FIZYKA 23.11.2008

DYNAMIKA

Ruch obrotowy

to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można uważać za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego używa się odmiennych pojęć od używanych do opisania ruchu postępowego.

Podstawowym prawem opisującym ruch bryły sztywnej jest druga zasada dynamiki ruchu obrotowego:

gdzie

gdzie M jest momentem siły względem obranego punktu odniesienia, a L - krętem względem tego samego punktu odniesienia.

Jeżeli obrót odbywa się względem osi stałej lub sztywnej wówczas druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego może być napisana w następujący sposób:

gdzie M oznacza moment siły a I moment bezwładności względem osi obrotu.

Czasem ta sama siła może powodować ruch postępowy i obrotowy. Wówczas dzieląc obie strony poprzedniego równania przez r oraz dodając po prawej stronie wyraz odnoszący się do ruchu postępowego można otrzymać II zasadę dynamiki w postaci bardziej ogólnej:

Gdy brak momentu sił zewnętrznych (M = 0), z równania:

otrzymać można zasadę zachowania krętu:

Moment bezwładności I punktu materialnego o masie m znajdującego się w odległości r od osi obrotu wyraża się wzorem:

Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego: W inercjalnym układzie odniesienia bryła nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym (ω = const), gdy nie działają na nie żadne momenty sił lub gdy działające momenty sił się wzajemnie równoważą.

Środek masy

Środek masy ciała lub układu ciał jest punktem, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej.

Wzór na wektor wodzący środka masy

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych wiąże środek masy z rozkładem gęstości ρ w przestrzeni za pomocą zależności:

przy czym:

• 
  to wektor wodzący środka masy;

• M to masa ciała;

• V to objętość ciała;

• ρ = ρ(x,y,z) to funkcja gęstości ciała

Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Gdy ciało wiruje lub drga, istnieje w tym ciele punkt, zwany środkiem masy, który porusza się w taki sam sposób, w jaki poruszałby się pojedynczy punkt materialny poddany tym samym siłom zewnętrznym.

Środek ciężkości

Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.

Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy dlatego często jest mylone lub wręcz utożsamiane. W geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy.

Jeżeli podzielić dane ciało na dowolnie małe elementy m_k, każdy element ciała odległy od środka układu współrzędnych o wektor
, element ten znajduje się w miejscu gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi
to środek ciężkości ciała określa wektor:

W polu grawitacyjnym jednorodnym g(r_k) ma dla każdego r_k tą samą wartość i kierunek, to po skróceniu wzoru g i wówczas środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy:

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych wiąże środek masy z rozkładem gęstości ρ w przestrzeni za pomocą zależności:

przy czym:

• 
  to wektor środka masy;

• M to masa ciała;

• V to objętość ciała;

• ρ = ρ(x,y,z) to funkcja gęstości ciała

Jeżeli ciało zawiesić nieruchomo na nici, to środek ciężkości znajduje się na przedłużeniu nici.

Prędkość kątowa

Prędkość kątowa w fizyce - wielkość opisująca ruch po okręgu (ruch obrotowy). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli współrzędna kątowa ciała określa kąt θ to wartość prędkości kątowej ω jest równa:

Jednostka prędkości kątowej w układzie SI to jeden radian przez sekundę.

Zależność chwilowej prędkości liniowej v, ciała poruszającego się po okręgu o promieniu r, od chwilowej prędkości kątowej ω tego ciała dana jest wzorem:

gdzie s jest długością łuku zakreślanego w czasie t. W zapisie wektorowym zależność przyjmuje postać:

Przyspieszenie kątowe

Przyspieszenie kątowe występuje w ruchu obrotowym - jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi:

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden radian przez sekundę do kwadratu.

W ruchu obrotowym zamiast pędu i siły definiujemy moment pędu i moment siły, jako iloczyn wektorowy promienia i pędu lub siły.

Moment pędu

Moment pędu punktu materialnego względem zadanego punktu określony jest zależnością składowych

gdzie

L to moment pędu punktu materialnego,

r to wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała,

p to pęd punktu materialnego

iloczyn wektorowy wektorów.

Powyższy wzór można wyrazić:

gdzie θ_r,p jest kątem między r i p

Dla ciała obracającego się:

gdzie:

I to moment bezwładności ciała,

ω to prędkość kątowa.

Moment siły

M₀ siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły oraz siły F:

Wektor momentu siły jest wektorem osiowym (pseudowektorem), zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez wektor F i promień wodzący r.

Określa się także moment siły względem osi, jest on równy rzutowi wektora momentu siły na tę prostą. Współrzędne M_x, M_y i M_z wektora M₀ nazywają się momentami siły względem odpowiednich osi x, y i z.

Zależności między siłą F, momentem siły τ (M), pędem p oraz momentem pędu L

Jednostką momentu siły jest Nm (niutonometr). Jednostka ta jest zdefiniowana analogicznie jak dżul, czyli jednostka energii. Aby nie tworzyć nieporozumień, nie nazywa się niutonometra dżulem.

Moment bezwładności

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar ML². Zwykle mierzy się go w kg·m².

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

gdzie:

m - masa punktu;

r - odległość punktu od osi obrotu.

Moment bezwładności ciała składającego się z n punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm, oraz niech r oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości V ciała.

