Wyklad12(1), Psychologia, biologia, Matematyka


Opracowanie: Małgorzata Strycharz

WYKŁAD 12

TWIERDZENIE 12.1 (RÓŻNICZKA ZŁOŻENIA DWÓCH ODWZOROWAŃ)

Z: 0x01 graphic
- przestrzenie Banacha

0x01 graphic
- suriekcja

0x01 graphic
0x01 graphic
- odwzorowanie

x0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
różniczkowalna w x0x01 graphic

0x01 graphic
różniczkowalna w u0x01 graphic
0x01 graphic
x0x01 graphic
)

T: 0x01 graphic
różniczkowalna w x0x01 graphic
i zachodzi wzór:

0x01 graphic
(0x01 graphic
|0x01 graphic
)0x01 graphic

ozn. 0x01 graphic
- złożenie dwóch odwzorowań

(bez dowodu)

Rozpatrujemy następujące odwzorowanie

Niech:

0x01 graphic
(wektorowi h przyporządkowuje jego i-tą współrzędną, odwzorowanie liniowe, (forma liniowa))

Korzystając z wniosku 11.2 otrzymujemy:

Są spełnione założenia wniosku 11.2, zatem:

0x01 graphic

(kombinacja liniowa odwzorowań)

0x01 graphic

Wartość kombinacji liniowej odwzorowań na wektorze h

0x01 graphic

Postać kanoniczna różniczki - różniczka zupełna

0x01 graphic
- i-ta projekcja

WNIOSEK 12.1 (POSTAĆ MACIERZOWA RÓŻNICZKI)

Z: 0x01 graphic
- obszar

Ustalamy 0x01 graphic

0x01 graphic
różniczkowalana w 0x01 graphic

T:

0x01 graphic

Dowód:

Z wniosku 11.2 wynika, że:

0x01 graphic
= 0x01 graphic

=0x01 graphic

DEFINICJA 12.1 (MACIERZ JACOBIEGO)

0x01 graphic

Macierz:

0x01 graphic
- macierz Jacobiego odwzorowania f

UWAGA!

0x01 graphic

0x01 graphic
jest macierzą takiego odwzorowania i 0x01 graphic

lub używając postaci kanonicznej

0x01 graphic
lub 0x01 graphic

DEFINICJA 12.2 (JACOBIAN ODWZOROWANIA)

0x01 graphic
obszar

J - (jacobian)

J0x01 graphic
- wyznacznik macierzy Jacobiego

WNIOSEK 12.1 (MACIERZ JACOBIEGO ZŁOŻENIA DWÓCH ODWZOROWAŃ)

Z: 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
różniczkowalna w 0x01 graphic

0x01 graphic
różniczkowalna w 0x01 graphic

T: 0x01 graphic

Dowód:

Korzystając z twierdzenia 12.1 oraz faktu, że macierz złożenia

2-ch odwzorowań jest równa iloczynowi macierzy tych odwzorowań,

otrzymujemy:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest macierzą Jacobiego złożenia

Dwa odwzorowania są sobie równe, gdy macierze tych odwzorowań

są takie same, zatem 0x01 graphic

PRZYKŁAD 12.1

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
(*)

Uzasadnienie:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Po porównaniu odpowiednich wartości otrzymujemy równania (*).

DEFINICJA 12.3 (POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW)

0x01 graphic
przestrzeń Banacha

0x01 graphic

0x01 graphic
-określona w pewnym 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- określona w 0x01 graphic

0x01 graphic

UWAGA!

Na ogół: 0x01 graphic

DEFINICJA 12.4 (RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZĘDÓW)

0x01 graphic

0x01 graphic
- przestrzenie Banacha, 0x01 graphic
- obszar

0x01 graphic

Niech: 0x01 graphic
- określona w 0x01 graphic

Dygresja:

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest przestrzenią odwzorowań liniowych i ciągłych 0x01 graphic
w 0x01 graphic

0x01 graphic

W przestrzeni odwzorowań liniowych i ciągłych określa się normę

i przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha. Można więc mówić

o różniczce odwzorowań X w Y.

Koniec dygresji.

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest przestrzenią Banacha

Jeżeli 0x01 graphic
jest różniczkowalna w0x01 graphic
, to

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
określone w 0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
różniczkowalne w 0x01 graphic
to

0x01 graphic

PRZYKŁAD 12.2

0x01 graphic

0x01 graphic
różniczkowalna w 0x01 graphic

0x01 graphic

Załóżmy, że

0x01 graphic
różniczkowalna w 0x01 graphic
, (0x01 graphic

0x01 graphic
- postać drugiej różniczki

TWIERDZENIE 12.2

I)

Z: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
- przestrzeń Banacha

0x01 graphic
- dwukrotnie różniczkowalna w 0x01 graphic
(0x01 graphic

T: 0x01 graphic

Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna, to pochodne mieszane są równe.

II)

Jeżeli 0x01 graphic
jest m - krotnie różniczkowalna w 0x01 graphic

0x01 graphic
=0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

(to pochodne mieszane m - tego rzędu są sobie równe)

PRZYKŁAD 12.3

Niech:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Operator różniczkowy na 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
to również

0x01 graphic

PRZYKŁAD 12.4

0x01 graphic

Obliczyć 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie (*) jest formą kwadratową

(*) =0x01 graphic

( Nasza forma kwadratowa dla dowolnych wartości przyjmuje wartości dodatnie)

0x01 graphic
- druga różniczka jest formą kwadratową określoną dodatnio.

Dygresja:

0x01 graphic

Takie odwzorowanie 0x01 graphic
nazywamy formą kwadratową

0x01 graphic

przy czym 0x01 graphic
; macierz formy kwadratowej

Macierz symetryczna względem głównej przekątnej.

Dla macierzy M utworzymy minory główne.

Niech:

0x01 graphic
k=1,2,3,...,n

TWIERDZENIE 12.3 (TWIERDZENIE SYLWESTERA JACOBIEGO O OKREŚLONOŚCI FORMY)

Jeżeli:

0x01 graphic

0x01 graphic
- określona dodatnio

( tzn. 0x01 graphic
)

( 0x01 graphic
- półokreślona dodatnio)

0x01 graphic

0x01 graphic
- określona ujemnie

( tzn. 0x01 graphic

( 0x01 graphic
- półokreślona ujemnie)

0x01 graphic

Jeżeli nie zachodzi żadna z prawidłowości 0x01 graphic
to forma 0x01 graphic
jest nieokreślona.

( 0x01 graphic

Koniec dygresji.

PRZYKŁAD 12.4 (c.d.)

0x01 graphic

Forma jest określona dodatnio.



Wyszukiwarka