Zadania Statystyka Podgorski opis WSFiZ, WSFiZ - Finanse i rachunkowość (Warszawa ul. Pawia 55), Licencjat, Semestr III, Statystyka - J. Podgórski - ćwiczenia, T. Kuszewski

ZADANIA

(na podstawie: J.Podgórski - Statystyka dla studiów licencjackich. PWE 2005, wyd. drugie)

Rozdział 2

1. Liczba podręczników zakupionych na początku roku akademickiego przez studentów w grupie liczącej 20 osób była następująca:

3 2 3 0 4 6 4 6 1 5 0 3 5 4 0 3 4 5 4 2.

Określ zbiorowość w tym przykładzie, liczbę jej elementów i badaną cechę. Przedstaw powyższe dane w postaci szeregu rozdzielczego (empirycznego rozkładu cechy). Przedstaw rozkład graficznie.

2. Liczba niewykorzystanych pokoi w pewnym hotelu sieci Astor w

kolejnych dniach kwietnia była następująca:

13	38	7	10	14	26	19	8	11	5
12	20	25	44	10	0	26	18	5	22
16	4	7	17	28	33	7	11	8	14

Co jest tu elementem zbiorowości, co badaną cechą? Przedstaw powyższe dane w postaci szeregu z klasami o jednakowej rozpiętości równej 10. Zapisz w tablicy środki przedziałów. Narysuj histogram oraz wielobok liczebności tego rozkładu.

3. Rozkład liczby błędów drukarskich na 50 stronach składu był następujący:

Liczba błędów	Liczba stron
0	15
1	18
2	12
3	4
5	1

Wyznacz skumulowany rozkład liczebności (częstości) i przedstaw go graficznie. Zapisz dystrybuantę empiryczną i sporządź jej wykres.

4. Wśród kupujących samochody przeprowadzono ankietę na temat pewnego nowego rozwiązania technicznego. Zbadano ogółem 50 osób, spośród których 22 opowiedziały się za wprowadzeniem rozwiązania, 15 było przeciwnych, a pozostali nie mieli zdania. Przedstaw te dane w postaci szeregu rozdzielczego. Przedstaw te dane graficznie za pomocą diagramu i wykresu kołowego. Czy jest możliwe zdefiniowanie dystrybuanty tej cechy?

5. Waga (w kg) 20 poborowych, którzy stanęli w pewnym dniu przed komisją poborową była następująca: 76, 67, 80, 73, 69, 73, 64, 85, 77, 74, 76, 76, 58, 63, 74, 69, 81, 74, 71, 83.

Utwórz szereg rozdzielczy z klasami prawostronnie domkniętymi o jednakowej rozpiętości równej 5 kg i dolnej granicy pierwszego przedziału równej 55 kg. Przedstaw ten rozkład graficznie za pomocą histogramu i wieloboku liczebności. Utwórz skumulowany szereg rozdzielczy i przedstaw go w postaci ogiwy (wieloboku liczebności skumulowanych).

7. Rozkład czasu obsługi klientów (w sek.) przy kasie stacji benzynowej jest następujący:

Czas obsługi	Liczba przypadków
0 - 10	4
10 - 20	15
20 - 30	10
30 - 40	7
40 - 50	2
50 - 60	0
60 - 70	2

Sporządź wykres dystrybuanty empirycznej czasu obsługi. Zaznacz na nim częstość przypadków, w których obsługa trwała mniej niż 30 sek. Wskaż także przybliżoną wartość czasu obsługi, poniżej której obsługiwanych było 20% klientów.

9. Zbudowano rozkład płac tak, aby w każdym przedziale było 20% jednostek (wartości cechy 2 , 5, 10, 20 będziemy nazywać kwintylami, jako że dzielą zbiorowość na 5 równych części).

Przedziały	Częstości
0-2	0,2
2-5	0,2
5-10	0,2
10-20	0,2
20-50	0,2

Czy narysowanie histogramu w zwykły sposób, tzn. z częstościami na osi rzędnych da właściwy obraz rozkładu? Narysować histogram tak, by pola prostokątów równe były częstości jednostek w odpowiednich klasach (należy odmierzać na osi rzędnych wartości w_i/h_i).

