Opracowanie: Rafał Szczepara

WYKŁAD 8

PRZESTRZEŃ METRYCZNA

DEFINICJA 8.1 (DEFINICJA METRYKI)

określmy funkcję

taką, że

warunek nieujemności,

warunek symetrii,

warunek nierówności trójkąta,

Jeżeli d spełnia warunki
to mówimy , że d jest metryką, gdy są spełnione tylko 3 pierwsze warunki to d jest półmetryką.

Parę uporządkowaną
nazywamy zaś przestrzenią metryczną.

PRZYKŁAD 8.1 (PRZYKŁADY METRYK)

I. Niech

Udowodnimy, że tak zdefiniowana funkcja spełnia założenia metryki.

Dowód:

Własności
wynikają bezpośrednio z własności bezwzględnej wartości.

Udowodnimy punkt
. Z definicji mamy:

c.n.u.

II. Niech

oraz

a)
jest to odległość euklidesowa

Dowód:

Warunki
są oczywiste, udowodnimy tylko warunek
definicji 8.1.

W dowodzie będziemy korzystali z nierówności Cauchy'ego.

ale z nierówności Cauchyego wiemy, że:

Zatem

c.k.d.

b)

Niech
- jest to tak zwana odległość taksówkowa.

Dowód:

Dowody warunków
są oczywiste, udowodnimy zatem tylko warunek
definicji metryki.

c)

- jest to odległość maksimum.

Dowód:

Dowody warunków
są oczywiste, udowodnimy zatem tylko warunek
definicji metryki.

III. Niech

wtedy

a)
jest to odległość euklidesowa.

b)
- odległość taksówkowa.

c)
- odległość maksimum.

Dowody są analogiczne jak w przypadku II.

IV. Niech
będzie dowolnym zbiorem, takim że

Skonstruujmy funkcję d taką, że

wówczas d nazywamy metryką dyskretną.

Udowodnimy, że tak podana funkcja spełnia warunki metryki.

Dowód:

Warunki
definicji 8.1. są natychmiastowe z określenia funkcji.

Zajmiemy się zatem warunkiem
.

Jeżeli a)
to

b)
to

c)
to

d)
to

e)
to

Tym samym pokazałem, iż w metryce dyskretnej warunek
definicji metryki jest zawsze spełniony.

PRZYKŁAD 8.2 (METRYKA W ILOCZYNIE KARTEZJAŃSKIM DWÓCH PRZESTRZENI METRYCZNYCH)

Niech
będą przestrzeniami metrycznymi.

Niech:

a)
,

gdzie

Jest to odległość euklidesowa w iloczynie kartezjańskim.

b)
- odległość taksówkowa w iloczynie kartezjańskim.

c)
- odległość maksimum w iloczynie kartezjańskim

W dalszej części wykładu dana jest przestrzeń metryczna
.

DEFINICJA 8.2 ( KULA OTWARTA)

Niech

PRZYKŁAD 8.3

Szukamy kuli
.

I

II

a)

Kula w metryce euklidesowej

b)

Kula w metryce taksówkowej

Narysujmy wykres

c)

Kula w metryce maksimum

DEFINICJA 8.3 (ZBIÓR OGRANICZONY)

Niech
powiemy, że

DEFINICJA 8.4 (ZBIÓR OTWARTY W PRZESTRZENI METRYCZNEJ)

TWIERDZENIE 8.1 (TOPOLOGIA W PRZESTRZENI METRYCZNEJ - czytaj: własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej)

Niech

(połączenie dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym)

(przecięcie skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym)

Uwaga.

Rodzinę podzbiorów z danego zbioru spełniającą warunki
nazywamy topologią.

Rodzina zbiorów otwartych przestrzeni metrycznej jest topologią i nazywamy ją topologią indukowaną przez metrykę d.

Dowód TWIERDZENIA 8.1:

( z definicji)

( bo
zawiera wszystkie „swoje” kule).

wystarczy przyjąć

TWIERDZENIE 8.2

Kula otwarta jest zbiorem otwartym.

Niech

Dowód:

Niech

Niech

Pokażemy, że

Niech

Wtedy z
mamy
, ale z
warunku definicji mamy:

a
gdyż

Pokazaliśmy, że
, a to oznacza, że

WNIOSEK:

DEFINICJA 8.5 (WNĘTRZE ZBIORU)

Niech
,

i
oznacza wnętrze zbioru
,

jest to największy zbiór otwarty zawarty w
.

WNIOSEK:

Jeżeli
jest rodziną wszystkich zbiorów otwartych zawartych w
, to

DEFINICJA 8.6 (OTOCZENIE PUNKTU W PRZESTRZENI METRYCZNEJ)

Otoczenie punktu
nazywamy dowolny zbiór otwarty zawierający punkt
.

Uwaga.

W naszych rozważaniach będziemy stosować tylko otoczenia kuliste.

DEFINICJA 8.7 (ZBIORY DOMKNIĘTE)

Niech

TWIERDZENIE 8.3 (WŁASNOŚCI ZBIORÓW DOMKNIĘTYCH)

(przecięcie dowolnej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym).

(połączenie skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym).

Dowód.

Ad.

Ad.

Ad.

Uwaga.

Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.

DEFINICJA 8.8 (DOMKNIĘCIE ZBIORU)

Domknięciem zbioru
nazywamy najmniejszy zbiór domknięty obejmujący zbiór
.

Domknięcie zbioru
będziemy oznaczać przez
.

WNIOSEK:

Jeżeli
jest rodziną zbiorów domkniętych zawartych w
i
, to

DEFINICJA 8.9 (BRZEG ZBIORU)

Niech
,

gdzie
- oznacza brzeg zbioru
.

DEFINICJA 8.10 (GRANICA CIĄGU)

Niech
- będzie przestrzenią metryczną

inaczej:

PRZYKŁAD 8.4

Sprawdzić czy ciąg
jest zbieżny do g w sensie metryki
(taksówkowej).

Można udowodnić, że zbieżność w
jest równoważna zbieżności po każdej współrzędnej osobno.

DEFINICJA 8.11 (PUNKT SKUPIENIA)

:

WNIOSEK:

jest zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy jeżeli
zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

24