Hydra ściąga przepływy, sgsp, Hydromechanika, hydromechanika


Równanie Bernoulliego

0x08 graphic
:

0x08 graphic

0x08 graphic

albo:

Powyższe równanie nosi nazwę równania Bernoulliego. Stanowi całkę wzdłuż linii prądu równania ruchu ustalonego płynu doskonałego w polu grawitacyjnym. Równanie Bernoulliego stanowi matematyczny zapis niezniszczalności energii w ruchu ustalonym płynu doskonałego.

V2/2g - energia kinetyczna,

p/ρg - energia potencjalna ciśnienia,

z - energia potencjalna położenia.

0x08 graphic
W5/3

Przepływy w przewodach pod ciśnieniem

Hagen i Poiseuille sformułowali następujące prawo:

0x08 graphic
Wydatek cieczy lepkiej przepływającej przez rurkę o małej średnicy jest proporcjonalny do różnicy ciśnień powodującej przepływ, proporcjonalny do czwartej potęgi średnicy rurki i odwrotnie proporcjonalny do jej długości.

0x08 graphic

0x08 graphic
Rozpatrujemy laminarny przepływ płynu lepkiego w przewodzie o przekroju kołowym, w którym nie występują przyspieszenia w kierunku osi rury. Zakładamy jednak, że może istnieć gradient prędkości w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu.

0x08 graphic
0x08 graphic
Wyodrębniamy obszar płynu w postaci walca o promieniu r i długości l, usytuowanego współosiowo z przewodem rurowym. Z warunku równowagi sił zewnętrznych działających na wyodrębniony element na kierunek osi rury była równa zeru. Z praktyki wiadomo, że istnieje gradient ciśnienia w kolejnych przekrojach prostopadłych do osi rury. Spadek ciśnienia może być spowodowany jedynie istnieniem 0x08 graphic

W rezultacie

0x08 graphic
Jest oczywistym, że prędkość maksymalna wystąpi w osi rury, dla r = 0.

Z otrzymanego wzoru na prędkość wynika, że rozkład prędkości jest paraboidalny.

0x08 graphic
Po wprowadzeniu zamiast R średnicy rury d = 2R, otrzymamy:

0x08 graphic

0x08 graphic
Wzór ten stanowi matematyczny zapis prawa Hagena. W praktyce częściej jest stosowany do wyznaczenia współczynnika lepkości dynamicznej

Lub do wyznaczenia spadku ciśnienia w przewodzie

Zależność ta jest identyczna z podaną przez

Weisbacha i Darcy:

0x08 graphic
W6/1

Doświadczenie Reynoldsa. Klasyfikacja przepływów.

Reynolds obserwował zjawiska zachodzące podczas przepływu cieczy przez rurki szklane. Wprowadzał do przepływającej cieczy bardzo cienką strugę cieczy zabarwionej, nie mieszającej się z wodą. Stwierdził, że przy dostatecznie małej prędkości przepływu, struga zabarwiona miała kształt linii prostej. Świadczyło to o poruszaniu się warstw cieczy względem siebie stąd tego typu przepływ nazwał laminarnym albo uwarstwionym. Jeżeli natomiast średnia prędkość przepływu przekroczyła pewną wartość krytyczną, następowało rozmycie strugi zabarwionej. Oznaczało to, że ruch stał się burzliwy, tzn. charakteryzujący się drobnymi ruchami pobocznymi powodującymi rozmycie strugi w całym obszarze cieczy.

0x08 graphic
Doświadczenia Reynoldsa wykazały, że wartość liczbowa prędkości krytycznej jest wprost proporcjonalna do lepkości kinematycznej cieczy, i odwrotnie proporcjonalna do średnicy rury.

Wartość krytycznej liczby Reynoldsa, odpowiadająca przejściu z ruchu laminarnego do ruchu burzliwego waha się w granicach 0d 1920 do 2400. W literaturze często podawana jest wartość 2300. Okazuje się, że dla wartości Re większych od krytycznej możliwy jest również ruch laminarny, przy czym nieskończenie małe zakłócenie przepływu powoduje natychmiastowe i nieodwracalne przejście w ruch burzliwy. Zakłócenia przepływu przy liczbach Reynoldsa mniejszych od krytycznej nie powodują zmiany charakteru przepływu. Mimo, że górna liczba Reynoldsa, przy której możliwy jest tylko ruch burzliwy nie została jednoznacznie określona przyjmuje się, że w technice można przyjmować wartość Re =10000.

W związku z tym przepływy klasyfikuje się następująco:

Re < 2300 - przepływ laminarny,

Re > 10000 - przepływ burzliwy.

0x08 graphic

Liczba ta stanowi kryterium podobieństwa dynamicznego ze względu na lepkość.

Straty liniowe

Istnienie strat liniowych udowodniono na przykładzie jednowymiarowego przepływu cieczy lepkich. W ciągu ostatnich 150 lat , na podstawie licznych doświadczeń opracowano wiele wzorów pozwalających określić współczynnik oporu.

