Opracowanie: Aleksander Pohl
WYKŁAD 20
DEFINICJA 20.1
L2 [a,b] - zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem
UWAGA 20.1
Funkcje różniące się na zbiorze miary zero będziemy utożsamiać.
UWAGA 20.2
(L2[a,b], +, R, *) - jest przestrzenią wektorową.
TWIERDZENIE 20.1
Odwzorowanie :
jest iloczynem skalarnym w L2[a,b].
Dowód:
A zatem takie odwzorowanie określa iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem.
WNIOSEK 20.1
- przestrzeń unitarna
- jest przestrzenią unormowaną, przy czym
przestrzeń metryczna, gdzie
UWAGA 20.3
Zbieżność w sensie metryki d nazywa się zbieżnością przeciętną z kwadratem.
DEFINICJA 20.2 (CIĄG ORTOGONALNY)
Niech 
- ortogonalny
ortonormalny
DEFINICJA 20.3 (SZEREG ORTOGONALNY)
Niech 
- ciąg ortogonalny
wówczas 
- nazywamy szeregiem ortogonalnym
TWIERDZENIE 20.2 (WSPÓŁCZYNNIKI EULERA - FOURIERA)
Z:
szereg ortogonalny zbieżny jednostajnie do funkcji
T:
- współczynniki Eulera - Fouriera
Dowód:
- wszystkie poza k - tym zerują się
Dane : 
- ciąg ortogonalny
Dla funkcji f:
- współczynniki Eulera - Fouriera względem ciągu 
, wtedy 
DEFINICJA 20.4
f - rozwijalna w szereg ortogonalny (uogólniony Fouriera) względem ciągu ortogonalnego 
tzn. 
jest zbieżny punktowo do f na [a,b]
TWIERDZENIE 20.3 (NIERÓWNOŚĆ BESSELA)
Z:
- ciąg ortogonalny
T:
Dowód:
Niech 
- ciąg sum częściowych szeregu
Pokazaliśmy, że
TWIERDZENIE 20.4 (TOŻSAMOŚĆ PARSEVALA)
Z: 
T: 
- zbieżny przeciętnie z kwadratem do f 
Dowód:
- bezpośredni wniosek z twierdzenia 20.3
- zbieżny przeciętnie z kwadratem do f
DEFINICJA 20.5 (CIĄG ZUPEŁNY)
Niech 
- ortogonalny
- zupełny
WNIOSEK 20.2
Z: 
- zupełny
T: 
- jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do f na [a,b]
Niech L2[-l,l] - zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem w przedziale [-l,l]
Niech (1)
TWIERDZENIE 20.5
Ciąg 
określony wzorem (1) jest ciągiem ortogonalnym
Dowód:
- ciąg ortogonalny
TWIERDZENIE 20.6 (ZUPEŁNOŚĆ CIĄGU (1))
Ciąg (1) jest zupełny (bez dowodu).
TWIERDZENIE 20.7 (O POSTACI SZEREGU TRYGONOMETRYCZNEGO FOURIERA)
Z: 
T: 
gdzie: 
Dowód:
Wyszukiwarka