Opracowanie: Krzysztof Jastrząb

WYKŁAD 2

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. Metody całkowania.

DEFINICJA 2.1 ( ZBIÓR WYPUKŁY )

IR² ⊃ A - wypukły :
odcinek o końcach x, y zawiera się w A.

PRZYKŁAD FIGURY NIEWYPUKŁEJ:

x

y

DEFINICJA 2.2. (WYPUKŁOŚĆ WYKRESU FUNKCJI)

jest zwrócona wypukłością ku górze : nad krzywą
znajduje się zbiór wypukły.

PRZYKŁAD FUNKCJI WYPUKŁEJ KU GÓRZE

y

x

jest zwrócona wypukłością ku dołowi : pod krzywą
znajduje się zbiór wypukły.

WNIOSEK 2.1

Z: f∈C¹ (]a,b[) f: ]a,b[ →IR

T: 1^o f - wypukła ku górze w ]a,b[
f(x)>f(x_o)+f ^'(x_o)(x- x_o)

( czyli: w każdym punkcie krzywej wykres jest nad styczną poprowadzoną w tym punkcie)

a b

2^o f - wypukła ku dołowi w

f(x)<f(x_o) + f ^'(x_o)(x- x_o)

( czyli: w każdym punkcie krzywej wykres jest pod styczną poprowadzoną w tym punkcie)

WNIOSEK 2.2

Z: f∈C² ]a,b[ f:]a,b[ → IR

T: 1^o
f ^''(x) > 0 ⇒ f wypukła ku górze

2^o
f ^''(x) < 0 ⇒ f wypukła ku dołowi

D:
,

Biorąc rozwinięcie funkcji wg wzoru Taylor'a w otoczeniu x_o , dla n=1

takie, że

f(x)=f(x₀) + f ^'(x₀)(x- x₀) +
(
)

ad. 1^o

(
)
>0

⇓

ad. 2^o

(
)
<0

⇓

WNIOSEK 2.3 (WARUEK WYSTARCZAJĄCY EKSTREMUM)

Z:

T:
- minimum lokalne

- maksimum lokalne

DEFINICJA 2.3 (PUNKT PRZEGIECIA (p.p.))

- nazywa się punktem przegięcia wykresu funkcji

- jest wypukła ku górze / dołowi,

oraz w przedziale

- jest wypukła ku dołowi / ku górze.

WNIOSEK 2.4

Z:
∧
- p.p.

T:

D: jest to bezpośredni wniosek z wniosku 2.2. oraz z własności Darboux.

WNIOSEK 2.5

Z:
,

∧

(< 0) (>0)

T:
- jest punktem przegięcia wykresu

TWIERDZENIE 2.1 (DE L'HOSPITALA)

Z:

(1)

∨

(2)

T:

D:
,bo

dla (1)

- spełniają założenia twierdzenia Cauchy'ego ⇒

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

f: IR→IR

DEFINICJA 2.4 (FUNKCJA PIERWOTNA)

F : IR→IR - pierwotna do f na U⊂IR :

DEFINICJA 2.5 (CAŁKOWALNOŚĆ W SENSIE NEWTONA)

f - całkowalna w sensie Newtona na U: f posiada funkcję pierwotną na U.

LEMAT 2.1

Z: f - całkowalna w sensie Newtona na U

F,G - funkcje pierwotne do f na U

T:
F(b) - F(a) = G(b) - G(a)

D:
F(x)=G(x)+C ⇒ F(b)-F(a)=G(b)+C-(G(a)+C)=G(b)-G(a)

DEFINICJA 2.6 (CAŁKA NEWTONA)

f - całkowalna w sensie Newtona, F - pierwotna do f na [a.b]

całka Newtona to całka oznaczona.

DEFINICJA 2.7 (CAŁKA NIEOZNACZONA)

f - całkowalna w sensie Newtona, F - pierwotna do f.

METODY CAŁKOWANIA

TWIERDZENIE 2.2

Z: f, g - całkowalne w sensie Newtona na przedziale U

T:
- całkowalna na U

oraz

Dygresja:

Koniec dygresji.

1. CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

Z:

f - całkowalna na V

T:

D: Niech

Pokazaliśmy, że F(ϕ(t)) jest pierwotną do

(w naszej tezie)

PRZYKŁAD 2.1

PRZYKŁAD 2.2

=
=

(nie może się zdarzyć, aby dwie zmienne występowały naraz pod całką)

PRZYKŁAD 2.3

=(*)
(*)=
=

(zła metoda!!!)

(**) dla dobra przykładu nie piszemy

=

komentarz :

=
= ((x ⇒ sint ⇒ t=arcsinx)) =

2. CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

Z: f, g ∈

T:

D: T

Typ 1.

=(całkujemy tak, żeby obniżać stopień wielomianu)

PRZYKŁAD 2.4

=

=
=

=
-
=

=
-

Typ 2.

=
=

PRZYKŁAD 2.5

=
=

=

ostatecznie:

Typ 3.

- całkujemy dwukrotnie przez części - całka dwumienna

=

=

I=

2I=

I=

3. CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

1⁰ n
m to
=

2⁰ n < m

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych daje się rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

dla

= → rozkładamy na ułamki proste :

=
+...+

↓

ułamki proste I-go rodzaju

od 1 do k potęg

↓

ułamki proste II-go rodzaju

PRZYKŁAD 2.6

I=
st. licznika < st. mianownika

(przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach po lewej i prawej stronie równania)

a) CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH I-GO RODZAJU

=

(dla k>1)

b) CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH II-GO RODZAJU

=
=

=
=

=

Ostatecznie:

I=

---