Mat1egzamin, Inżynieria Środowiska - PW - IŚ, I semestr, Matematyka


Egzamin teoretyczny

Zadanie 1: Całkę0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 2: Granica 0x01 graphic
nie istnieje ponieważ … (wyjaśnić).

Zadanie 3: Iloczyn pierwiastków zespolonych w równaniu z3-1=0 wynosi … (ile?).

Zadanie 4: Aby istniały rozwiązania niezerowe układu jednorodnego AX=0 i A(nxn) ..... (uzasadnić).

Zadanie 5: Reguły H nie można stosować do obliczenia granicy 0x01 graphic
0x01 graphic
ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 6: Funkcja F(x,y)= x3 + y3 + 9xy nie posiada ekstemum w punkcie (0,0) ponieważ .... (uzasadnić).

Zadanie 7: Całkę 0x01 graphic
obliczamy …. (w jaki sposób?) i wynosi ona …. (ile?).

Zadanie 8: Z definicji e:= .... (ile?) i granica ta istnieje ponieważ .... (wyjaśnić).

Zadanie 9: Funkcja pierwotna funkcji 0x01 graphic
jest postaci … (jakiej?).

Zadanie 10: Pierwiastki równania zespolonego f(z)=z4+z2+z2+1=0 są postaci … (obliczyć). Zaznaczyc je na wykresie w dziedzinie zespolonej.

Zadanie 11: Granica 0x01 graphic
wynosi … (ile?) i obliczamy ją … (w jaki sposób?).

Zadanie 12: Funkcja 0x01 graphic
nie ma ekstremów ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 13: Pole obszaru pomiędzy wykresami funkcji y=0 i 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
wynosi … (uzasadnić).

Zadanie 14: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 15: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 16: Funkcja zadana wzorem 0x01 graphic
nie ma asymptoty pionowej ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 17: Warunkiem dostatecznym na to, żeby funkcja różniczkowalna w przedziale była rosnąca jest … (podać warunek). Wynika to z twierdzenia …. (jakiego?).

Zadanie 18: Całkę 0x01 graphic
obliczamy stosując twierdzenia … (jakie?). Wynik sprawdzamy następująco: … .

Zadanie 19: Bez wyliczeń stwierdzamy, że wyznacznik macierzy wynosi 0 jeśli … (podać 5 możliwości).

Zadanie 20: Dwie płaszczyzny A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0 nie przecinają się wzdłuż pewnej prostej wtedy i tylko wtedy gdy … (podać warunek równoważny na rząd macierzy utworzonej ze współczynników ich równań).

Zadanie 21: Liczba 0x01 graphic
jest jednym z pierwiastków stopnia trzeciego pewnej liczby zespolonej z. Pozostałe pierwiastki to: … (wyznaczyc i podać).

Zadanie 22: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 23: Funkcja dana wzorem f(x)=|ln x2| ma minimum globalne w punkcie x=1 ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 24: Kąt między prostą 0x01 graphic
i płaszczyzną z=0 wynosi …(ile?) ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 25: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 26: Punkt (0,0) jest punktem … (jakim?) dziedziny funkcji 0x01 graphic
i granica 0x01 graphic
nie istnieje bo … (uzasadnić).

Zadanie 27: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 28: Funkcja 0x01 graphic
osiąga ekstremum globalne w punkcie x=0 ponieważ na podstawie definicji … (uzasadnić).

Zadanie 29: Punkt (0,0) jest punktem skupienia Df funkcji 0x01 graphic
i granica 0x01 graphic
nie istnieje, bo … (uzasadnić).

Zadanie 30: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 31: Warunkiem dostatecznym na to, żeby funkcja różniczkowalna była malejąca w przedziale jest … (podać warunek). Wynika to z tw. … (jakiego?).

Zadanie 32: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 33: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 34: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?) a wynik sprawdzamy … (w jaki sposób?).

Zadanie 35: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i wynosi ona … (ile?).

Zadanie 36: Stosując twierdzenie … (jakie?) granica0x01 graphic
wynosi … (obliczyć).

Zadanie 37: Twierdzenia Rolle'a nie można stosować do funkcji 0x01 graphic
ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 38: Wyprowadzić wzór na odległośc między dwiema zadanymi prostymi równoległymi w przestrzeni.

Zadanie 39: Granica 0x01 graphic
nie istnieje ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 40: Przykładem funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej w pewnym przedziale jest funkcja zadana wzorem f(x)=…. (podać funkcję). Uzasadnij dlaczego.

Zadanie 41: Prosta w R3 przechodząca przez punkty P1, P2 przecina się pod kątem prostym z prostą zawierającą punkty Q1, Q2 jeśli … (uzasadnić).

Zadanie 42: Funkcja g(x)=(x2+1)-1, 0x01 graphic
osiąga maksimum globalne w punkcie x=0 ponieważ na podstawie definicji … (uzasadnić).

