STATYSTYKA semestr 2.

4.03.2008

MIARY ŚREDNIE

Średnia harmoniczna (H, X_H)

• tempo zjawisk i jego zmian (głównie problemy demograficzne)

N

H = Σ 1/x_i - dla szeregu szczegółowego (odwrotność średniej

arytmetycznej z odwrotnością wartości zmiennej)

N

H = Σ 1/x_i * n_i - dla sz. punktowego i przedziałowego

Kiedy używamy średniej harmonicznej?

• gdy jednostki, w których wyrażamy dane zmienne podane są w jednostkach względnych tzn. coś na coś (km/h ; m/s )

Zadanie :

Gęstość zaludnienia w mieście A wynosi 400 osób/ km² a w mieście B 600 os/ km². Oba miasta mają 60.000 mieszkańców. Jaka jest przeciętna gęstość zaludnienia?

N = 2

2

H = 1/400 + 1/600 = 480 os/ km²

60000 + 60000

Lub : H = 1/400 * 60000 + 1/600 * 60000 -?????

ŚREDNIA GEOMETRYCZNA (G, X_G)

G = ^N√ x₁ * x₂.....* x_n

Kiedy ją stosujemy?

• badanie dynamiki zjawisk (zagadnienia ekonomiczno - demograficzne)

• w pedagogice

Zadanie :

Z danych ludności pewnego miasta wyniki, że w 3 kolejnych okresach liczba ludności wynosiła kolejno 5000, 7500, 8250. Oblicz średni przyrost względny ludności

n1 = 5000 n2 = 7500 n3 = 8250

x₁ = 7500 / 5000 = 1,5

x_{2 =} 8250 / 7500 = 1,1

G = ²√ x_{1 *} x₂ = ²√ 1,5 * 1,1 = ²√ 1,65 = 1,2845

MIARY ZRÓŻNICOWANIA

• współczynnik zmienności (miara klasyczna)

s

Vs = x * 100 %

d

lub Vd = x * 100 %

• odchylenie ćwiartkowe - oblicza się za pomocą kwartyli (zmienność w obszarze obejmującym tylko 50 % spośród wszystkich jednostek)

Q₃ - Q₁

Q = 2

• współczynnik zmienności (miara pozycyjna)

V_Q = Q / Md

Q3 - Q1

V_Q1Q3 = Q3 + Q1

11.03.2008

• Miary zróżnicowania

Q - odchylenie ćwiartkowe Q= Q₃ - Q₁ / 2

Q₃ - kwartyl trzeci

Q₁ - kwartyl pierwszy

V - współczynnik zmienności

Vs = s / x

Vd = d / x (gdy zamiast `s' bierzemy `d' - czyli odchylenie średnie)

• Miary zmienności

• Klasyczne

Vs = s / x

Vd = d / x

• Pozycyjne

V_Q = Q / Md

V_Q1Q3 = Q3-Q1 / Q3+Q1

ROZKŁAD

Rozkład statystyczny

Rozkład liczebności

Rozkład częstości

Rozkład empiryczny

*rozkłady teoretyczne - coś innego

rozkład empiryczny - przyporządkowanie odpowiednim kategoriom lub wartościom zmiennej odpowiadających im liczebności

np.

katolicy	120
prawosławni	32

(np. szereg statystyczny rozdzielczy lub przedziałowy to też rozkład. Natomiast szereg szczegółowy rozkładem nie jest)

TYPY ROZKŁADÓW STATYSTYCZNYCH

ROZKŁADY

dla cechy skokowej dla cechy ciągłej

wielomodalne jednomodalne jednomodalne wielomodalne

symetryczny skrajnie

- normalny asymetryczny

- platokurtyczny - prawoskośny

- leptokurtyczny umiarkowanie - lewoskośny

asymetryczny

- prawoskośny

- lewoskośny

rozkłady dla cechy skokowej możemy prezentować w układzie współrzędnych :

liczebności

wartości

rozkłady dla cechy ciągłej :

rozkład jednomodalny - ma jedno maximum

• Dla cechy ciągłej mówimy, że jest to krzywa liczebności

• Dla cechy skokowej - diagram

• Dla cechy ciągłej - krzywa liczebności ma 1 maximum

• Dla cechy skokowej - diagram ma 1 maximum

A tu są 2 maxima (maxima lokalne)

