Dualizm korpuskularno-falowy; postulat de Broglie'a

       Ze względu na niedostatki modelu Bohra konieczne było zrewidowanie podstaw teorii kwantowej i wyobrażeń o naturze cząstek. Powstało pytanie, na ile wyczerpujące jest przedstawienie elektronu w postaci małej mechanicznej cząstki opisywanej za pomocą określonych współrzędnych i określonej prędkości.

       W roku 1924 Louis de Broglie wysunął hipotezę, że dualizm korpuskularno-falowy cechuje nie tylko zjawiska optyczne, ale ma znaczenie uniwersalne. "w optyce - pisał on - w przeciągu stulecia w zbyt dużym stopniu zaniedbywano korpuskularny sposób rozumowania w porównaniu z falowym; czy nie popełniono odwrotnego błędu przy rozwijaniu wiedzy o materii?". Zakładając, że materialne cząstki oprócz własności korpuskularnych maja także i falowe, de Broglie przeniósł na przypadek materialnych cząstek obowiązujące w przypadku światła reguły przechodzenia od obrazu falowego do korpuskularnego. Foton ma energię

i pęd.

       Według hipotezy de Broglie'a ruch elektronu lub jakiejkolwiek innej cząstki związany jest z procesem falowym o długości fali

i częstości.

Hipotezę de Broglie'a została potwierdzona doświadczalnie w 1924 r. przez C. Davissona i L. Germera.

Idee de Broglie'a rozwijał dalej Erwin Schrodinger; w 1926 r. sformułował on swoje słynne równanie. Ruchowi cząstek Schrödinger przypisał zespoloną funkcję współrzędnych i czasu, którą nazwał funkcją falową.

Funkcja falowa opisuje stan cząstki. Postać tej funkcji otrzymujemy przez rozwiązanie równania Schrödingera, które wygląda następująco:

       Równanie Schrödingera jest podstawowym równaniem nierelatywistycznym mechaniki kwantowej. Nie może być ono wyprowadzone z innych zależności. Należy je traktować jak podstawowe, wyjściowe założenie, którego słuszność potwierdzana jest przez to, że wszystkie wynikające z niego wnioski bardzo dokładnie zgadzają się z faktami doświadczalnymi.
       Prawidłową interpretację funkcji falowej podał w 1926 r. M. Born. Według Borna kwadrat modułu funkcji falowej określa prawdopodobieństwo dP tego, że cząstka znajdzie się wewnątrz obszaru o objętości dV

(A - współczynnik proporcjonalności).
      

Ponieważ prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajdzie się w dowolnym punkcie przestrzeni jest równe jedności, całka z gęstości prawdopodobieństwa po całej przestrzeni powinna być równa jedności

       Warunek ten nosi nazwę warunku normalizacji.
       Dla funkcji unormowanej wyrażenie na prawdopodobieństwo przyjmuje postać

Z warunku tego widać, że kwadrat modułu funkcji falowej jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia się cząstki w odpowiednim punkcie przestrzeni.
       Jeżeli pole siłowe, w którym porusza się cząstka, jest stacjonarne, to funkcja U nie zależy w sposób jawny od czasu i ma sens energii potencjalnej. W tym przypadku rozwiąanie równania Schrödingera rozkłada się na dwa czynniki, z których jeden zależy tylko od współrzędnych, a drugi - tylko od czasu

Odpowiednio więc

Tak więc gęstość prawdopodobieństwa nie zależy od czasu i stany opisywane takimi funkcjami falowymi nazywa się stanami stacjonarnymi.
       Z takiej interpretacji funkcji falowej wynika, że mechanika kwantowa ma charakter statyczny. Nie pozwala ona wyznaczyć ani położenia cząstki w przestrzeni, ani toru po jakim się porusza. Za pomocą funkcji falowej można jedynie przewidzieć jakie jest pradopodobieństwo znalezienia się cząstki w różnych punktach przestrzeni. Mogłoby wydawać się, że mechanika kwantowa daje znazcnie mniej dokładny i wyczerpujący opis ruchu cząstki niż mechanika klasyczna, która "dokładnie" wyznacza położenie i prędkość cząstki w każdym momencie czasu. W rzeczywistości znacznie głębiej odsłania rzeczywiste zachowanie się cząstek. Nie określa ona jedynie tego, czego poprostu nie ma. W zastosowaniu do cząstek w ogóle nie mają sensu pojęcia określonego położenia i trajektorii.