Zadanie 43: Całkę 0x01 graphic
obliczamy przez podstawienie … (jakie?) i ostatecznie otrzymamy …. (ile?). Wynik sprawdzamy … (w jaki sposób?).

Zadanie 44: Macierz odwrotna do macierzy 0x01 graphic
nie istnieje ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 45: Dwie płaszczyzny H1: x=y, H2:y+z=0 przecinają się wzdłuż prostej odległej od punktu (1,0,0) o … (obliczyć).

Zadanie 46: Całkę 0x01 graphic
obliczamy przez podstawienie … (jakie?). Ostatecznie otrzymamy … i wynik sprawdzamy … (w jaki sposób?).

Zadanie 47: Granica 0x01 graphic
ponieważ… (uzasadnić podając odpowiednie twierdzenie).

Zadanie 48: Funkcja określona wzorem f(x,y)=xexy nie ma ekstremów ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 49: Całkę 0x01 graphic
obliczamy przez podstawienie … (jakie?) a następnie całkujemy funkcję wymierną. Ostatecznie otrzymamy … .

Zadanie 50: Układ 4 równań liniowych z 3 niewiadomymi jest sprzeczny, gdy rząd macierzy uzupełnionej rozszerzonej jest … (jaki?) co oznacza, że wyznacznik macierzy jest … (jaki?).

Zadanie 51: Prosta 0x01 graphic
jest prostopadła do płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 wtedy i tylko wtedy, gdy … (podać warunek równoważny).

Zadanie 52: Granica 0x01 graphic
(ile?) ponieważ … (uzasadnić podając wykorzystane twierdzenie).

Zadanie 53: Całkę 0x01 graphic
obliczamy stosując twierdzenie … (jakie?).

Zadanie 54: Dlaczego nie można skorzystać z tw. H przy obliczaniu granicy 0x01 graphic
? Granica ta istnieje i wynosi … (ile?).

Zadanie 55: Funkcja odwrotna do f(x)=sinx, 0x01 graphic
nie istnieje ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 56: Równanie macierzowe AXA=A z zadaną macierzą niesobliwą A ma rozwiązanie X=… (obliczyć).

Zadanie 57: Funkcja 0x01 graphic
osiąga maksimum globalne w punkcie x=0 ponieważ … (uzasadnić na podstawie definicji).

Zadanie 58: Granica 0x01 graphic
wynosi … (ile?) ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 59: Dane są dwie macierze 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Które z działań A*B, AT*B, A*BT są niewykonalne i dlaczego oraz ile wynosi wynik pozostałych?

Zadanie 60: Udowodnić, że 0x01 graphic
.

Zadanie 61: Prosta 0x01 graphic
jest równoległa dp płaszczyzny OYZ wtedy i tylko wtedy, gdy … (podać warunek równoważny).

Zadanie 62: Na podstawie tw. … (jakiego?) granica 0x01 graphic
wynosi … (ile?).

Zadanie 63: Układ równań 0x01 graphic
ma …. (ile?) rozwiązań na podstawie tw. … (jakiego?) ponieważ …. .

Zadanie 64: Układ równań 0x01 graphic
ma …. (ile?) rozwiązań na podstawie tw. … (jakiego?) ponieważ …. .

Zadanie 65: Całkę 0x01 graphic
obliczamy … (w jaki sposób?) i ostatecznie otrzymamy … .

Zadanie 66: Wykres funkcji o wartościach f(x)=x2+sinx nie posiada punktów przegięcia, ponieważ … (uzasadnić).

Zadanie 67: Układ 4 równań liniowych z 3 niewiadomymi może mieć rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy uzupełnionej rozszerzonej spełnia nierówność … (jaką?) co oznacza, że wyznacznik macierzy wynosi … (ile?).

Zadanie 68: Prosta 0x01 graphic
należy do płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 0x01 graphic
(podać warunek równoważny).

Zadanie 69: Pierwiastki zespolone równania z3-8i=0 są wierzchołkami trójkąta. Podaj rysunek.

Zadanie 70: Jeśli Anxn jest macierzą nieosobliwą to równanie macierzowe AXA-1=A ma rozwiązanie A=…, ponieważ … .

Zadanie 71: Wzór Maclarina z drugą resztą Lagrange'a dla funkcji określonej wzorem f(x)=e-4x ma postać: … .

Zadanie 72: Funkcja 0x01 graphic
ma maksimum globalne w punkcie (0,0), ponieważ…. .

Zadanie 73: Pole zawarte między wykresami funkcji o wzorze y = arc ctg 2x i osią OX w przedziale <0; 0,5> wynosi …. .

Zadanie 74: Równanie 3 stopnia, które w dziedzinie zespolonej ma pierwiastki 2-2i, 2+2i, 2 jest postaci … .

