bezwładności do sił ciężkości, nazywamy liczbę Froude'a:

Kryterium podobieństwa częściowego sił i zjawisk wynikających z grawitacji przedstawia równanie:

Kryterium Froude'a jest sprzeczne z kryterium Reynoldsa to znaczy: niemożliwe jest równoczesne zachowanie podobieństwa oporu falowego i sił tarcia (w cieczach o tej samej gęstości),

c)Liczba Strouhala określa stosunek składowej unoszenia do składowej lokalnej siły bezwładności:

t*-okres rozpatrywanego zjawiska:

d)Liczba Eulera wyraża stosunek sił ciśnieniowych do sił bezwładności w przepływach nieściśliwych:

e)Liczba Macha określa stosunek prędkości v do lokalnej prędkości dźwięku `a' (tzn. występującej w danym punkcie):

Jeżeli chodzi o przepływy, to określane są one przede wszystkim polem prędkości. Dlatego zwykle dwa przepływy uważamy za podobne, gdy ich pola prędkości są podobne.

Chodzi o to aby zjawiska zaobserwowane w przepływie modelowym umożliwiały nie tylko jakościową ale też ilościową ocenę analogicznego zjawiska w przepływie projektowanym.

W tym celu należy zagwarantować dynamiczne podobieństwo przepływów i tylko pod tym warunkiem wyniki uzyskane na modelu można przetransponować za pomocą odpowiednich wzorów na projektowany obiekt.

25. Przepływ laminarny, a turbulentny.

Istnieją dwa jakościowo różne ruchy płynów lepkich:- laminarny, w którym poszczególne warstwy płynów nie mieszają się ze sobą w sposób makroskopowo widoczny przesuwają się względem siebie na kształt niezależnych łusek (lamina - łuska)- turbulentny, odznaczający się nie stacjonarnością i przypadkowością. Tory poszczególnych elementów są różne, niepowtarzalne. Poszczególne warstwy płynu mieszają się ustawicznie, a poszczególne elementy płynu wykazują obok ruchu głównego również niestacjonarne ruchy w innych kierunkach.

Badania wyjaśniające naturę tych rodzajów przepływów przeprowadził w 1883 r. Osborne Reynolds. Obserwował on zachowanie się zabarwionej strugi cieczy w strumieniu płynącym ruchem jednostajnym w szklanej rurce. Przy bardzo małych prędkościach, barwnik układał się w cienką linię, równoległą do osi przewodu, co oznacza, że wszystkie cząstki poruszały się po prostych torach równoległych. Po przekroczeniu pewnej prędkości obraz gwałtownie się zmieniał: zabarwiona struga pulsowała, rozpływała się i zaczynała szybko zanikać. Dowodziło to pojawienia się dodatkowych ruchów poprzecznych, powodujących wymianę cząstek między poszczególnymi strugami i mieszanie się obu cieczy. Tory cząstek stały się przypadkowymi liniami łamanymi, różnymi dla każdej cząstki.Reynolds ustalił, że zmiana charakteru przepływu zależy od wartości bezwymiarowej liczby Reynoldsa (Re) Re=vl/v, gdzie v - prędkość przepływu, 1 - wymiar charakterystyczny przepływu. Krytyczna liczba Reynoldsa odpowiada przejściu przepływu laminarnego w turbulentny. Jej wartość zależy od kształtu wlotu do przewodu, stopnia gładkości ścian przewodu, wstępnych zaburzeń mechanicznych cieczy, drgań przewodu itp. Przejściu przepływu turbulentnego w laminarny towarzyszy mniejsza wartość liczby Reynoldsa, niż przejściu z laminarnego w turbulentny. Dla 2300<Re<50000 przepływ może być albo laminarny albo turbulentny zależnie od pobocznych czynników zakłócających.