10. Poniżej dany jest rozkład wyników skoku w dal uczniów 5 klas pewnej Szkoły Podstawowej:

Wyniki (w cm)	Chłopcy	Dziewczęta
80-90	1	9
90-100	5	14
100-110	7	8
110-120	12	4
120-130	6	1
130-140	3	-

Naszkicuj, na jednym wykresie, wielobok liczebności wyników dla chłopców i dziewcząt. W której grupie wyniki są: a) na ogół lepsze, b) bardziej zróżnicowane?

11. Rozkład wyników dla ogółu uczniów Szkoły Podstawowej utworzony na podstawie danych z zadania 10 jest następujący:

Wyniki (w cm)	Chłopcy i dziewczęta
80-90	10
90-100	19
100-110	15
110-120	16
120-130	7
130-140	3

Naszkicuj ten rozkład i omów jego własności. W jaki sposób wynikają one z własności łączonych rozkładów? Omawiany rozkład określamy jako niejednorodny. Czy analiza jego własności jest wartościowa?

12. Podaj własne przykłady cech, których rozkład może być:

a) symetryczny, b) prawostronnie asymetryczny, c) lewostronnie asymetryczny.

Rozdział 3

1. Premie wypłacone pracownikom w związku z wykonaniem pewnego zadania były następujące: 200, 500, 500, 800, 1000. Oblicz łączną i średnią arytmetyczną wypłaconych premii. Sprawdź na tym przykładzie następujące własności średniej arytmetycznej: a)
, b)
.

2. Dzienne zużycie energii elektrycznej (w kWh) przez lokatorów pewnego budynku było następujące:

15, 12, 10, 5, 10, 18, 6, 13, 41, 25.

Oblicz na podstawie tego zbioru danych średnią arytmetyczną, medianę i dominantę. Przedstaw dane na osi liczbowej w postaci kropek, zaznacz na niej obliczone miary i wypowiedz się czy poszczególne miary dobrze reprezentują tendencję centralną zbioru.

3. Oblicz na podstawie danych z zadania 1 rozstęp, wariancję i odchylenie standardowe.

4. Oblicz na podstawie danych zadania 2 wariancję i odchylenie standardowe. Dla skrajnych wartości zbioru, czyli dla 5 i 41, oblicz wartości standaryzowane. Czy wskazują one na to, że wartości te są nietypowe? Przyjmij, że wartość jest nietypowa, gdy odchyla się od średniej o więcej niż trzy odchylenia standardowe, tzn. gdy bezwzględna wartość standaryzowana jest większa od 3.

5. Notowania trzech akcji (A, B i C) w ciągu jednego tygodnia były następujące:

A:	6,30	6,55	5,00	5,60	5,65
B:	52,5	56,0	55,0	54,5	55,5
C:	102	106	110	108	104

Jeśli ryzyko gracza giełdowego mierzyć zróżnicowaniem kursów, to jak należy uszeregować akcje pod względem rosnącego ryzyka na podstawie:

rozstępu kursów, b) odchylenia standardowego, c) współczynników zmienności?

6. W zakładzie doświadczalnym obserwowano po ilu dniach wykiełkują ziarna pewnej rośliny, otrzymując:

Liczba dni	4	5	6	7	8	9
Liczba ziaren	15	16	10	5	3	1

Oblicz w tym rozkładzie średnią, medianę i dominantę.

7. Rozkład absencji pracowników pewnej firmy był następujący:

Liczba dni nieobecności	0	1	2	3	4	6	10	14
Liczba pracowników	40	5	2	20	10	7	5	1

Oblicz dominantę i średnią w powyższym rozkładzie. Wypowiedz się, czy miary te reprezentują dobrze - w omawianym przypadku - tendencję centralną.

8. Dwudziestu palaczy zapytano o liczbę paczek papierosów wypalanych tygodniowo. Uzyskano następujące odpowiedzi: 2 7 3 6 5 3 4 5 5 6 4 4 5 6 4 4 5 5 6 7.

a) przedstaw te dane w postaci szeregu rozdzielczego, b) oblicz kwartyl drugi i trzeci c) ile wynosi wartość dystrybuanty empirycznej dla x = 3?

9. W firmie Z-K pracuje 10 pracowników administracyjno - biurowych, 17 pracowników nadzoru technicznego i 23 pracowników bezpośrednio produkcyjnych. Średnie miesięczne wynagrodzenie pracownika administracyjno - biurowego wynosi 1600 zł, średnie wynagrodzenie pracownika nadzoru technicznego wynosi 1500 zł, natomiast pracownika bezpośrednio produkcyjnego - 1050 zł. Oblicz średnią płacę ogółu pracowników.

