Opracowanie: Mateusz Winiarski
WYKŁAD 3
OBLICZANIE CAŁEK Z UŁAMKÓW PROSTYCH II RODZAJU
całka I1 całka I2
całka In
Wyprowadzenie wzoru rekurencyjnego na In
całka I
całka In
CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH
Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a
gdzie: Vn-1(x) - wielomian stopnia n-1 o nieznanych współczynnikach
- nieznana liczba
Różniczkując obie strony równania otrzymujemy:
Mnożąc obie strony równania przez 
otrzymujemy:
Przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach wielomianów znajdujemy z otrzymanego układu równań nieznane współczynniki wielomianu Vn-1(x) oraz λ.
Pozostaje znaleźć całkę 
. Powyższa całka daje się sprowadzić przez odpowiednie podstawienie do postaci:
gdy 
gdy 
PRZYKŁAD 3.1
Różniczkując obie strony równania otrzymujemy:
Mnożąc obie strony równania przez 
otrzymujemy:
Czyli:
całka I1
Zatem:
PRZYKŁAD 3.2
Podstawienie Eulera
gdzie R jest funkcją wymierną; 
PRZYKŁAD 3.3
Całka sprowadzalna do typu Lagrange'a
po przekształceniach 
CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH c.d.
po podstawieniu otrzymujemy całkę z
funkcji wymiernej
gdzie: s - największa wspólna wielokrotność liczb q1,q2,...,qk
PRZYKŁAD 3.4
CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
10 
a) 
(przynajmniej jedna nieparzysta, np. 
)
b) 
(obie parzyste)
zasada: zamieniamy na funkcję podwojonego kąta
zał: 
wymnażamy i dostajemy całkę tego samego typu
korzystamy ze wzorów: 
; 
; 
PRZYKŁAD 3.5
Niech I1 = 
I2 = 
20
korzystamy ze wzorów:
30
PRZYKŁAD 3.6
{z 1-ki trygonometrycznej} 
40 
Metoda zasłaniania stosujemy gdy w mianowniku ułamka mamy tylko iloczyn wielomianów stopnia 1 w potędze 1
bo: 
dla 
bo: 
dla 
MIARA I CAŁKA
DEFINICJA 3.1 (ILOCZYN KARTEZJAŃSKI)
- zbiory
- iloczyn kartezjański zbiorów 
i 
- zbiory
- iloczyn kartezjański zbiorów 
DEFINICJA 3.2 (RODZINA PODZBIORÓW)
- zbiór, 
- zbiór wszystkich podzbiorów
- rodzina podzbiorów zbioru
PRZYKŁAD 3.7
DEFINICJA 3.3 (POŁĄCZENIE, PRZECIĘCIE)
- rodzina podzbiorów zbioru 
- połączenie zbiorów rodziny 
- przecięcie zbiorów rodziny 
dla 
dla 
Wyszukiwarka