Rozkład symetryczny - taki, w którym liczebności odpowiadające wartościom zmiennej rozkładają się symetrycznie wokół liczebności największej

Taki wykres w ogóle nie jest jednomodalny - (więc nie nazwiemy go symetrycznym)

Rozkład symetryczny :

• normalny

• leptokurtyczny

• platokurtyczny

Rozkład normalny

Rozkład normalny (krzywa Gaussa) - dlaczego jest taki ważny?

• wiele rozkładów w rzeczywistości (przyrodzie) ma rozkład zbliżony do r. normalnego (np. wzrost ludzi)

• rozkład normalny jest rozkładem statystyki

Każdy rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym

Rozkład leptokurtyczny (w stosunku do normalnego jest bardziej wysoki)

Rozkład platokurtyczny (spłaszczony w stosunku do normalnego)

Rozkłady umiarkowanie i skrajnie asymetryczne :

Umiarkowanie asymetryczny, prawoskośny - dla cechy ciągłej (prawoskośny - bo prawe ramię jest dłuższe)

Umiarkowanie asymetryczny, prawoskośny - dla cechy skokowej

Umiarkowanie asymetryczny, lewoskośny - dla cechy skokowej

Skrajnie asymetryczny, prawoskośny - dla cechy ciągłej

Skrajnie asymetryczny, lewoskośny - dla cechy ciągłej

• rozkłady asymetryczne to takie, w których prostopadła do osi x poprowadzona z punktu maximum dzieli powierzchnię pod krzywą na 2 nierówne części

• rozkład prawoskośny - taki, dla którego większa powierzchnia wraz z dłuższym ramieniem znajduje się z prawej strony punktu maximum

• lewoskośny - analogicznie - ... z lewej strony

• rozkład umiarkowanie asymetryczny - taki, który ma 2 ramiona

• rozkład skrajnie asymetryczny - ma tylko 1 ramię

• rozkład bimodalny - taki, który ma 2 maxima

• rozkład wielomodalny - taki, który ma więcej niż jedno (lub więcej niż 2 maxima)

Rozkład ukształtny (siodłowy) - nie jest ani jednomodalny, ani wielomodalny

MIARY ASYMETRII

Wyróżniamy miary :

• średnie

• zróżnicowania

• asymetrii

za pomocą miar asymetrii możemy otrzymać informację, czy rozkład jest symetryczny, prawoskośny...itp.

miary asymetrii informują nas o tym, z jakim rodzajem rozkładu mamy do czynienia

prawoskośny

D Md x

D - dominanta

Md - mediana

x- średnia

lewoskośny

x Md D

miary asymetrii wykorzystują miary średnie poprzez porównanie ich wielkości. W ten sposób najwygodniej jest uzyskać informacje o tym, czy rozkład jest symetryczny, czy jest prawoskośny, czy lewoskośny

w rozkładach symetrycznych średnia, mediana i dominanta są sobie równe

w rozkładach asymetrycznych możemy wskazać nierówności, które te miary spełniają

wskaźnik asymetrii - Ws

Ws = x - D

Prawoskośny - Ws > 0

Symetryczny - Ws = 0

Lewoskośny - Ws < 0

(lecz Ws nie informuje o sile, o natężeniu tej asymetrii)

Współczynnik asymetrii - As (współczynnik pozwala porównywać)

As = x - D / s

Mamy tu informację zarówno o kierunku jak i o sile asymetrii

As przybiera wartości z przedziału <-1 ; 1>

As = 0 - symetryczny

As ujemny - lewoskośny kierunek

As dodatni - prawoskośny

Siła im bardziej się zbliża do wartości skrajnych

O sile asymetrii informuje nas odległość od zera. Im bliżej bezwzględnie do 1, tym asymetria jest silniejsza

18.03.2008

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Kombinatoryka - dział matematyki zajmujący się obliczaniem liczby zbiorów jakie można utworzyć przy pewnych warunkach

Np. ile można utworzyć par postaci (a_j, b_k) - zależy ile jest tych j, k

Np.