10. Dzienny przebieg taksówek w pewnym mieście charakteryzuje szereg rozdzielczy:

Przebieg w km	0-40	40-80	80-120	120-160	160-200
Liczba taksówek	26	82	56	28	8

Oblicz miary tendencji centralnej (średnią arytmetyczną, medianę i dominantę). Obliczenie dominanty zilustruj graficznie.

11. Na podstawie danych zad. 10 obliczyć wariancję i odchylenie standardowe dziennego przebiegu taksówek.

12. Na podstawie poniższych danych o wydatkach grupy emerytów na książki i czasopisma (w zł) oblicz medianę i średnią arytmetyczną tych wydatków:

Wydatki w zł	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
Liczba osób	4	10	8	6	1

13. Na podstawie danych zad. 10 oblicz kwartyle pierwszy i trzeci, rozstęp międzykwartylowy i odchylenie ćwiartkowe. Obliczenie kwartyli zilustruj na wykresie dystrybuanty.

14. Zarejestrowano liczbę widzów na 10 poniedziałkowych seansach filmu "Nie lubię poniedziałku" otrzymując: 10, 16, 4, 15, 6, 12, 22, 31, 8, 20. Oblicz na podstawie tego zbioru danych (bez uprzedniego grupowania) klasyczne miary zróżnicowania i asymetrii.

15. Dla 15 pracowników zatrudnionych w dziale marketingu zanotowano następujące ilości delegacji służbowych w ciągu ostatniego roku: 8, 6, 0, 13, 20, 9, 8, 6, 7, 14, 2, 3, 6, 5, 10. Dla cechy "liczba wyjazdów służbowych" oblicz: 1)średnią, 2)medianę, 3)dominantę. Zinterpretuj wszystkie wyniki. Czy na podstawie tych miar można określić kierunek asymetrii?

16. Rozkład opłat za naprawy samochodów wykonane w ciągu miesiąca w pewnym warsztacie, ustalony na podstawie 120 obserwacji był następujący:

Opłaty w zł	Liczba napraw
0-100	20
100-200	42
200-300	22
300-400	20
400-500	16

Sporządź wielobok liczebności rozkładu opłat i oceń jego asymetrię za pomocą: a) współczynnika skośności, b) współczynnika asymetrii.

17. Zbadano zużycie wody w pewnej zbiorowości rodzin uzyskując wyniki:

Zużycie wody w l.	30-50	50-70	70-100	100-150	150-250
Odsetek rodzin	15	30	25	20	15

Oceń asymetrię rozkładu zużycia wody przy pomocy pozycyjnego miernika asymetrii. Przyjmując
oraz
naszkicuj wykres pudełkowy. Który element wykresu wskazuje na asymetrię rozkładu?

19. W badaniu gospodarstw domowych otrzymano następujące charakterystyki rozkładu dochodów i oszczędności (obie cechy w tys. zł):

Kategoria	Średnia arytmetyczna	Dominanta	Wariancja
Dochód	12	10	9
oszczędności	8	9	16

Porównaj zróżnicowanie i asymetrię rozkładu obu kategorii.

20.Poddano analizie opisowej dane o wieku grupy 25 osób otrzymując następujący zestaw miar opisowych:

Średnia 35	Wariancja 121,0
Mediana 33	Dominanta 28
Minimalna wartość 21	Maksymalna wartość 63
Kwartyl pierwszy 26	Kwartyl trzeci 43

Oceń zróżnicowanie i asymetrię rozkładu wieku.

23. Zbadano powierzchnię (w ha) 120 plantacji tytoniu znajdujących się na terenie pewnego powiatu otrzymując rozkład:

Powierzchnia w ha	0,5-3,5	3,5-6,5	6,5-9,5	9,5-12,5
Liczba plantacji	33	59	27	5

Oceń koncentrację upraw tytoniu w tym powiecie.

24. W badaniu koncentracji płac pracowników pewnej gałęzi przemysłu stwierdzono, że płace trzeciej części pracowników o najniższych zarobkach stanowiły 20% całkowitego funduszu płac, zaś płace trzeciej części pracowników o najwyższych zarobkach stanowiły 50% całkowitego funduszu płac. Sporządź wykres krzywej koncentracji Lorenza oraz oblicz wartość współczynnika koncentracji.