Zadanie 75: Proste k: 0x01 graphic
i 0x01 graphic
pokrywają się, ponieważ … .

Zadanie 76: 0x01 graphic

Zadanie 77: Funkcja F(x,y)=yexy^2 nie ma ekstremów ponieważ … .

Zadanie 78: Na podstawie definicji det[aij]4x4 jest sumą … (ilu?) iloczynów elementów z każdego wiersza i kolumny z odpowiednim znakiem. Wśród nich jest iloczyn a23, a14, a42, a31 ze znakiem … (jakim?), ponieważ … .

Zadanie 79: Na mocy twierdzenia … funkcja rzeczywista … wielu zmiennych rzeczywistych, określona na zbiorze … osiąga ekstrema absolutne.

Zadanie 80: Pierwiastki równania z3+1=0 to z1 i z2. Wówczas sześcian ich ilorazu wynosi … .

Zadanie 81: 0x01 graphic

Zadanie 82: 0x01 graphic

Zadanie 83: Pierwiastek równania xex=2 zawiera się w przedziale <0,1>. Wykazać i wyjaśnic na jakiej podstawie.

Zadanie 84: Obliczyć iloraz pierwiastków w równaniu z2-4z+5=0. Zaznaczyć w układzie współrzędnych.

Zadanie 85: Dana jest płaszczyzna 2x-y+4z+5=0. Punkty należące do tej płaszczyzny i odległe od osi OZ o 2/3 są postaci … .

Egzamin zadaniowy

Zadanie 1: Obliczyc punkty przegięcia i asymptoty funkcji e^((1-x)/x) 0x01 graphic
.

Zadanie 2: Wyznaczyć zbiór wartosci funkcji okreslonej wzorem 0x01 graphic
.

Zadanie 3: Wyznaczyc zbiór wartości funkcji okreslonej wzorem 0x01 graphic
.

Zadanie 4: Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji 0x01 graphic
.

Zadanie 5: Podać pełne badanie funkcji okreslonej wzorem 0x01 graphic
i naszkicować jej wykres.

Zadanie 6: Wyznaczyć ekstrema, punkty przegięcia i asymptoty funkcji 0x01 graphic
.

Zadanie 7:Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji 0x01 graphic
.

Zadanie 8: Podać pełne badanie funkcji okreś 0x01 graphic
.

Zadanie 9: Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia funkcji 0x01 graphic

Zadanie 10: Podać pełne badanie funkcji funkcji 0x01 graphic
i naszkicowac jejwykres.

Zadanie 11: Wyznaczyć punkty przegięcia i asymptoty funkcji 0x01 graphic
.

Zadanie 12: Wyznaczyć punkty przegięcia i asymptoty funkcji 0x01 graphic
.

Zadanie 13: Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji 0x01 graphic
.

Zadanie 14: Zbadać przebieg funkcji zdefiniowanej jako 0x01 graphic
.

Zadanie 15: Zbadać wzajemne położenie płaszczyzn o równaniach:0x01 graphic
,0x01 graphic
w zależności od parametru 0x01 graphic
.

Zadanie 16: Dla jakich wartości parametru a prosta 0x01 graphic
jest równoległa do płaszczyzny H przechodzącej przez prostą 0x01 graphic
i punkt A=(3,1,0).

Zadanie 17: Zbadać wzajemne położenie prostych 0x01 graphic
i 0x01 graphic
w zależności od parametru 0x01 graphic
. Jeśli leżą w jednej płaszczyźnie to napisać równanie tej płaszczyzny.

Zadanie 18: Pokazać, że proste 0x01 graphic
, 0x01 graphic
przecinają się. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez ich punkt przecięcia i prostopadłej do płaszczyzny zawierającej te proste.

Zadanie 19: Zbadać wzajemne położenie trzech płaszczyzn H1:2x-y+3z-1, H2:x+2y-z+3, H3:x+7y-6z+10=0. Jeśli przecinają się wzdłuż prostej to obliczyć odległość punktu (0,0,0) od tej prostej.

Zadanie 20: Pokazać, że proste 0x01 graphic
, 0x01 graphic
przecinają się. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez ich punkt przecięcia i prostopadłej do płaszczyzny zawierającej te proste.

Zadanie 21: Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(-1,0,2), B(1,-2,5), C(3,0,-4). Znaleźć długość wysokości tego trójkąta z wierzchołka C oraz równanie prostej zawierającej tę wysokość.

Zadanie 22: Dany jest czworościan o wierzchołkach A(2,-1,3) B(1,-3,5) C(6,2,5) D(3,-2,-5). Znaleźć długość wysokości z wierzchołka D na podstawę ABC oraz równanie prostej zawierającej tę wysokośc.

8



Wyszukiwarka