1. płeć - 2 kategorie

2. wykształcenie - 4

3. miejsce zamieszkania - 3

4. wiek - 4

więc - 2*4*3*4 = 96

tyle będzie różnych kategorii

SILNIA !

6! = 1*2*3*4*5*6

0! = 1

1! = 1

n n!

k = k! (n - k)!

Populacja generalna - zbiór złożony z „n” różnych elementów

Próbka - dowolny zbiór, którego elementy są elementami populacji generalnej (podzbiór)

Najpierw powinniśmy odpowiedzieć sobie na pytania :

• ile mamy do dyspozycji elementów

• ilu-elementowy zbiór tworzymy

• czy elementy mogą się powtarzać

• czy kolejność elementów w zbiorze odgrywa rolę

WARIACJA

• wariacją bez powtórzeń z n elementów po k nazywamy uporządkowany zbiór składający się z k różnych elementów, wybranych spośród n różnych elementów (*zbiór uporządkowany - czyli kolejność odgrywa rolę)

liczbę wariacji bez powtórzeń określamy takim wzorem :

_k n!

V_n = (n - k)!

• Wariacja z powtórzeniami - uporządkowany zbiór składający się z k elementów różnych lub nieróżniących się między sobą, wybranych spośród n różnych elementów

_k

V_n = n^k

PERMUTACJE BEZ POWTÓRZEŃ - zbiór składający się z n elementów, uporządkowanych i różnych, utworzony z n elementów

Permutacja bez powtórzeń jest wariacją z n elementów po n

Pn = n!

_n n! n! n!

Pn = V_n = (n - n)! = 0! = 1 = n!

PERMUTACJĄ Z POWTÓRZENIAMI nazywamy zbiór składający się z n elementów uporządkowanych, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio n₁, n₂,....n_k razy

_n1,n2...nk n!

P_n = n₁! * n₂! * n_k!

KOMBINACJA BEZ POWTÓRZEŃ z n elementów po k nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów wybrany spośród n różnych elementów, przy czym obojętne jest w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone

_k n n!

C_n = k = k! (n - k) !

KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI z n elementów po k to zbiór składający się z k elementów różnych lub nieróżniących się między sobą, wybrany spośród n różnych elementów, przy czym obojętne jest w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone

_ _k n + k - 1

C_n = k

ZDARZENIE LOSOWE

JEDNORAZOWE MASOWE

- nie można przewidzieć wyniku - powtarzające się, cykliczne

W teorii prawdopodobieństwa interesujemy się zdarzeniami masowymi (badanie prawidłowości zdarzeń masowych)

ZDARZENIE LOSOWE - takie zdarzenie, którego zajścia lub niezajścia nie można przewidzieć (na 100 %) i powiedzenie, że zachodzi lub nie, ma sens. (w tych właśnie kategoriach możemy je rozpatrywać - że ono zachodzi lub nie)

ZDARZENIE ELEMENTARNE - jeśli zdarzenia A nie można przedstawić w postaci sumy co najmniej dwóch zdarzeń różnych od A, to takie zdarzenie nazywamy zdarzeniem elementarnym

• - przestrzeń zdarzeń elementarnych (wszystkie możliwe zdarzenia elementarne danego doświadczenia)

*zdarzenie losowe - podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych

ZDARZENIE NIEMOŻLIWE - zdarzenie losowe niezawierające żadnego zdarzenia elementarnego

ZDARZENIE PEWNE - zdarzenie losowe zawierające wszystkie elementy przestrzeni zdarzeń elementarnych

KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA - jeżeli zbiór podstawowy składa się z n zdarzeń elementarnych jednakowo możliwych i jeżeli wśród nich jest k zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę P(A) równą k/n nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A

k

P(A) = n

n

• 
  prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia pewnego = n = 1

0

• 
  prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia niemożliwego = n = 0

=> czyli : 0 ≤ P(A) ≤ 1

1.04.2008

PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B. Oznaczamy je i obliczamy w ten sposób :

P (A ∩ B)

P(A/B) = P(B)

Po przekształceniu : P (A ∩ B) = P(A/B) * P(B)

P (A ∩ B) - prawdopodobieństwo jednoczesnego zajścia zdarzenia A i zdarzenia B

• dopuszczalne są „drzewka” :)

SCHEMAT BERNOULLIEGO

• w schemacie N prób Bernoulliego prawdopodobieństwo P_N(k) otrzymania dokładnie k sukcesów wyraża się wzorem :

n

P_N(k) = k p^k * q^N-k

N - liczba prób

k - liczba sukcesów

p - prawdopodobieństwo sukcesu p + q = 1

q - prawdopodobieństwo porażki

Drzewko :

np. rzucamy 2 razy monetą :

1. rzut

1 1

2 2

orzeł reszka

1 1 1 1

2 2 2 2 2. rzut

orzeł reszka orzeł reszka

½ * ½ = ¼ - czyli wyrzucenie 2 razy orła ma prawdopodobieństwo ¼ (i reszki też)

ZMIENNA LOSOWA - zmienną losową nazywamy każdą funkcję o wartościach rzeczywistych na przestrzeni zdarzeń elementarnych

X(w)

Y(w) symbole zmiennej losowej

Rozkład zmiennej losowej - zbiór

{(x_i, p_i) : i = 1,2....,n }

zbiór par postaci (x_i, p_i) gdzie x_i oznacza wartość zmiennej losowej x, a p_i oznacza prawdopodobieństwo, z jakim x przyjmuje wartość x_i

WARTOŚĆ OCZEKIWANA ZMIENNEJ LOSOWEJ

• w. oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie {(xi, pi) : i = 1,2....,n } nazywamy liczbę Ex = x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_Np_N

Ex = Σ x_ip_i

Σ p_i = 1

WARIANCJA ZMIENNEJ LOSOWEJ

• wariancją zmiennej losowej x nazywamy liczbę oznaczoną symbolem D²(x) i określamy wzorem E (x - Ex)²

D²(x) = E (x - Ex)²

ROZKŁAD NORMALNY

ROZKŁAD - przyporządkowanie odpowiednim wartościom odpowiadających im liczebności

Przykładowe pytanie egzaminacyjne : od czego uzależniona jest postać krzywej normalnej?

• odpowiedź : od średniej arytmetycznej i odchylenia standardowego

gdy zmienia się średnia, to kształt się nie zmiena, tylko krzywa się przesuwa w lewo lub w prawo :

X

D

Md

Krzywa przesunęła się w lewo (średnia się zmniejszyła)

(a jeśli średnia by się zwiększyła, to krzywa przesunęłaby się w prawo)

s - odchylenie standardowe - decyduje o tym, czy rozkład jest bardziej spłaszczony czy spiczasty

• gdy s się zwiększa, to rozkład jest bardziej spłaszczony (bo wtedy jest bardziej zróżnicowana zbiorowość, s jest bardziej oddalone od średniej)

ZBIOROWOŚCI

POPULACJE PRÓBA

• parametr (miara którą obliczamy - statystyka, estymator

w populacji) (miara obliczana w próbie)

M - „mi” - średnia w populacji x, M - średnia

σ - odchylenie w populacji (mała sigma) s - odchylenie

8.04.2008

Reguła trzech sigm

• reguła ta mówi o tym, jaką część powierzchni całkowitej pod krzywą normalną zajmują powierzchnie wyznaczone przez odkładanie od średniej odcinków odchylenia standardowego

np. N ( 90; 11 ) - rozkład normalny o średniej 90 i odchyleniu 11

Z - pomiar standaryzowany

x - x

Z = s

Z - mówi nam, ile odchyleń standardowych leży w odległości od średniej (Z to odległość punktu od średniej w jednostkach odchylenia stand.)