25. Rozkład dochodów ludności USA w 1964 r. był następujący:

Procentowe grupy ludności według malejącego dochodu	Odsetek ogólnego dochodu
górne 10%	30
drugie 10%	15
trzecie 10%	13
czwarte 10%	11
piąte 10%	9
szóste 10%	8
siódme 10%	6
ósme 10%	4
dziewiąte 10%	3
dolne 10%	1

Nakreśl krzywą Lorenza i oblicz współczynnik Giniego.

Odpowiedzi do zadań

Uwaga: Wariancje i momenty centralne 3-go rzędu w poniższych rozwiązaniach obliczono z użyciem dzielników n-1, a więc odpowiedzi w tym zakresie będą nieznacznie się różnić od tych, uzyskanych przy użyciu dzielnika n (konsekwentnie, niewielkie różnice występować będą także dla odchyleń standardowych, klasycznych współczynników zmienności i asymetrii).

Rozdział 2

Zbiorowość - grupa studentów, liczebność zbiorowości - 20, cecha - liczba książek zakupionych przez studenta

Liczba książek	0	1	2	3	4	5	6
liczba studentów	3	1	2	4	5	3	2

Element zbiorowości - jeden dzień kwietnia, cecha - liczba niewykorzystanych pokoi.

Liczba niewykorzystanych pokoi	Liczba dni	Środki przedziałów
0-9	9	4,5
10-19	12	14,5
20-29	6	24,5
30-39	2	34,5
40-49	1	44,5

x - liczba błędów drukarskich na stronie


0	15	0,30
1	33	0,66
2	45	0,90
3	49	0,98
5	50	1,00

Opinia o nowym rozwiązaniu	Liczba zbadanych
Za	22
Przeciwko	15
Brak opinii	13

Podział koła według opinii: za - 158,4^o, przeciwko - 108^o, brak - 93,6^o. Dystrybuanty nie można zdefiniować, bowiem cecha jest niemierzalna.

x - waga poborowych w kg

55-60	60-65	65-70	70-75	75-80	80-85
1	2	3	6	5	3
1	3	6	12	17	20

brak
x - czas obsługi

	10	20	30	40	50	60	70
	0,1	0,475	0,725	0,9	0,95	0,95	1

F_n(30)=0,725; F_n(x)=0,2 dla x
12

brak
Nie. Przyjąć za wysokości słupków
:

i	1	2	3	4	5
	0,04	0,10	0,05	0,04	0,02

a) w grupie chłopców , b) w grupie chłopców
Rozkład jest nieregularny (bimodalny) co wynika z połączenia rozkładów o różnych wartościach dominujących. Analiza takiego rozkładu nie jest wartościowa.

Rozdział 3

,

a)

b)
kWh,
kWh,
kWh.
Średnia arytmetyczna ze względu na wystąpienie w zbiorze nietypowej dużej wartości (41) nie reprezentuje zbyt dobrze tendencji centralnej, z kolei dominanta jest tu dość przypadkową wielkością.
Rozstęp = 800 zł,
(zł)
,
zł.
,

;

W świetle sformułowanego w zadaniu kryterium wartości 5 i 41 nie są izolowane.
Uszeregowanie akcji według rosnących wartości miar zróżnicowania

a) A, B, C; b) A, B, C; c) B, C, A
Kryterium c wydaje się najlepsze.

X - liczba dni po których kiełkuje ziarno;
;
;
X - liczba dni nieobecności;
,
. Żadna z tych miar nie reprezentuje dobrze tendencji centralnej w tym rozkładzie
a)


2	1	0,05	0,5
3	2	0,10	0,15
4	5	0,25	0,40
5	6	0,30	0,70
6	4	0,20	0,90
7	2	0,10	1,00

,
,

x - miesięczne wynagrodzenie w zł.

zł
km,
km,
km
(km)
;
km
,
zł
km ,
km

km ,
km
X - liczba widzów na seansie ;
;
;
;
;
;
;
. Określenie kierunku asymetrii na podstawie relacji obliczonych miar byłoby trudne, bowiem rozkład empiryczny jest nieregularny.
Jest:
;
;
;
;
skąd
a)

b)
;
;
;
; kierunek asymetrii określa relacja długości odcinków reprezentujących różnice
i
.
brak
Dochód

Oszczędności
Rozstęp = 42 ;
;
;
;
;
;
brak
brak