Opracowanie: Kuba Dziwisz

WYKŁAD 17

WŁASNOŚCI SUM NIESKOŃCZONYCH

PRZYKŁAD 17.1

= (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0

= 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ... = 0

Na ogół w sumach nieskończonych nie wolno grupować wyrazów.

TWIERDZENIE 17.1

Jeżeli szereg
jest zbieżny to wolno grupować wyrazy i otrzymany szereg będzie zbieżny do tej samej sumy.

PRZYKŁAD 17.2

Zbadać zbieżność szeregu:

maleje do 0
- szereg naprzemienny zbieżny (kryt. Leibniza)

UWAGA:

Na ogół w sumach nieskończonych nie można zmieniać kolejności wyrazów.

TWIERDZENIE 17.2 (O ZMIANIE KOLEJNOŚCI WYRAZÓW)

Jeżeli szereg
jest bezwzględnie zbieżny to wolno zmieniać kolejność wyrazów w tej sumie i otrzymany szereg jest zbieżny do tej samej sumy.

ILOCZYN CAUCHY'EGO SZEREGÓW

DEFINICJA 17.1 (ILOCZYN CAUCHY'EGO SZEREGÓW)

gdzie

TWIERDZENIE 17.3

Jeżeli
oraz
są oba zbieżne i przynajmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to iloczyn Cauchy'ego tych szeregów,
jest zbieżny.

SZEREGI FUNKCYJNE

Niech
- przestrzenie Banacha nad K (K = R v K = C).

- odwzorowanie ograniczone,
- obszar

B(X, Y), gdzie B(X, Y) jest przestrzenią odwzorowań ograniczonych

Tworzymy ciąg sum częściowych
szeregu

DEFINICJA 17.2 (ZBIEŻNOŚĆ PUNKTOWA, BEZWZGLĘDNA, JEDNOSTAJNA)

1. szereg
   jest zbieżny punktowo na
   

2. szereg
   jest zbieżny bezwzględnie na
   gdzie
   

3. szereg
   jest zbieżny jednostajnie na
   jest zbieżny jednostajnie na
   

WNIOSEK 17.1

1. Jeżeli szereg
   jest zbieżny jednostajnie na
   to jest zbieżny punktowo na
   

2. Jeżeli szereg
   jest zbieżny bezwzględnie na
   to jest zbieżny punktowo na
   

3. Pomiędzy zbieżnością jednostajną i bezwzględną nie ma zależności

- szereg może być zbieżny jednostajnie a nie musi być zbieżny bezwzględnie, i odwrotnie.

(B(X, Y),
) - przestrzeń Banacha z normą Czebyszewa

B(X, Y)

- zbieżny według norm Czebyszewa
- zbieżny

- zbieżny w przestrzeni B(X, Y) z normą Czebyszewa do S

- zbieżny według norm Czebyszewa do

WNIOSEK 17.2 (WARUNEK KONIECZNY)

1. szereg
   jest zbieżny punktowo na
   

2. szereg
   jest zbieżny bezwzględnie na
   

3. szereg
   jest zbieżny jednostajnie na
   

4. szereg
   jest zbieżny według norm Czebyszewa na
   

TWIERDZENIE 17.4 (KRYTERIUM ZBIEZNOŚCI JEDNOSTAJNEJ WEIERSTRASSA)

Z:

- zbieżny

T:
jest zbieżny jednostajnie na Ω

Dowód:

PRZYKŁAD 17.3

Zbadać zbieżność jednostajną szeregu

TWIERDZENIE 17.5 (O RÓŻNICZKOWANIU SZEREGÓW)

Z:
P - przedział

funkcje
- różniczkowalne na P

- zbieżny punktowo na P oraz
- zbieżny jednostajnie na P

T:

Dowód:

jest to bezpośredni wniosek z Twierdzenia 10.2.

(o przejściu z granicą pod znak pochodnej)

z założenia
- zbieżny jednostajnie

z Twierdzenia 10.2:

TWIERDZENIE 17.6 (O CAŁKOWANIU SZEREGÓW)

Z:
P - przedział

- całkowalna na P

- zbieżny jednostajnie na P

T:

Dowód:

jest to bezpośredni wniosek z Twierdzenia 10.3.

(o przejściu z granicą pod znak całki)

z Twierdzenia 10.3:

PRZYKŁAD 17.4

Dany jest szereg

A. określić obszary zbieżności punktowej, bezwzględnej, jednostajnej

B. wyznaczyć sumę tego szeregu

ad.A.

zbieżność bezwzględna

z kryterium d'Alamberta

gdy
- zbieżny bezwzględnie

gdy
- rozbieżny

gdy x = -1

- szereg jest rozbieżny (warunek konieczny jest nie spełniony)

gdy x = 1

- szereg jest rozbieżny (warunek konieczny jest nie spełniony)

Badam warunek konieczny zbieżności jednostajnej na ] -1; 1 [

bo

Warunek konieczny dla zbieżności jednostajnej na ] -1; 1 [ nie jest spełniony, zatem sprawdzam czy

Niech c = max{ |a|, |b| }

czyli:
- zbieżny niemal jednostajnie na ]-1;1[

ad.B.

Jeżeli szereg jest zbieżny według normy Czebyszewa

to jest zbieżny jednostajnie.