*odczytujemy z tablic, że np. Z = 1,35 → 41,15 %

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

Dwie kategorie wnioskowania statystycznego :

1. Sytuacje polegające na tym, że na podstawie pewnych charakterystyk, rozkładów danej zmiennej w próbie (zwanych statystykami lub estymatorami, np. średnia, proporcja) próbujemy oszacować odpowiadające im parametry rozkładu tej zmiennej w populacji. (metody estymacji parametrów populacji)

2. W sytuacjach tych bądź stwierdzamy, iż pewne podgrupy w przebadanej przez nas próbie, czy też próby pobrane z różnych populacji różnią się swoimi parametrami, bądź też stwierdzamy, iż zmienne w badanej przez nas próbie są powiązane określonymi statystycznymi zależnościami, a następnie staramy się uogólnić owe różnice lub zależności na populację lub populacje, z których próby te zostały wylosowane (metody weryfikacji hipotez)

15.04.2008

Weryfikacja hipotez statystycznych

Hipoteza - twierdzenie (wypowiedziane językiem statystyki)

• równania lub nierówności

• sformułowania typu : coś ma wpływ na coś, coś jest uzależnione od czegoś...

HIPOTEZY

ZEROWA BADAWCZA

*hipotezy kierunkowe i bezkierunkowe

Rozumowanie weryfikacja potwierdzenie/obalenie

Etapy testowania hipotez statystycznych (najczęściej mówi się o 5 krokach, które trzeba wykonać, aby przeprowadzić tę procedurę weryfikacji) :

1. określenie zmiennych i ich skal pomiarowych. Sformułowanie założeń i hipotez

2. wybór testu statystycznego i określenie rozkładu statystyki

3. ustalenie reguły decyzyjnej. Wybór poziomu istotności, określenie obszaru krytycznego i wartości krytycznej

4. obliczenie wartości statystyki dla otrzymanych wyników

5. podjęcie decyzji

• dla każdego testu stosujemy tę samą procedurę

• oprócz tych 5 punktów - na początku wyraźnie zaznaczyć problem, na końcu udzielić odpowiedzi

• procedura : porównanie 2 liczb : uzyskaną ze wzoru i wyczytaną z tablic

ROZKŁAD Z PRÓBY - rozkład, w którym jednostką jest próba, a zmienną statystyka obliczona dla tej próby (możemy w każdej próbie obliczyć średnią i przedstawić ten rozkład)

TEORETYCZNY ROZKŁAD Z PRÓBY - nie pobieramy żadnych prób ani nie przeprowadzamy żadnego doświadczenia (jest efektem teoretycznych rozważań na fundamencie rachunku prawdopodobieństwa)

EKSPERYMENTALNY ROZKŁAD Z PRÓBY - wynik rzeczywistego doświadczenia

__

X x

S x rozkład eksperymentalny

M
x

σ x rozkład teoretyczny

(literką `M' oznaczam tu „mi” - nie mogłam w symbolach znaleźć fachowego oznaczenia :)

__

X x - średnia z eksperymentalnego rozkładu próby średniej

S x - odchylenie stand. z eksperymentalnego rozkładu próby średniej

M x - średnia z teoretycznego rozkładu próby średniej (M - „mi”)

σ x - odchylenie stand. z teoretycznego rozkładu próby średniej

22.04.2008

M s² - średnia z teoretycznego rozkładu próby wariancji (statystyki s²)

M_M = M - średnia z teoretycznego rozkładu próby średniej jest równa średniej w populacji (M - średnia w populacji)

M s² = σ²

Błąd standardowy - odchylenie standardowe rozkładu dowolnej statystyki

Błąd standardowy statystyki M - σ_M

σ² σ

σ_M² = N σ_M = √N N = liczebność próby

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

Warunki zaistnienia CTG :

