Ć w i c z e n i e 5

BADANIE DRGAŃ UKŁADU DWÓCH SPRZĘŻONYCH WAHADEŁ

5.1. Opis teoretyczny

Aby rozpatrzyć zachowanie dwóch sprzężonych identycznych wahadeł należy przyswoić

podstawowe wiadomości dotyczące pojedynczego wahadła matematycznego oraz fizycznego,

co można znaleźć w ćwiczeniu Nr 4.

Ruch układu opiszemy współrzędnymi

położenia równowagi.

1 , 2 , czyli kątami wychylenia obu wahadeł od

a l

k

1

m 2

Rys.5.1. Dwa identyczne wahadła, gdzie masa m zawieszona na nieważkim pręcie o

długości l i sprzężone za pomocą sprężyny o stałej k w odległości a od miejsca zawieszenia.

Aby napisać równania ruchu skorzystamy z zasady najmniejszego działania zwanej często zasadą Hamiltona. Aby wyznaczyć funkcję Lagrange'a L=T-V określimy energię kinetyczną

T i potencjalną V układu.

Energia kinetyczna układu równa się sumie energii kinetycznych obu mas w ruchu po okręgu

o promieniu równym długości wahadeł ze zmienną w czasie prędkością kątową.

T  1 ml 2  d1 

  d2  

(5.1)

 

2  dt 



 dt

 

 

Energia potencjalna wynika ze zmiany położenia mas w polu grawitacyjnym oraz ze zmiany

rozciągnięcia sprężyny sprzęgającej o stałej sprężyny k.

V  mgl

( 2   2  ka (

  2

(5.2)

2 1 2

2 1 2

Z zasady najmniejszego działania otrzymujemy układ 2 równań różniczkowych:

d  ∂L  ∂L

    0

gdzie:

  dk ; dla k=1,2 (5.3)

dt  ∂ 

∂k

k dt

Stąd otrzymujemy układ równań różniczkowych tzw. równania ruchu:

d 1  ( 2   2 

  2   0

(5.4)

dt 2

11 12 1

12 2

d 2  ( 2   2 

  2 

 0 , (5.5)

dt 2

11 12 2

12 1

gdzie:

 2  g ;

 2 

ka2

11 l

12 ml 2

Przewidujemy całki szczególne układu równań w formie:

1 (t )  1 sin( t  δ1 )

2 (t )   2 sin( t  δ 2 )

(5.6)

(5.7)

Podstawiając przewidywane całki szczególne (5.6) i (5.7) do równań ruchu (5.4) i (5.5)

uzyskujemy układ równań dla amplitud :

( 2 2 2  2 0

11  12  

1  12  2 

(5.8)

2 ( 2 2

2  0

 12 1  11  12  

 2 

(5.9)

Warunkiem istnienia niezerowych rozwiązań układu równań (5.8) (5.9) jest, aby wyznacznik

charakterystyczny był równy zero.

 2   2

  2  2

11 12

  2

12

 2   2

 0

  2

(5.10)

12 11 12

Rozwijając uzyskuje się równanie kwadratowe typu ax2  bx  c  0 w postaci:

 4  2( 2   2  2  ( 2   2 2   4  0

(5.11)

11 12

11 12 12

uzyskuje się dwa rozwiązania na częstości drgań własnych zwanych normalnymi układu:

2  2  g

 2   2 

 2  g 

ka2

(5.12)

1 11 ;

l

2 11

2 12

2

l ml 2

Można wykazać, że najbardziej ogólny ruch układu o dwóch stopniach swobody, jakim są

wahadła sprzężone, stanowi superpozycja czyli złożenie dwóch niezależnych jednoczesnych

ruchów harmonicznych. Te ruchy nazywamy drganiami normalnymi lub własnymi danego układu. Dobierając odpowiednio warunki początkowe czyli położenie wahadeł i ich prędkości

w chwili początkowej (t=0) można doprowadzić, że układ będzie wykonywał drgania normalne tylko jednej lub drugiej postaci. Do właściwości drgań normalnych należy to, że każdy z elementów układu porusza się prostym ruchem harmonicznym, wszystkie elementy oscylują z tą samą częstotliwością 1 lub 2 i jednocześnie mijają położenie równowagi czyli mają identyczne przesunięcie fazowe.

Postaciami drgań nazywamy wszystkie całki szczególne rozwiązań czyli:

11 (t )  11 sin(1 t  δ1 )

12 (t )  12 sin(2 t  δ 2 )

(5.13)

21 (t )   21 sin(1 t  δ1 )

22 (t )   22 sin(2 t  δ 2 )

(5.14)

Amplitudy przy tych samych częstościach wiąże układ równań dla amplitud drgań własnych

(5.8), (5.9). Z układu określa się współczynniki rozkładu:

2 2 2

2 2 2

11

 21

 1

11  12  1  1

12

12

 22

 2

11  12  2

2

12

 1

(5.15)

Zatem drgania swobodne układu wahadeł można opisać rozwiązaniami ogólnymi w formie

układu równań:

1 (t )  11 sin(1 t  δ1 )  12 sin(2 t  δ 2 )

(5.16)

2 (t )  11 sin(1 t  δ1 )  12 sin(2 t  δ 2 )

(5.17)

Rozpatrzmy kilka różnych warunków początkowych zilustrowanych schematycznie na

Rys 5.2

a) b) c)

Rys. 5.2. Schematy sprzężenia dla różnych warunków początkowych

Ad a)

1 (0)  2 (0)  0

1 (0)  2 (0)  0

(5.18)

Wstawiając powyższe warunki początkowe do równań (5.16) i (5.17) uzyskuje się:

11  0

12  0

δ1  δ 2   / 2

(5.19)

Zatem rozwiązanie ogólne przyjmuje postać:

1 (t)  2 (t)  0 cos(1 t )

(5.20)

Przy wychyleniu obu wahadeł o te same kąty 1 (0)  2 (0)  0

i puszczeniu tj. pobudzeniu

bez prędkości początkowej

1 (0)  2 (0)  0

oba wahadła czyli układ będzie drgał z

częstością pierwszego drgania normalnego 1

według wzoru 5.12. Amplituda drgań

określona jest przez wychylenie wahadeł przy pobudzeniu tj. 0

Ad b)

1 (0)  0

2 (0)  0

1 (0)  2 (0)  0

(5.21)

Wstawiając powyższe warunki początkowe do równań (5.16) i (5.17) uzyskuje się:

11  0

12  0

δ1  δ 2   / 2

(5.22)

Zatem rozwiązanie ogólne przyjmuje postać:

1 (t )   2 (t )   0 cos( 2 t )

(5.23)

Przy wychyleniu jednego wahadeł o kąt

1 (0)  0 zaś drugiego o kąt

2 (0)  0 i

puszczeniu tj. pobudzeniu bez prędkości początkowej

1 (0)  2 (0)  0

oba wahadła czyli

układ będzie drgał z częstością drugiego drgania normalnego 2 określonego wzorem (5.12). Amplituda drgań określona jest przez wychylenie wahadeł przy pobudzeniu tj. 0 .

Ad c)

1 (0)  0

2 (0)  0

1 (0)  2 (0)  0

(5.24)

Wstawiając do równania (5.16) i (5.17) uzyskuje się:

11

 12

 0

2

δ1  δ 2

  / 2

(5.25)

Zatem rozwiązanie ogólne przyjmuje postać:

    

    

 (t)  

cos 2 1 t  cos 1 2 t 

(5.26)

1 0  2

  2 

    

    

 (t )  

sin 2 1 t  sin 1 2 t 

(5.27)

2 0  2

  2 

Przy wychyleniu jednego z wahadeł o kąt 1 (0)  0

zaś pozostawienie drugiego w położeniu

równowagi

2 (0)  0 ( brak wychylenia) i puszczeniu tj. pobudzeniu układu bez prędkości

początkowej 1 (0)  2 (0)  0 każde z wahadeł wykonuje drgania z częstością

 śr

 1  2

2

(5.28)

równą średniej arytmetycznej częstości drgań normalnych.

Amplitudy drgań obu wahadeł są różne i zależne od wychylenia początkowego

1 (0)  0 oraz od częstości modulacji:

mod

 2  1

2

(5.29)

Zatem maksymalnemu wychyleniu jednego z wahadeł odpowiada minimalne wychylenie

drugiego.