       W trakcie rozwiązywania równania Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru stwierdzono, że równanie to oraz nałożone na funkcje falowe warunki jednoznaczności, ciągłości i skończoności spełnia zbiór funkcji falowych zależnych od trzech liczb kwantowych: n,l i m. Po rozdzieleniu zmiennych funkcje ta można przedstawić w postaci

       Liczby kwantowe n,l,m mogą przyjmować wartości całkowite:

• główna liczba kwantowa                 n=1,2,3,...

• orbitalna liczba kwantowa               l=0,1,2,...,n-1

• magnetyczna liczba kwantowa         m=0,±1,±2,±3,...,±l

       Energia E_n elektronu w atomie określona jest tylko przez jedna liczbę kwantową n. Aby jednak scharakteryzować atom wodoru, należy podać wszystkie trzy liczby kwantowe.

Dyfrakcja promieniowania na kryształach, wzory Braggów-Wulfa

Na rysunku 1 pokazano zależność masowego współczynnika absorpcji od energii promieniowania elektromagnetycznego dla filtrów wykonanych z niklu

Rys. 1 Zależność masowego współczynnika absorpcji od energii promieniowania elektromagnetycz­nego

i cynku oraz anody lampy rentgenowskiej wykonanej z miedzi. Z rysunku wi-daća że dla anody zbudowanej z miedzi należy zastosować filtr wykonany z niklu. Promieniowanie rentgenowskie ulega ugięciu na sieci kryształu w sposób analogiczny do ugięcia promieniowania świetlnego na siatce dyfrakcyjnej. Na ry­sunku 2 pokazano schemat odbicia i interferencji promieniowania rentgenowskiego

Rys. 2 Schemat dyfrakcji pro­mieni rentgenowskich na sieci przestrzennej kryształu

na sieci przestrzennej kryształu. Niech S₁, S₂, S₃ stanowią przekroje płasz­czyzn sieciowych, odległych od siebie o jednakową odległość d, na które pada wiązka promieniowania rentgenowskiego P₁, P₂, P₃ pod kątem α. Maksymalny efekt interferencji występuje wówczas, gdy różnica faz fal odbijanych od poszcze­gólnych płaszczyzn sieciowych i nakładających się na siebie wynosi 2κπ (gdzie κ = 1, 2, ...). W takim przypadku różnica dróg optycznych promieni odbitych będzie równa wielokrotności długości fali nλ (gdzie n = l, 2,....).

Rozważmy promienie P₁, i P₂, P (rys. 2) drgające w tej samej fazie. Gdy jeden z nich przebiegnie drogę P₁, A₁, B to drugi w tym samym czasie prze­biegnie drogę P₂, A₂, B. Poprowadźmy prostą A₁ D, prostopadłą do płaszczyzny sieciowej S₃, a następnie połączmy punkt A₂, z punktem D. Wówczas z trójką­ta A₁ A₂ D wynika, że A₁ A_{2 =} A₂D. Poprowadźmy następnie prostą A₁C prostopadle do P₂ D, Wówczas P₂ C— P₂ A₁ = DC równa się różnicy dróg promieni P₁ i P₂. Z trójkąta A₁ DC wynika, że DC = A₁ D^.cosα = 2d cosα. Długość odcinka DC zależy od odległości płaszczyzn sieciowych d i od wielkości kąta padania α.

Największe wzmocnienie promieni odbitych w kierunku A₁ B nastąpi wów­czas, gdy długość odcinka DC będzie równa wielokrotności długości fali padają­cej, tzn. gdy \

nλ -= 2d cosα (1)

Ze wzoru (1) wynika, że promieniowanie rentgenowskie o długości fali λ (promieniowanie monochromatyczne) będzie odbijać się od kryształu tylko przy odpowiednim kącie padania na powierzchnię płaszczyzn sieciowych, miano­wicie dla

nλ = arc cos (2)

Wzór (1) jest nazywany wzorem Braggów,

Przy zastosowaniu ciągłego widma promieniowania rentgenowskiego można na jego podstawie określić stałą sieci krystalicznej d.

nλ

2d

---