Zagadnienia Metody informatyczne 1 rok 2 sem, Studia materiały


Metody informatyczne 1 rok 2 sem. Zagadnienia do kolokwium.

1. Oscylator harmoniczny nietłumiony:
a. równanie ruchu

0x01 graphic

b. rozwiązania: częstość i okres drgań

0x01 graphic

Kształt rozwiązań dla różnych warunków początkowych.
Należy rozumieć, jakie to warunki.

0x01 graphic

0x01 graphic

2. Oscylator harmoniczny tłumiony

a. równanie ruchu

0x01 graphic

b. kształt rozwiązań dla tłumienia pod- i nad-krytycznego (wykresy)

0x01 graphic

0x01 graphic

c. zależność częstości drgań od współczynnika tłumienia b (dla m=1, k=1)

0x01 graphic

Jak widać, częstość drgań spada do zera, dla b=2 - to tłumienie krytyczne. Pojawia się, gdy 0x01 graphic
.

3. Oscylator harmoniczny z wymuszeniem

a. równanie ruchu

0x01 graphic

b. zależność amplitudy drgań ustalonych od częstości siły wymuszającej.

Należy umieć opisać poniższy rysunek wskazując, jakie zmienne znajdują się na jego obu osiach:

0x01 graphic

c. zjawisko rezonansu (analiza wykresu). Należy umieć wskazać na powyższym rysunku częstotliwość rezonansową i rozumieć, jak częstotliwość ta zmienia się wraz ze wzrostem tłumienia.

4. Wahadło matematyczne nietłumione

a. równanie ruchu

0x01 graphic

b. typy rozwiązań. Należy umieć wskazać trajektorie odpowiadające oscylacjom i obrotom oraz zidentyfikować trajektorię, która oddziela te obszary od siebie (separatrysa).


0x01 graphic

c. zależność częstotliwości rozwiązań oscylacyjnych od amplitudy (wykres)

0x01 graphic

d. dyskusja zależności częstotliwości drgań wahadła od amplitudy5. Wahadło matematyczne z drgającym zawieszeniem

  1. funkcje opisująca ruch zawieszenia, jego przyspieszenia oraz równanie ruchu wahadła w układzie odniesienia związanym z drgającym zawieszeniem:

0x01 graphic

b. zjawisko stabilizacji metastabilnego położenia równowagi

6. Model skaczącej kulki

a. wyprowadzenie równań ruchu

Zakładamy, iż ruch powierzchni, na którą spada kulka, opisany jest funkcją:

0x01 graphic

Jej prędkość jest więc opisana funkcją:

0x01 graphic

Niech ti będzie momentem czasu, w którym zaszło i-te zderzenie.

Niech vi będzie prędkością kulki tuż po tym zderzeniu.
Równanie

0x01 graphic

opisuje sytuację, w której po czasie 0x01 graphic
kulka ponownie zderza się z płaszczyzną.

Jego rozwiązanie, a więc wyznaczenie wartości 0x01 graphic
, pozwala na obliczenie momentu następnego zderzenia:

0x01 graphic

Pozostaje nam obliczenie prędkości kulki tuż po tym, a więc (i+1)-szym zderzeniu.

Kulka zbliża się do niego z prędkością (ponieważ wystartowała do skoku z prędkością vi i poruszała się przez czas ti z przyspieszeniem -g):

0x01 graphic

W układzie odniesienia związanym z płaszczyzną prędkość ta wynosi:

0x01 graphic

(odjęliśmy prędkość, z jaka porusza się płaszczyzna).

Tuż po zderzeniu prędkość kulki w układzie związanym z płaszczyzną wyniesie więc

0x01 graphic

Powrót do układu laboratoryjnego daje nam poszukiwaną prędkość kulki tuż po rozważanym zderzeniu:

0x01 graphic

(dodaliśmy prędkość płaszczyzny i uprościliśmy wynik).

Zbierając rozważane wzory dochodzimy do układu równań pozwalających z czasu, w jakim zachodzi i-te zderzenie, i prędkości kulki tuż po tym zderzeniu pozwala obliczyć moment następnego zderzenia i prędkość kulki tuż po jego zajściu:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

b. periodyczne mody drgań.

Wykres położenia (w czasie) płaszczyzny zderzeń i kulki w najprostszym modzie periodycznym, w którym okres skoków kulki T jest zgodny z okresem drgań płaszczyzny zderzeń.

0x01 graphic

Należy umieć opisać ten wykres, tzn. opisać osie, wskazać oba wykresy i okres drgań.

c. bifurkacje podwajające okres

Wykres położenia (w czasie) płaszczyzny zderzeń i kulki w najprostszym modzie periodycznym, po pierwszej bifurkacji podwajającej okres: skok wyższy + skok niższy tworzą powtarzającą się parę skoków. Okres tego ruchu periodycznego wynosi 2T.

0x01 graphic

Należy umieć opisać ten wykres, tzn. opisać osie, wskazać oba wykresy i okres drgań.

d. wykres diagramu bifurkacyjnego tzn. wykres fazy zderzeń w funkcji amplitudy drgań płaszczyzny zderzeń. Należy umieć wskazać punkty bifurkacji podwajających okres.

d. delta Feigenbauma: jej definicja i przybliżona wartość.

0x01 graphic

0x08 graphic
Należy umieć opisać ten wykres, tzn. wskazać zmienne na obu osiach i punkty bifurkacji, oraz podać definicję delty Feigenbauma:

0x01 graphic



Wyszukiwarka