Opracowanie: Małgorzata Strycharz
WYKŁAD 12
TWIERDZENIE 12.1 (RÓŻNICZKA ZŁOŻENIA DWÓCH ODWZOROWAŃ)
Z:
- przestrzenie Banacha
- suriekcja
- odwzorowanie
x
różniczkowalna w x
różniczkowalna w u
x
)
T:
różniczkowalna w x
i zachodzi wzór:
(
|
)
ozn.
- złożenie dwóch odwzorowań
(bez dowodu)
Rozpatrujemy następujące odwzorowanie
Niech:
(wektorowi h przyporządkowuje jego i-tą współrzędną, odwzorowanie liniowe, (forma liniowa))
Korzystając z wniosku 11.2 otrzymujemy:
Są spełnione założenia wniosku 11.2, zatem:
(kombinacja liniowa odwzorowań)
Wartość kombinacji liniowej odwzorowań na wektorze h
Postać kanoniczna różniczki - różniczka zupełna
- i-ta projekcja
WNIOSEK 12.1 (POSTAĆ MACIERZOWA RÓŻNICZKI)
Z:
- obszar
Ustalamy
różniczkowalana w
T:
Dowód:
Z wniosku 11.2 wynika, że:
=
=
DEFINICJA 12.1 (MACIERZ JACOBIEGO)
Macierz:
- macierz Jacobiego odwzorowania f
UWAGA!
jest macierzą takiego odwzorowania i
lub używając postaci kanonicznej
lub
DEFINICJA 12.2 (JACOBIAN ODWZOROWANIA)
obszar
J - (jacobian)
J
- wyznacznik macierzy Jacobiego
WNIOSEK 12.1 (MACIERZ JACOBIEGO ZŁOŻENIA DWÓCH ODWZOROWAŃ)
Z:
różniczkowalna w
różniczkowalna w
T:
Dowód:
Korzystając z twierdzenia 12.1 oraz faktu, że macierz złożenia
2-ch odwzorowań jest równa iloczynowi macierzy tych odwzorowań,
otrzymujemy:
gdzie
jest macierzą Jacobiego złożenia
Dwa odwzorowania są sobie równe, gdy macierze tych odwzorowań
są takie same, zatem
PRZYKŁAD 12.1
(*)
Uzasadnienie:
Po porównaniu odpowiednich wartości otrzymujemy równania (*).
DEFINICJA 12.3 (POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW)
przestrzeń Banacha
-określona w pewnym
- określona w
UWAGA!
Na ogół:
DEFINICJA 12.4 (RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZĘDÓW)
- przestrzenie Banacha,
- obszar
Niech:
- określona w
Dygresja:
gdzie
jest przestrzenią odwzorowań liniowych i ciągłych
w
W przestrzeni odwzorowań liniowych i ciągłych określa się normę
i przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha. Można więc mówić
o różniczce odwzorowań X w Y.
Koniec dygresji.
gdzie
jest przestrzenią Banacha
Jeżeli
jest różniczkowalna w
, to
określone w
Jeżeli
różniczkowalne w
to
PRZYKŁAD 12.2
różniczkowalna w
Załóżmy, że
różniczkowalna w
, (
- postać drugiej różniczki
TWIERDZENIE 12.2
I)
Z:
,
- przestrzeń Banacha
- dwukrotnie różniczkowalna w
(
T:
Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna, to pochodne mieszane są równe.
II)
Jeżeli
jest m - krotnie różniczkowalna w
=
, gdzie
(to pochodne mieszane m - tego rzędu są sobie równe)
PRZYKŁAD 12.3
Niech:
Operator różniczkowy na
Jeżeli
to również
PRZYKŁAD 12.4
Obliczyć
gdzie (*) jest formą kwadratową
(*) =
( Nasza forma kwadratowa dla dowolnych wartości przyjmuje wartości dodatnie)
- druga różniczka jest formą kwadratową określoną dodatnio.
Dygresja:
Takie odwzorowanie
nazywamy formą kwadratową
przy czym
; macierz formy kwadratowej
Macierz symetryczna względem głównej przekątnej.
Dla macierzy M utworzymy minory główne.
Niech:
k=1,2,3,...,n
TWIERDZENIE 12.3 (TWIERDZENIE SYLWESTERA JACOBIEGO O OKREŚLONOŚCI FORMY)
Jeżeli:
- określona dodatnio
( tzn.
)
(
- półokreślona dodatnio)
- określona ujemnie
( tzn.
(
- półokreślona ujemnie)
Jeżeli nie zachodzi żadna z prawidłowości
to forma
jest nieokreślona.
(
Koniec dygresji.
PRZYKŁAD 12.4 (c.d.)
Forma jest określona dodatnio.