Opracowanie: Małgorzata Strycharz

WYKŁAD 12

TWIERDZENIE 12.1 (RÓŻNICZKA ZŁOŻENIA DWÓCH ODWZOROWAŃ)

Z:
- przestrzenie Banacha

- suriekcja

- odwzorowanie

x

różniczkowalna w x

różniczkowalna w u

x
)

T:
różniczkowalna w x
i zachodzi wzór:

(
|
)

ozn.
- złożenie dwóch odwzorowań

(bez dowodu)

Rozpatrujemy następujące odwzorowanie

Niech:

(wektorowi h przyporządkowuje jego i-tą współrzędną, odwzorowanie liniowe, (forma liniowa))

Korzystając z wniosku 11.2 otrzymujemy:

Są spełnione założenia wniosku 11.2, zatem:

(kombinacja liniowa odwzorowań)

Wartość kombinacji liniowej odwzorowań na wektorze h

Postać kanoniczna różniczki - różniczka zupełna

- i-ta projekcja

WNIOSEK 12.1 (POSTAĆ MACIERZOWA RÓŻNICZKI)

Z:
- obszar

Ustalamy

różniczkowalana w

T:

Dowód:

Z wniosku 11.2 wynika, że:

=

=

DEFINICJA 12.1 (MACIERZ JACOBIEGO)

Macierz:

- macierz Jacobiego odwzorowania f

UWAGA!

jest macierzą takiego odwzorowania i

lub używając postaci kanonicznej

lub

DEFINICJA 12.2 (JACOBIAN ODWZOROWANIA)

obszar

J - (jacobian)

J
- wyznacznik macierzy Jacobiego

WNIOSEK 12.1 (MACIERZ JACOBIEGO ZŁOŻENIA DWÓCH ODWZOROWAŃ)

Z:

różniczkowalna w

różniczkowalna w

T:

Dowód:

Korzystając z twierdzenia 12.1 oraz faktu, że macierz złożenia

2-ch odwzorowań jest równa iloczynowi macierzy tych odwzorowań,

otrzymujemy:

gdzie
jest macierzą Jacobiego złożenia

Dwa odwzorowania są sobie równe, gdy macierze tych odwzorowań

są takie same, zatem

PRZYKŁAD 12.1

(*)

Uzasadnienie:

Po porównaniu odpowiednich wartości otrzymujemy równania (*).

DEFINICJA 12.3 (POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW)

przestrzeń Banacha

-określona w pewnym

- określona w

UWAGA!

Na ogół:

DEFINICJA 12.4 (RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZĘDÓW)

- przestrzenie Banacha,
- obszar

Niech:
- określona w

Dygresja:

gdzie
jest przestrzenią odwzorowań liniowych i ciągłych
w

W przestrzeni odwzorowań liniowych i ciągłych określa się normę

i przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha. Można więc mówić

o różniczce odwzorowań X w Y.

Koniec dygresji.

gdzie
jest przestrzenią Banacha

Jeżeli
jest różniczkowalna w
, to

określone w

Jeżeli
różniczkowalne w
to

PRZYKŁAD 12.2

różniczkowalna w

Załóżmy, że

różniczkowalna w
, (

- postać drugiej różniczki

TWIERDZENIE 12.2

I)

Z:
,
- przestrzeń Banacha

- dwukrotnie różniczkowalna w
(

T:

Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna, to pochodne mieszane są równe.

II)

Jeżeli
jest m - krotnie różniczkowalna w

=
, gdzie

(to pochodne mieszane m - tego rzędu są sobie równe)

PRZYKŁAD 12.3

Niech:

Operator różniczkowy na

Jeżeli
to również

PRZYKŁAD 12.4

Obliczyć

gdzie (*) jest formą kwadratową

(*) =

( Nasza forma kwadratowa dla dowolnych wartości przyjmuje wartości dodatnie)

- druga różniczka jest formą kwadratową określoną dodatnio.

Dygresja:

Takie odwzorowanie
nazywamy formą kwadratową

przy czym
; macierz formy kwadratowej

Macierz symetryczna względem głównej przekątnej.

Dla macierzy M utworzymy minory główne.

Niech:

k=1,2,3,...,n

TWIERDZENIE 12.3 (TWIERDZENIE SYLWESTERA JACOBIEGO O OKREŚLONOŚCI FORMY)

Jeżeli:

- określona dodatnio

( tzn.
)

(
- półokreślona dodatnio)

- określona ujemnie

( tzn.

(
- półokreślona ujemnie)

Jeżeli nie zachodzi żadna z prawidłowości
to forma
jest nieokreślona.

(

Koniec dygresji.

PRZYKŁAD 12.4 (c.d.)

Forma jest określona dodatnio.