Za pomocą momentu bezwładności I bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową ω względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną K tej bryły

Opis	Rysunek	Wzór
Cienkościenna cylindryczna rura o promieniu r i masie m
Cylindryczna rura o wewnętrznym promieniu r1, zewnętrznym promieniu r2 i masie m
Pełny walec o promieniu r, wysokości h i masie m
Cienki dysk o promieniu r i masie m
Wypełniona kula o promieniu r i masie m
Sfera o promieniu r i masie m
Pręt o długości L i masie m
Pręt o długości L i masie m

Zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego

Bardzo ważnymi są równania dynamiki wiążące siłę albo moment siły, odpowiednio z zmianami pędu albo momentu pędu.

,

=

II zasada dynamiki

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa
jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej

Współczynnik proporcjonalności jest równy odwrotności masy ciała:

Ruch postępowy	Ruch obrotowy
masa - m	moment bezwładności - I
wektor położenia -	kąt skierowania -
prędkość liniowa -	prędkość kątowa -
przyspieszenie liniowe -	przyspieszenie kątowe -
pęd -	moment pędu - ,
siła -	moment siły -

Siła tarcia

Każdemu ruchowi towarzyszą opory. Najczęściej spotykaną siłą oporu ruchu jest siła tarcia.

Siła tarcia działa nie tylko na ciała poruszające się. Występuje również w spoczynku, lecz wówczas jest reakcją na oddziaływanie zewnętrzne.

Maksymalna wartość tej siły nosi nazwę tarcia spoczynkowego T_s. Jej wartość zależy od siły nacisku wywieranej przez ciało na podłoże i wyraża się wzorem:

T_s = f_s × F_n

gdzie: f_s jest współczynnikiem tarcia spoczynkowego.

Jeśli jedno ciało ślizga się po powierzchni drugiego ciała, to występuje wówczas tarcie poślizgowe T_p. Wartość siły tarcia poślizgowego zależy od stopnia gładkości powierzchni trących i wartości siły nacisku wywieranej przez ciała na podłoże, a nie zależy od wielkości pola powierzchni trących.

Wartość siły tarcia poślizgowego T_p jest wprost proporcjonalna do wartości siły nacisku F_n i wyraża się wzorem empirycznym:

T_p = f_p × F_n

gdzie: f_p jest tzw. współczynnikiem tarcia poślizgowego.

Bloczek nieruchomy
to krążek przytwierdzony do stałego podłoża, przez który przeplata się cięgno, które z założenia nie ślizga się po krążku, lecz wprawia go w ruch obrotowy. Krążek stały umożliwia tylko zmianę kierunku siły, bez zmiany jej wartości.

Krążek stały jako maszyna prosta

W układach idealizowanych przyjmuje się, że krążek jest nieważki, cięgno nieważkie i doskonale elastyczne i nierozciągliwe i nie występują opory ruchu krążka a cały układ jest płaskim układem sił.

Wtedy, zależność opisująca działanie krążka stałego:

P = Q

gdzie P - siłą poruszajacą , Q - siłą użyteczną

Krążek stały w układach rzeczywistych

W układach rzeczywistych dochodzą zjawiska dynamiczne, związane z inercją układu oraz straty mechaniczne związane z oporami ruchu. W naszym przypadku przyjmujemy, że ruch w układzie jest ruchem ustalonym.

Wtedy przy określonej sprawności krążka η spełnione jest równanie:

Ruch harmoniczny

- drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, również wiele rodzajów bardziej złożonych drgań może być opisane jako w przybliżeniu harmoniczne. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Ruch harmoniczny prosty

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

gdzie

- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

albo w postaci różniczkowej:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

gdzie:

• 
  jest częstością kołową drgań,

• 
  stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową ω₀ wiąże z okresem drgań T związek:

,

częstotliwość drgań ν natomiast wynosi

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Energia w ruchu harmonicznym prostym

Wykres zależności energii od wychylenia

Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.

Z zasady zachowania energii, wynika zależność, z której można wyznaczyć energię kinetyczną:

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze
z powyższym):

Ciało drgające ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

v₀ = x₀ω₀

prędkość chwilowa zmienia się jak

Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspieszenie jest opisywane zależnością:

Ruch harmoniczny tłumiony

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

Równanie ruchu ma wtedy postać:

Równanie to ma dwie klasy rozwiązań:

Oscylator przetłumiony

Położenie w ruchu harmonicznym nietłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny)

Gdy:

odpowiada to tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu - w tej sytuacji nie występuje ruch wahadłowy, a jedynie eksponencjalny zanik wychylenia z czasem.

Oscylator drgający

Gdy

Analogicznie jak dla ruchu harmonicznego prostego rozwiązanie można przedstawić za pomocą kilku wzorów ze składową okresowa, ale z dodatkowym czynnikiem tłumiącym:

gdzie

- jest zmodyfikowaną częstością kątową

- czas relaksacji - czas, po jakim amplituda drgań spada e-krotnie.

Ostatecznie otrzymujemy analogiczny wzór:

Rezonans mechaniczny zachodzi wówczas, gdy częstość siły wymuszającej ω jest równa częstości własnej układu ω₀ (czyli dla częstotliwości f = f₀). W warunkach rezonansu wzrasta gwałtownie amplituda drgań układu oraz jego energia.




Częstotliwość f₀ nosi nazwę częstotliwości rezonansowej.

Drgania wymuszone

Drgania wymuszone zachodzą pod wpływem zewnętrznej siły, będącej źródłem energii podtrzymującej drgania.

Siła wymuszająca F_W ma zwykle charakter siły o wartości okresowo zmiennej:

F_W = F_W0sinωt

gdzie: F_W0 - amplituda siły wymuszającej.

Amplituda drgań wymuszonych nie jest stała i zależy od częstości siły wymuszającej ω.

Amplituda drgań wymuszonych wyraża się wzorem:

---