0x08 graphic
Na podstawie analizy wymiarowej można wykazać, że dla rur gładkich

spółczynnik strat liniowych λ jest funkcją średnicy przewodu, prędkości przepływu i lepkości kinematycznej ν.

Wprowadzając tę zależność do podanego wcześniej najbardziej rozpowszechniony jest wzór Blasiusa:

W przewodach chropowatych zakłada się dodatkowo, że współczynnik oporów liniowych może zależeć od chropowatości wzglednej k = s/d.

0x08 graphic
Stosując analizę wymiarową otrzymujemy zależność typu

Stałą C oraz wykładniki m i n wyznaczamy doświadczalnie.

0x08 graphic
Wzory empiryczne określające współczynnik strat liniowych mają najczęściej postać:

0x08 graphic
Najczęściej stosowane są wyniki:

  1. Misesa

  2. 0x08 graphic
    Nikuradsego, który na wykresie o charakterystycznym kształcie harfy przedstawił wartość współczynnika oporów liniowych w zależności od liczby Reynolsa i chropowatości względnej przewodu. Na wykresie linia AB odpowiada przepływowi laminarnemu; λ = f (Re). Gdy liczba Reynoldsa przekracza wartość krytyczną ruch laminarny przechodzi w ruch burzliwy. Przepływowi przez rure gładką odpowiada prosta CD poprowadzona wg formuły Blasiusa. Wpływ chropowatości charakteryzuje się odchyleniem linii otrzymanych doświadczalnie od linii CD. Jest oczywiste, że czym mniejsza chropowatość względna tym to odchylenie jest mniejsze. Z przebiegu linii otrzymanych doświadczalnie wynika, że po przekroczeniu pewnej wartości Re współczynnik oporu liniowego nie zmienia się ( linie są równoległe do osi Re.

Na wykresie Nikuradsego wyróżniamy nastepujące obszary hydrauliczne:

I - przepływy laminarne, λ = f (Re),

II - obszar przejściowy (2300<Re<10000), λ = f (Re, k),

III - rury gładkie, λ = f (Re),

IV - Rury chropowate, λ = f (Re, k),

V - rury silnie chropowate, λ = f (Re).

  1. Wykresy Colebrooka i White

0x08 graphic

Straty lokalne

0x08 graphic

Straty lokalne wynikają z konieczności pokonania tzw. oporów miejscowych. Opór miejscowy powstaje wszędzie tam, gdzie lokalnie, tzn. w danym miejscu rurociągu zmieniają się warunki przepływu. Zmiana warunków przepływu może być wynikiem zmian przekroju przewodu (zawory, zwężki, kryzy, przewężenia i rozszerzenia) oraz zmian kierunku przepływu. Współczynniki strat liniowych zależą od rodzaju przeszkody oraz na ogół słabo od liczby Reynoldsa. W większości przypadków współczynniki strat liniowych są wyznaczane doświadczalnie. Straty ciśnienia wynikające z istnienia oporów liniowych oblicza się ze wzoru:

0x08 graphic

W praktyce przy projektowaniu rurociągów ocenia się straty liniowe, zaś straty lokalne zostają uwzględnione poprzez oszacowanie ich wielkości w procentach strat liniowych. Z reguły, zależnie od stopnia skomplikowania trasy rurociągu przyjmuje się że straty lokalne stanowią 5 - 15 % strat liniowych.

Metoda kolejnych przybliżeń

0x08 graphic
0x08 graphic
W przypadku, kiedy celem obliczeń jest określenie wydatku istniejącego układu przewodów uzyskanie wyniku bezpośrednio nie jest możliwe. Wynika to z faktu, że współczynniki strat liniowych λ są na ogół funkcją liczby Re, a ta z kolei jest zależna od prędkości przepływu. W takim przypadku należy zastosować metodę przybliżonych obliczeń wg przedstawionego poniżej schematu.

  1. Należy korzystając z ogólnych praw hydromechaniki obliczyć prędkość traktując wstępnie współczynniki λ jako znane.

  2. Należy założyć satysfakcjonującą nas dokładność obliczeń rozumianą jako wartość bezwzględną różnicy prędkości obliczonych w kolejnych przybliżeniach. Np. można przyjąć:

  1. Należy założyć zupełnie dowolnie prędkość wypływu v.

  1. Dla założonej prędkości należy obliczyć wszystkie liczby Re występujące w rozpatrywanym przepływie.

  1. Dla obliczonych liczb Re należy określić na podstawie odpowiedniego wzoru lub wykresu wartości współczynników oporów liniowych.

  1. Ze wzoru na prędkość wypływu uzyskanego na podstawie ogólnych praw hydromechaniki należy obliczyć tę prędkość podstawiając m. in. Obliczone dla założonej prędkości współczynniki λ.