26. Turbulentna warstwa przyścienna.

W efekcie przepływów turbulentnych występuje oderwanie warstw, które stykają się z płynami. Turbulentna warstwa przejściowa ma małą skłonność do oderwania. Jeżeli oberwanie zachodzi, to punkt oderwania jest przesunięty bardziej do tyłu. Mniejsza skłonność do oderwania jest zrozumiała, gdyż w skutek prędkości pulsacyjnych następuje wymiana energii kinetycznej pomiędzy poszczególnymi elementami płynu w warstwie przyściennej. Rozkład prędkości w warstwie turbulentnej jest bardziej wypukły niż w warstwie laminarnej.

28. Charakterystyki geometryczne i aerodynamiczne profilu.

Wzór na siłę oporu ma postać:

Wzór ten w aerodynamice ma ogólniejsze znaczenie, tzn. określa on nie tylko siłę oporu lecz ogólnie każdą siłę oddziaływania płynu na ciało. Na siłę oporu składają się dwa czynniki:

-opór kształtu;

-opór tarcia.

Siła oporu jest bezpośrednio związana z lepkością płynu. Lepkość powoduje że na powierzchni opływanego ciała tworzy się warstwa przyścienna. Obejmuje ona jednak tylko część powierzchni opływowej, po czym odrywa się od niej w miejscu, w którym zachodzi gwałtowny wzrost ciśnienia. Powoduje to nie symetrie w rozkładzie ciśnień, co jest przyczyną powstania siły w kierunku przepływu - oporu kształtu. Tarcie płynu lepkiego bezpośrednio o powierzchnie opływową powoduje, iż oprócz oporu kształtu pojawia się opór tarcia nazywanym również oporem powierzchniowym. Współczynnik oporu tarcia zależy od lepkości płynu i chropowatości powierzchni, czyli od struktury warstwy przyściennej. Najmniejszy opór kształtu stawiają ciała smukłe, czyli takie, które mają tylną część uformowaną w sposób umożliwiający opływ bez oderwań warstwy przyściennej. Ciała o kształtach opływowych, jak skrzydła i kadłuby samolotów oraz statków, napotkają podczas ruchu głównie na opór tarcia.

29. Równanie Bernoulliego dla płynu doskonałego, rzeczywistego i gazów.

dla cieczy doskonałej

- dla płynu doskonałego

- dla płynów nieściśliwych

- dla gazów nieściśliwych

- dla gazów ściśliwych

31. Straty energii w przepływie płynu. Sposoby opisu i obliczeń.

Wychodząc z równania Bernouliego mamy

Wysokość strat tarcia

gdzie :  - współczynnik tarcia

Wysokość strat lokalnych

gdzie:  - współczynnik strat miejscowych

Dla przepływu laminarnego:

Dla przepływu burzliwego:

32.Zjawisko wypływu przez otwory i przystawki.

Przy wypływie cieczy ze zbiornika przez otwór o ostrych brzegach zauważono, że obliczony teoretyczny wydatek według wzoru:

Qrt=Ft+Vt;

Gdzie:

Ft= pole przekroju otworu;

- prędkość wypływu cieczy obliczona z równania Beornulliego

nie jest równy wydatkowi zmierzonemu Qvrz

Przyczyną tej różnicy jest mniejszy przekrój strugi cieczy od otworu w zbiorniku oraz mniejszą prędkość od prędkości obliczonej Vt. Stosunek przekroju otworu do przekroju strugi nazywamy kontrakcją i oznaczamy jako =Frz/Ft, skąd Frz=Ft; -współczynnik kontrakcji.

W podobny sposób postąpimy z prędkością =Vrz/Vt→Vrz=Vt, gdzie -współczynnik straty prędkości.

Wydatek rzeczywisty wyrazi się wzorem Qvrz=FrzVrz.

Po podstawieniu wartości Frz i Vrz ostatecznie otrzymamy:

Q=Qvt

Jak widać z tego wzoru, obliczony wydatek rzeczywisty równa się wydatkowi teoretycznemu z uwzględnieniem współczynnika poprawkowego. Współczynnik ten nazywa się współczynnikiem wydatku. Wartości liczbowe omówionych współczynników są zależne od tzw. Przystawek. Są to odpowiednio ukształtowane krótkie kawałki rur (L3D), ustawione współosiowo z otworem, przymocowane szczelnie do ścian zbiornika.

2

---