1. pobieramy próby losowe o liczebności N

2. populacja ma dowolny rozkład ze średnią M i wariancją σ²

3. 
   jeśli próby są wystarczająco duże to rozkład z próby średnich jest rozkładem normalnym o średniej M i wariancji σ²

N

σ

N (M ; √N ) - rozkład próby średniej

Σ (xi - x)²

S² = N - 1 - wariancja

W próbie dzielimy przez N - 1

Dzieląc przez N otrzymalibyśmy nieobciążony estymator σ² który wykazywałby systematyczną tendencję do oddalania się od σ² o stałe obciążenie równe N - 1 / N

Gdy będziemy dzielić przez N - 1 to taki estymator nie będzie wykazywał systematycznej tendencji do tego, by być mniejszym lub większym niż σ²

29.04.2008

Hipoteza we wnioskowaniu statyst. jest sformułowana w języku statystyki (matematyki)

• hipoteza zerowa - coś nie ma związku, wpływu ; coś jest czemuś równe ; nie różni się (np. sposób prowadzenia zajęć nie wpływa na wyniki kolokwium). Tutaj mamy dwie decyzje : odrzucamy H₀ lub brak podstaw do odrzucenia H₀

• hipoteza badawcza

• ≠ bezkierunkowa (np. sposób prowadzenia zajęć wpływa na oceny z kolokwium. - ale nie określamy jak wpływa)

• > < kierunkowe (że np. coś wpływa pozytywnie lub negatywnie na coś - określamy jaki jest ten wpływ)

hipoteza zerowa wyklucza się z hipotezą badawczą

Chcemy potwierdzić H₁, budujemy H₀ przeciwstawną do H₁. Zakładamy że H₀ jest prawdziwe i staramy się doprowadzić do sprzeczności, tzn. uzyskać wynik mało prawdopodobny.

Co to znaczy wynik mało prawdopodobny?

• w naukach społ. za mało prawdopodobne uważa się wyniki, których prawdopodobieństwo jest mniejsze niż 0,05 (5%) (ale też może być 0,01)

POZIOM ISTOTNOŚCI

α

α = 0,05

α = 0,01

O prawdopodobieństwie, na jakie decyduje się badacz informuje nas poziom istotności (α)

Można się również spotkać z oznaczeniami p zamiast α

OBSZAR KRYTYCZNY (OBSZAR ODRZUCENIA) - obszar rozkładu z próby, który stanowi odpowiedni procent całego rozkładu z próby zdefiniowany przez poziom istotności

Obszar krytyczny -

α = 0,05 zakreskowany

2,5 % 2,5 %

• gdy liczba ze wzoru należy do obszaru krytycznego, należy odrzucić hipotezę zerową

• gdy liczba ze wzoru jest gdzieś indziej (nie należy do obszaru odrzucenia) to jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Jeśli w badaniach otrzymaliśmy wynik mało prawdopodobny to znaczy że albo mieliśmy fuksa :) albo nasze założenia są fałszywe. Naszym założeniem była prawdziwość hipotezy zerowej. Jeśli wynik w badaniu przetworzony za pomocą wzoru na dany test wpada do obszaru odrzuceń to znaczy że należy odrzucić hipotezę zerową - w konsekwencji przyjąć hipotezę badawczą. Jeśli wynik nie wpada do obszaru odrzuceń, to brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej - w konsekwencji odrzucamy hipotezę badawczą

Wynik istotny statystycznie to wynik, który pozwala odrzucić hipotezę zerową

TEST

• wzór (różne dla tego samego testu)

• tablice (możemy z nich odczytać wartości tych skrajnych punktów) - przy ustalonym poziomie istotności tablica pozwala nam zdefiniować obszar krytyczny

WARTOŚĆ KRYTYCZNA - wartość, która dzieli rozkład z próby na dwie części : na obszar krytyczny i obszar, w którym nie odrzucamy hipotezy zerowej

Wartość krytyczna

STOPNIE SWOBODY - liczbę wartości, które mają swobodę dowolnego zmieniania się, nazywamy stopniami swobody