  1. Należy sprawdzić różnicę między prędkością założoną i przyjętą posługując się warunkiem wg pkt 2.

  1. Jeżeli warunek jest spełniony kończymy obliczenia; jeżeli nie - powtarzamy cały cykl traktując obliczona wartość v jako wielkość wyjściową.

Przewody o przekroju różnym od kołowego. Promień hydrauliczny

We wszystkich zagadnieniach dotyczących przepływów istotne są zagadnienia dotyczące strat energetycznych. Źródłem powstawania strat są m. in. naprężenia styczne powstające na ściance przewodu. Łatwo można zauważyć, że opory przepływu przez przewody o różnym kształcie przekroju poprzecznego, ale o tym samym polu przekroju będą większe w przewodzie, którego obwód jest większy, ponieważ większe będą opory związane z lepkością cieczy. Dodatkowo można rozpatrywać przewody nie całkowicie wypełnione wodą ( kanalizacja, przewody otwarte). Ze wszystkich figur płaskich o tej samej powierzchni koło ma najmniejszy obwód, jest to więc kształt o najbardziej odpowiednim przekroju. Można założyć, że miarą strat w przewodach o różnym kształcie przekroju jest stosunek przekroju strumienia cieczy do obwodu zwilżonego:

0x08 graphic

W przypadku jakiegokolwiek przekroju, wielkością charakterystyczną dla przepływu płynu lepkiego jest liczba Re, jako miara stosunku sił bezwładności do sił lepkości. We wzorze na liczbę Re charakterystycznym dla danego przepływu wymiarem liniowym była średnica przewodu. Obliczając rh z podanego wyżej wzoru dochodzimy do wniosku, że jest on równy d/4. Używanie do obliczeń liczby Re wartości 4rh daje pełną zgodność z obliczeniami dla przekrojów kołowych.

Wydatek. Prędkość średnia. Współczynnik Coriolisa

Przepływy w przewodach o przekroju kołowym będziemy traktować jako jednowymiarowe, tzn. takie, w których w całym przekroju poprzecznym wszystkie parametry hydrauliczne są stałe. Takie podejście pozwala pominąć rozkład prędkości w danym przekroju, a tym samym upoważnia do posługiwania się prędkością średnią definiowaną jako:

Tak określona prędkość będzie podstawiana do równania Bernoulliego oraz będzie użyta do obliczenia Re.

Jeżeli uwzględnimy rozkład prędkości, to możemy stwierdzić, że przez elementarny pierścień o powierzchni 2πrdr przepływa elementarny wydatek:

Wydatek całkowity można obliczyć jak następuje:

Należy zaznaczyć, że z wyjątkiem przepływów laminarnych nie znamy ścisłej zależności opisującej rozkład prędkości.

0x08 graphic
Jeżeli podejmiemy próbę określenia w podobny sposób energii kinetycznej przepływającego płynu, otrzymamy:

0x08 graphic
Stosunek energii rzeczywistej do energii pozornej wyniesie

Stosunek ten jest zawsze większy od jedności. Wynika z tego, że pozorna energia kinetyczna przepływającego strumienia jest zawsze mniejsza od rzeczywistej. Zazwyczaj wyraz reprezentujący energie kinetyczną, przy przepływie cieczy, jest mały w porównaniu ze stratami. Związku z tym potrzeba uwzględniania tej różnicy może zachodzić tylko wtedy, gdy energia kinetyczna jest porównywalna ze stratami. Wówczas równanie Bernoulliego musiałoby mieć postać

0x08 graphic
Piezometryczna linia ciśnień. Linia energii

Wykres obrazujący zmianę wysokości ciśnienia statycznego wzdłuż osi przewodu nazywany jest linią piezometryczną. Nazwa wynika z metody określania ciśnienia. Linia obrazująca zmiany wysokości ciśnienia wzdłuż rurociągu jest linią łączącą poziomy cieczy w piezometrach zainstalowanych wzdłuż rurociągu. Linie ciśnień nie reprezentują całej energii płynu. Spadki ciśnień wywołane oporami przepływu reprezentują straty energetyczne. Zmiany ciśnienia wywołane zmianami przekroju reprezentują również zamianę energii potencjalnej ciśnienia na kinetyczną lub na odwrót; zmiany ciśnienia związane z opadaniem lub wznoszeniem się przewodu wynikają ze zmiany części energii potencjalnej ciśnienia w energię potencjalna położenia lub na odwrót.

0x08 graphic
Można wykazać, że straty energetyczne wywołane oporami liniowymi lub miejscowymi powodują jedynie spadek ciśnienia statycznego.

W tym celu rozpatrujemy poziomą rure o stałej średnicy d. W przekrojach 1 i 2 oddalonych od siebie o l zainstalowano manometry mierzące ciśnienia p1 i p2.

Dla takiego układu równanie Bernoulliego ma postać:

Oczywiście: V1 = V2 ponieważ d = const,

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka