Projekt dodatkowy

1. Wstęp

W projekcie przeprowadzę analizę danych dotyczących intensywności zliczeń dokonanych przez miernik I(t). W reaktorze próbkę stopu dwóch metali poddano bombardowaniu neutronami wywołując reakcję w postaci promieniowania gamma. Ponieważ licznik nie odróżnia z jakiego składnika pochodzą zarejestrowane fotony, wyznaczę wartości I₁, I₂, T₁ oraz T₂ metodami analitycznymi.

Tabela 1: dane do projektu.

Nr.	T	I(t)
1	2	6,059
2	4	5,273
3	6	4,627
4	8	4,092
5	10	3,649
6	20	2,319
7	40	1,432
8	60	1,11
9	80	0,9
10	100	0,739

II. Obliczenia

1.Wyznaczanie I₁, I₂, T₁ oraz T₂.

Ponieważ jeden z metali ma dłuższy półokres rozpadu (przyjmuję) T_1, kilka ostatnich wyników dotyczy tylko tego metalu. Aby sprawdzić ile, na wykresie zależności t i lnI(t) wybieram, dla dużych t, punkty leżące na jednej prostej. Są to cztery ostatnie wartości (pokazane na wykresie 1).

Wykres 1

Dla tych czterech punktów metodą LS wyliczam a i b, czyli wspł. Prostej aproksymującej. Korzystam ze wzoru:

Σxy - x_śrΣy

a = , (1),

Σx² - x_śrΣx

oraz b = y_śr - ax_śr (2),

gdzie:

x_śr - wartość średnia z 4 wyników t,

y_śr - wartość średnia z 4 wyników I(t),

Tabela 2: przeliczenia potrzebne do wyznaczenia a i b.

nr	t	I(t)	ln(I(t))
	x		y	xy	x^2
1	40	1,432	0,3591	14,364	1600
2	60	1,11	0,1044	6,264	3600
3	80	0,9	-0,1054	-8,432	6400
4	100	0,739	-0,3025	-30,25	10000
suma=	280		0,0556	-18,054	21600

x_śr = Σx/n = 280/4 = 70,

y_śr = Σy/n = 0,0556/4 = 0,0139,

x_śrΣy = 70*0,0556 = 3,892,

x_śrΣx = 70*280 = 19600,

Σxy = -18,054,

Σx² = 21600,

-18,054 - 3,892

Więc a = = -0,01097,

21600 - 19600

b = 0,0139 + 0,01097*70 = 0,78201.

Mając dane a i b, mogę wyznaczyć I₁ oraz T₁ dla pierwiastka o dłuższym okresie półrozpady. Korzystam ze wzoru:

I(t) = I₁*exp(-t/T₁), (3),

ważnego tylko dla czterech ostatnich wyników. Logarytmuję stronami:

lnI(t) = lnI₁ - t/T₁,

gdzie: lnI(t) = y,

lnI₁ = b,

t = x,

-1/T₁ = a.

Mając wcześniej wyliczone wielkości a i b wyznaczam I₁ i T₁:

I₁ = exp(b) = exp(0,78201) = 2,18586,

T₁ = -1/a = -1/-0,01097 = 91,13278.

Wzór dla wszystkich I(t) wygląda następująco:

I(t)=I₁exp(-t/T₁) + I₂exp(-t/T₂) (4),

Dla każdego t mogę wyliczyć wyrażenie I₁exp(-t/T₁) i odjąć od całkowitego I(t), uzyskując w ten sposób I(t) tylko dla drugiego metalu.

Tabela 3: przeliczenia potrzebne do wyznaczenia I(t) dla

drugiego metalu.

t	I(t)	ln(I(t))	I1exp(-t/T1)=z	I(t)metal2=I(t)-z
2	6,059	1,8015	2,1384	3,9206
4	5,273	1,6626	2,092	3,181
6	4,627	1,5319	2,0466	2,5804
8	4,092	1,409	2,0022	2,0898
10	3,649	1,2945	1,9587	1,6903
20	2,319	0,8411	1,7551	0,5639
40	1,432	0,3591	1,4093	0,0227
60	1,11	0,1044	1,1316	-0,0216
80	0,9	-0,1054	0,9086	-0,0086
100	0,739	-0,3025	0,7296	0,0094

Ostatnia kolumna przedstawia wartość I(t) tylko dla metalu drugiego, czyli o krótszym półokresie rozpadu. Przedostatnia natomiast I(t) dla metalu pierwszego (T₂<T₁) I(t) dla metalu 1 i 2 przedstawiona została na wykresie 2.

Wykres 2

Wartości I(t) mniejsze od 0 dla t=60 i 80 spowodowane są prawdopodobnie użyciem funkcji aproksymującej wykres I(t) dla metalu 1 wyznaczonej tylko dla czterech punktów, co pociąga za sobą błędy.

Do wyznaczenia I₂ i T₂ posłużę się znów metodą LS. Mając I(t) dla metalu 2 postępuję analogicznie jak dla metalu 1.

Tabela 4: przeliczenia potrzebne do wyznaczenia I₂ i T_2.

nr	T=x	I(t)metal2=c	lnc=y	x*lny	x^2
1	2	3,9206	1,3662	2,7324	4
2	4	3,181	1,1572	4,6288	16
3	6	2,5804	0,9479	5,6874	36
4	8	2,0898	0,7371	5,8968	64
5	10	1,6903	0,5249	5,249	100
6	20	0,5639	-0,5729	-11,458	400
Σ=	50	14,026	4,1604	12,7364	620

xśr=	8,33333
yśr=	0,6934

12,7364 - 8,3333*4,1604

a = = -0,10787,

620 - 8,3333*50

b = 0,6934 + 0,10787*8,3333 = 1,592318.

więc:

I₂ = exp(b) = exp(1,592318) = 4,915129,

T₂ = -1/a = -1/-0,10787 = 9,270404.

I1=	2,18568
T1=	91,13278
I2=	4,915129
T2=	9,270404

Jak widać półokres rozpadu dla metalu 2 jest znacznie krótszy niż dla metalu 1, a początkowa intensywność zliczeń licznika promieniowania gamma ponad dwa razy większa.

2. Wyznaczenie abundancji.

Abundancję, czyli udział procentowy obu metali w próbie p₁, p₂ wyznaczam z zależności:

P₁/p₂ = I₁/I₂ (5),

P₁/p₂ = 2,18568/4,915129 = 0,23579.

Ponieważ p₂ = 100 - p₁ (w procentach) to:

P₁/(100 - p₁) = 0,235789,

Więc p₁ = 23,5789/1,235789 = 19,08 %,

a p₂ = 100 - p₁ = 80,92 %.

W próbce jest 4x więcej metalu drugiego.

III.Wykresy

Wykres 3

Wykres 3 przedstawia zależności między intensywnością zliczeń dla metalu pierwszego, drugiego oraz ich sumę czyli I(t) całkowitego a czasem t.

Wykres 4

Wykres 5 jest postacią zlinearyzowaną wykresu 4. Zaznaczone są proste regresji dla metalu pierwszego jak i drugiego.

---