Widzimy, że drgania tego typu mają charakter dudnień o częstotliwości

dudnień Td , przy czym:

d , zaś okres

d  2  1

2

Td 

  

(5.30)

2 1

W1

1

0.5

t

1 2 3 4 5 6

-0.5

-1

W2

1

0.5

t

1 2 3 4 5 6

-0.5

-1

Rys. 5.5 Na rysunku górnym przedstawiono zależność W1(t) = 1 (t ) / 0 Rysunek dolny przedstawia W2(t)= 2 (t ) / 0 . Obwiednie stanowią zależności od czasu unormowanej amplitudy drgań wahadła pierwszego i drugiego odpowiednio.

5.2. Opis układu pomiarowego

W skład układu służącego do badania zjawiska sprzężenia dwóch wahadeł wchodzą -dwa identyczne wahadła fizyczne, z których każde złożone jest z walca o masie mw=2.330.01 kg

i długości lw=0.110.01m oraz przytwierdzonego do niego i zaopatrzonego w podziałkę

milimetrową pręta o masie mr=0.4040.01 kg i długości lr=0.820.01m. W górnej części pręt

posiada konwencjonalne zawieszenie zrealizowane za pomocą metalowej krawędzi pryzmatycznej,

- sprężyna sprzęgająca wahadła z możliwością zmiany jej punktu zamocowania,

- stoper do pomiaru czasu określonej liczby wahnięć.

Takie wahadło fizyczne do celów obliczeń zamodelujemy wahadłem matematycznym o masie m=mw+mr umieszczonej w środku ciężkości wahadła fizycznego. Jak łatwo zauważyć długość takiego wahadła matematycznego wynosi:

l  0.5 lr mr  (0.5 lw  lr ) mw

mr  mw

(5.31)

5.3. Przebieg ćwiczenia

1. Zmierzyć czas 10 wahnięć pojedynczego wahadła bez sprzężenia,

2. Dokonać sprzężenia wahadeł za pomocą sprężyny w odległości s= 20 cm od osi wahadeł,

3. Zmierzyć czas 10 wahnięć jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje pierwsze drgania normalne (Rys. 5.2 a).

4. Zmierzyć czas 10 wahnięć jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje drugie wahanie normalne ( Rys. 5.2 b).

5. Zmierzyć czas 2 dudnień, gdy układ jest sprzężony jak poprzednio zaś pobudzony do drgań przez jedno z wahadeł ( Rys. 5.2 c).

6. Pomiary według punktów 3-5 powtórzyć dla a od 30cm do 60 cm co 5 cm.

5.4. Opracowanie wyników pomiarów

1. Obliczyć okresy drgań własnych (bez sprzężenia),jako średnią arytmetyczną uzyskanych wyników pomiarów.

2. Obliczyć okresy dla pierwszego i drugiego drgania normalnego przy różnych sprzężeniach, jako średnią arytmetyczną uzyskanych wyników pomiarów dla poszczególnych sprzężeń.

3. Obliczyć okresy dudnień przy różnych sprzężeniach.

4. Obliczyć częstości drgań i dudnień uwzględniając, że   2  / T

5. Sprawdzić słuszność relacji teoretycznej d

porównując ją ze stroną lewą.

 2  1 , obliczając prawą stronę równania i

6. Wykonać wykres  2  f (a 2 ) . Jak widać z zależności (5.12) powinna to być linia prosta

typu:

y  Ax  B

(5.32)

gdzie:

y   2 ,

B  g ,

l

A  2 k ,

m l 2

x  a 2

Aproksymacji dokonać metodą najmniejszych kwadratów opisaną w rozdziale

„Metoda najmniejszych kwadratów”.

7. Wykorzystując uzyskane parametry prostej (5.32) wyznaczyć stałą sprężyny k.

8. Obliczyć niepewności uzyskanych rezultatów.

9. Przedstawić wnioski odnośnie uzyskanych rezultatów.

L i t e r a t u r a

[1] Bartnicki S. Borys W. Kostrzyński T. Fizyka ogólna Ćwiczenia laboratoryjne, Skrypt

WAT

[2] Demianiuk M., Wykłady z fizyki dla inżynierów, Skrypt WAT

2

2

2

2



k 

2

2

2









2

2

---