• uzależnione od liczebności

• mówią jakie elementy mogą się swobodnie zmieniać

Przykład :

Mamy 3 liczby : 7, 8, 15

Średnia = 10

Odchylenia od średniej : odpowiednio : -3, -2, 5

Suma odchyleń od średniej równa się zawsze 0 -3 + (-2) + 5 = 0

Jeśli więc znamy dwa odchylenia, to trzecie jest już ustalone (nie może się zmienić)

Test z - oparty na rozkładzie normalnym

Test t - studenta - skale ilościowe

Test λ² ( “chi kwadrat”) - skala nominalna

Od czego zależy wybór testu?

• od założeń dotyczących badania

• od tego, ile mamy grup porównawczych (albo dwie grupy albo więcej)

• od tego, jaka jest skala pomiarowa ( test z i t-studenta są dla skali ilościowej - ilorazowa i interwałowa - natomiast test λ² dla skali nominalnej)

13.05.2008

Dokładniej, wybór testu zależy od :

• typu, rodzaju zmiennych

• od operacjonalizacji tych zmiennych (np. zmienna `wiek' - jak ją zoperacjonalizujemy? Można np. podzielić na tych, którzy mają 20 lat i którzy nie mają, można uszeregować wg wieku itp.)

• konkretniej : od skali pomiaru, od ilości grup porównawczych, od zaufania do tego pomiaru, od typu pytania badawczego

Algorytm wyboru testu istotności - pewien sposób postępowania

1. algorytm wyboru testu istotności różnic - dane zależne

• jeśli mamy dane zależne (próby zależne, grupy zależne) to na tej samej grupie obiektów dokonujemy pomiaru przynajmniej dwukrotnie w międzyczasie stosując jakiś bodziec

algorytm wyboru testu istotności różnic - dane niezależne

• gdy mamy dane (próby, grupy) niezależne, to badamy przynajmniej 2 grupy w różnych warunkach

Przykład :

Gdy mamy dwie różne grupy, w których w różny sposób prowadzono zajęcia i chcemy sprawdzić czy ten sposób prowadzenia zajęć ma wpływ na wyniki z kolokwium - to wtedy mamy do czynienia z danymi niezależnymi (bo badamy dwie grupy w różnych warunkach - w każdej z grup w inny sposób prowadzono zajęcia)

A gdy na jednej próbie (grupie) dwa razy przeprowadzamy badanie i działa jakiś bodziec - np. za pierwszym razem pytamy badanych o preferencje wyborcze, notujemy wyniki, a za drugim razem puszczamy np. film o jakimś polityku i znów pytamy ich o preferencje wyborcze - wtedy dane zależne

Należy więc ustalić, czy mamy do czynienia z danymi niezależnymi czy zależnymi

ALGORYTM WYBORU TESTU ISTOTNOŚCI RÓŻNIC :

Ile jest grup porównawczych?







2 grupy p (p>2) grup




Jaka jest skala pomiarowa zmiennej zależnej Y?






ilorazowa porządkowa nominalna ilorazowa porządkowa nominalna







i interwałowa i interwałowa

czy rozkład test Manna - test dokładnego czy rozkład test Kruskala - test λ²



zmiennej Whitneya prawdopodobieństwa zmiennej zależnej Wallisa

zależnej jest i Walda - FISHERA jest normalny test median




normalny Wolfowitza






TAK NIE - (jak w porządkowej) TAK NIE - (jak w porządkowej)





Jaka jest wielkość grup Czy wariancje są homogeniczne?



porównawczych?






Duża Mała TAK NIE - (jak w porządkowej)

nj > 3 nj < 3





test z Czy wariancje są test F analizy wariancji

homogeniczne? One Way ANOVA







TAK NIE

Test t - studenta test Cochrana i Coxa -

Welcha, Kołmogorowa - Smirnowa

28.05.2008

KORELACJA

• ważny problem w nauce (czy jedno jest uzależnione od drugiego)

• mechaniczne obliczenia, ale ważne jest żeby potrafić uargumentować, że taki związek istnieje, a nie jest zbiegiem okoliczności

• pojęcia towarzyszące zagadnieniom :

• korelacja - związek między zmiennymi (współzmienność, współwystępowanie). Może być między 2 zmiennymi (analiza 2 - zmiennowa) i więcej niż 2 zmienne (wielozmiennowa)

• predykcja - przewidywanie - przewidujemy jedną zmienną na podstawie drugiej zmiennej

1. Ocena korelacji na podstawie wykresu, tabelki, diagramy, interpretacja zebranych danych - nieostra kategoria (widać albo nie widać korelacji)

2. Obliczanie współczynnika korelacji - miara związku między zmiennymi - obliczamy za pomocą wzoru i sprawdzamy jak możemy to interpretować (wybór współczynnika korelacji - jaki współczynnik powinniśmy zastosować)

Konsekwentnie powinniśmy stosować :

• nazwę współczynnika

• symbol współczynnika

• wzór

• informacja, jakie może przybierać wartości (od 0 do 1 lub od - 1 do 1 wartości jakie przybiera dany współczynnik)

a) < 0, 1> b) < - 1, 1 >





słaby czy silny siła, kierunek

a) siła związku 0 1





brak związku związek idealny

b) siła, kierunek - 1 0 1






związek idealny brak związek idealny

ujemny związku dodatni

(odwrotnie proporcjonalny) (wprost proporcjonalny)

3. Badanie istotności współczynnika korelacji - w jaki sposób badamy, czyli za pomocą jakiego testu i jaki wzór oraz zdefiniowanie hipotezy zerowej (czyli że H₀ = wartość korelacji = 0 )

H₀ : r = 0 r - dowolny współczynnik

Σ - współczynnik korelacji

Korelacje u Darwina po raz pierwszy w nowożytności


Darwin Galton Karl Pearson

Znaczący układ w badaniu związków - za pomocą

korelacji współczynników

• zmienne zależne i niezależne - co jest przyczyną a co skutkiem? Matematycznie nie ma to znaczenia, ale w ramach dyscypliny trzeba się zastanowić co wpływa na co

• zmienna niezależna - ta, której wpływ chcemy badać

• zmienna zależna - ta, którą badamy, której wartość zależy od zmiennej niezależnej

Korelacja cząstkowa - korelacja między zmiennymi po wyeliminowaniu jakiejś innej zmiennej lub zmiennych

Badanie korelacyjne - ma nam pokazać związek między zmiennymi

Co decyduje o wyborze interpretacji korelacji?

• Ile jest zmiennych

• Jakiego typu są to zmienne - na jakiej skali są zmierzone? - warunek, że zmienne muszą być analizowane w tej samej skali, jeśli są to zmienne wyrażone w 2 różnych skalach, to zmienną wyższego rzędu „obniżamy” do tej drugiej zmiennej (rekodowanie)

Np.

Klasa społ.	Przynależność religijna			ogółem
	katolicy	Żydzi	Protestanci
wyższa	0	0	8	8
średnia	0	8	0	8
niższa	8	0	0	8
ogółem	8	8	8	24




Istnieje idealna współzależność

W kolumnach najczęściej zamieszcza się zmienną niezależną, a w wierszach zmienną zależną

Przykład 2.

Klasa społ.	Przynależność religijna			Ogółem
	katolicy	żydzi	protestanci
Wyższa	0	2	6	8
Średnia	1	6	1	8
Niższa	7	0	1	8
ogółem	8	8	8	24




Istnieje umiarkowana współzależność

Przykład 3.

Klasa społ.	Przynależność religijna			ogółem
	katolicy	żydzi	protestanci
Wyższa	2	3	3	8
Średnia	3	2	3	8
Niższa	3	3	2	8
Ogółem	8	8	8	24







Współzależność prawie nie istnieje











*zmienne ilościowe - diagram korelacyjny (interpretacja graficzna)

zmienna Y

zmienna x



































Dodatni silny























Ujemny silny

---