Opracowanie: Aleksander Pohl

WYKŁAD 20

DEFINICJA 20.1

L² [a,b] - zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem

UWAGA 20.1

Funkcje różniące się na zbiorze miary zero będziemy utożsamiać.

UWAGA 20.2

(L²[a,b], +, R, *) - jest przestrzenią wektorową.

TWIERDZENIE 20.1

Odwzorowanie :

jest iloczynem skalarnym w L²[a,b].

Dowód:

A zatem takie odwzorowanie określa iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem.

WNIOSEK 20.1

- przestrzeń unitarna

- jest przestrzenią unormowaną, przy czym

przestrzeń metryczna, gdzie

UWAGA 20.3

Zbieżność w sensie metryki d nazywa się zbieżnością przeciętną z kwadratem.

DEFINICJA 20.2 (CIĄG ORTOGONALNY)

Niech

- ortogonalny

ortonormalny

DEFINICJA 20.3 (SZEREG ORTOGONALNY)

Niech
- ciąg ortogonalny

wówczas
- nazywamy szeregiem ortogonalnym

TWIERDZENIE 20.2 (WSPÓŁCZYNNIKI EULERA - FOURIERA)

Z:

szereg ortogonalny zbieżny jednostajnie do funkcji

T:

- współczynniki Eulera - Fouriera

Dowód:

- wszystkie poza k - tym zerują się

Dane :
- ciąg ortogonalny

Dla funkcji f:

- współczynniki Eulera - Fouriera względem ciągu
, wtedy

DEFINICJA 20.4

f - rozwijalna w szereg ortogonalny (uogólniony Fouriera) względem ciągu ortogonalnego

tzn.
jest zbieżny punktowo do f na [a,b]

TWIERDZENIE 20.3 (NIERÓWNOŚĆ BESSELA)

Z:

- ciąg ortogonalny

T:

Dowód:

Niech
- ciąg sum częściowych szeregu

Pokazaliśmy, że

TWIERDZENIE 20.4 (TOŻSAMOŚĆ PARSEVALA)

Z:

T:
- zbieżny przeciętnie z kwadratem do f

Dowód:

- bezpośredni wniosek z twierdzenia 20.3

- zbieżny przeciętnie z kwadratem do f

DEFINICJA 20.5 (CIĄG ZUPEŁNY)

Niech
- ortogonalny

- zupełny

WNIOSEK 20.2

Z:
- zupełny

T:
- jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do f na [a,b]

Niech L²[-l,l] - zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem w przedziale [-l,l]

Niech (1)

TWIERDZENIE 20.5

Ciąg
określony wzorem (1) jest ciągiem ortogonalnym

Dowód:

- ciąg ortogonalny

TWIERDZENIE 20.6 (ZUPEŁNOŚĆ CIĄGU (1))

Ciąg (1) jest zupełny (bez dowodu).

TWIERDZENIE 20.7 (O POSTACI SZEREGU TRYGONOMETRYCZNEGO FOURIERA)

Z:

T:

gdzie:

Dowód: