Równanie Bernoulliego
:
albo:
Powyższe równanie nosi nazwę równania Bernoulliego. Stanowi całkę wzdłuż linii prądu równania ruchu ustalonego płynu doskonałego w polu grawitacyjnym. Równanie Bernoulliego stanowi matematyczny zapis niezniszczalności energii w ruchu ustalonym płynu doskonałego.
V2/2g - energia kinetyczna,
p/ρg - energia potencjalna ciśnienia,
z - energia potencjalna położenia.
W5/3
Przepływy w przewodach pod ciśnieniem
Hagen i Poiseuille sformułowali następujące prawo:
Wydatek cieczy lepkiej przepływającej przez rurkę o małej średnicy jest proporcjonalny do różnicy ciśnień powodującej przepływ, proporcjonalny do czwartej potęgi średnicy rurki i odwrotnie proporcjonalny do jej długości.
Rozpatrujemy laminarny przepływ płynu lepkiego w przewodzie o przekroju kołowym, w którym nie występują przyspieszenia w kierunku osi rury. Zakładamy jednak, że może istnieć gradient prędkości w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu.
Wyodrębniamy obszar płynu w postaci walca o promieniu r i długości l, usytuowanego współosiowo z przewodem rurowym. Z warunku równowagi sił zewnętrznych działających na wyodrębniony element na kierunek osi rury była równa zeru. Z praktyki wiadomo, że istnieje gradient ciśnienia w kolejnych przekrojach prostopadłych do osi rury. Spadek ciśnienia może być spowodowany jedynie istnieniem 
W rezultacie
Jest oczywistym, że prędkość maksymalna wystąpi w osi rury, dla r = 0.
Z otrzymanego wzoru na prędkość wynika, że rozkład prędkości jest paraboidalny.
Po wprowadzeniu zamiast R średnicy rury d = 2R, otrzymamy:
Wzór ten stanowi matematyczny zapis prawa Hagena. W praktyce częściej jest stosowany do wyznaczenia współczynnika lepkości dynamicznej
Lub do wyznaczenia spadku ciśnienia w przewodzie
Zależność ta jest identyczna z podaną przez
Weisbacha i Darcy:
W6/1
Doświadczenie Reynoldsa. Klasyfikacja przepływów.
Reynolds obserwował zjawiska zachodzące podczas przepływu cieczy przez rurki szklane. Wprowadzał do przepływającej cieczy bardzo cienką strugę cieczy zabarwionej, nie mieszającej się z wodą. Stwierdził, że przy dostatecznie małej prędkości przepływu, struga zabarwiona miała kształt linii prostej. Świadczyło to o poruszaniu się warstw cieczy względem siebie stąd tego typu przepływ nazwał laminarnym albo uwarstwionym. Jeżeli natomiast średnia prędkość przepływu przekroczyła pewną wartość krytyczną, następowało rozmycie strugi zabarwionej. Oznaczało to, że ruch stał się burzliwy, tzn. charakteryzujący się drobnymi ruchami pobocznymi powodującymi rozmycie strugi w całym obszarze cieczy.
Doświadczenia Reynoldsa wykazały, że wartość liczbowa prędkości krytycznej jest wprost proporcjonalna do lepkości kinematycznej cieczy, i odwrotnie proporcjonalna do średnicy rury.
Wartość krytycznej liczby Reynoldsa, odpowiadająca przejściu z ruchu laminarnego do ruchu burzliwego waha się w granicach 0d 1920 do 2400. W literaturze często podawana jest wartość 2300. Okazuje się, że dla wartości Re większych od krytycznej możliwy jest również ruch laminarny, przy czym nieskończenie małe zakłócenie przepływu powoduje natychmiastowe i nieodwracalne przejście w ruch burzliwy. Zakłócenia przepływu przy liczbach Reynoldsa mniejszych od krytycznej nie powodują zmiany charakteru przepływu. Mimo, że górna liczba Reynoldsa, przy której możliwy jest tylko ruch burzliwy nie została jednoznacznie określona przyjmuje się, że w technice można przyjmować wartość Re =10000.
W związku z tym przepływy klasyfikuje się następująco:
Re < 2300 - przepływ laminarny,
< Re <10000, ruch laminarny jest możliwy, ale nieskończenie małe zakłócenie spowoduje przejście w ruch burzliwy,
Re > 10000 - przepływ burzliwy.
Liczba ta stanowi kryterium podobieństwa dynamicznego ze względu na lepkość.
Straty liniowe
Istnienie strat liniowych udowodniono na przykładzie jednowymiarowego przepływu cieczy lepkich. W ciągu ostatnich 150 lat , na podstawie licznych doświadczeń opracowano wiele wzorów pozwalających określić współczynnik oporu.
Na podstawie analizy wymiarowej można wykazać, że dla rur gładkich
spółczynnik strat liniowych λ jest funkcją średnicy przewodu, prędkości przepływu i lepkości kinematycznej ν.
Wprowadzając tę zależność do podanego wcześniej najbardziej rozpowszechniony jest wzór Blasiusa:
W przewodach chropowatych zakłada się dodatkowo, że współczynnik oporów liniowych może zależeć od chropowatości wzglednej k = s/d.
Stosując analizę wymiarową otrzymujemy zależność typu
Stałą C oraz wykładniki m i n wyznaczamy doświadczalnie.
Wzory empiryczne określające współczynnik strat liniowych mają najczęściej postać:
Najczęściej stosowane są wyniki:
Misesa
Nikuradsego, który na wykresie o charakterystycznym kształcie harfy przedstawił wartość współczynnika oporów liniowych w zależności od liczby Reynolsa i chropowatości względnej przewodu. Na wykresie linia AB odpowiada przepływowi laminarnemu; λ = f (Re). Gdy liczba Reynoldsa przekracza wartość krytyczną ruch laminarny przechodzi w ruch burzliwy. Przepływowi przez rure gładką odpowiada prosta CD poprowadzona wg formuły Blasiusa. Wpływ chropowatości charakteryzuje się odchyleniem linii otrzymanych doświadczalnie od linii CD. Jest oczywiste, że czym mniejsza chropowatość względna tym to odchylenie jest mniejsze. Z przebiegu linii otrzymanych doświadczalnie wynika, że po przekroczeniu pewnej wartości Re współczynnik oporu liniowego nie zmienia się ( linie są równoległe do osi Re.
Na wykresie Nikuradsego wyróżniamy nastepujące obszary hydrauliczne:
I - przepływy laminarne, λ = f (Re),
II - obszar przejściowy (2300<Re<10000), λ = f (Re, k),
III - rury gładkie, λ = f (Re),
IV - Rury chropowate, λ = f (Re, k),
V - rury silnie chropowate, λ = f (Re).
Wykresy Colebrooka i White
Straty lokalne
Straty lokalne wynikają z konieczności pokonania tzw. oporów miejscowych. Opór miejscowy powstaje wszędzie tam, gdzie lokalnie, tzn. w danym miejscu rurociągu zmieniają się warunki przepływu. Zmiana warunków przepływu może być wynikiem zmian przekroju przewodu (zawory, zwężki, kryzy, przewężenia i rozszerzenia) oraz zmian kierunku przepływu. Współczynniki strat liniowych zależą od rodzaju przeszkody oraz na ogół słabo od liczby Reynoldsa. W większości przypadków współczynniki strat liniowych są wyznaczane doświadczalnie. Straty ciśnienia wynikające z istnienia oporów liniowych oblicza się ze wzoru:
W praktyce przy projektowaniu rurociągów ocenia się straty liniowe, zaś straty lokalne zostają uwzględnione poprzez oszacowanie ich wielkości w procentach strat liniowych. Z reguły, zależnie od stopnia skomplikowania trasy rurociągu przyjmuje się że straty lokalne stanowią 5 - 15 % strat liniowych.
Metoda kolejnych przybliżeń
W przypadku, kiedy celem obliczeń jest określenie wydatku istniejącego układu przewodów uzyskanie wyniku bezpośrednio nie jest możliwe. Wynika to z faktu, że współczynniki strat liniowych λ są na ogół funkcją liczby Re, a ta z kolei jest zależna od prędkości przepływu. W takim przypadku należy zastosować metodę przybliżonych obliczeń wg przedstawionego poniżej schematu.
Należy korzystając z ogólnych praw hydromechaniki obliczyć prędkość traktując wstępnie współczynniki λ jako znane.
Należy założyć satysfakcjonującą nas dokładność obliczeń rozumianą jako wartość bezwzględną różnicy prędkości obliczonych w kolejnych przybliżeniach. Np. można przyjąć:
Należy założyć zupełnie dowolnie prędkość wypływu v.
Dla założonej prędkości należy obliczyć wszystkie liczby Re występujące w rozpatrywanym przepływie.
Dla obliczonych liczb Re należy określić na podstawie odpowiedniego wzoru lub wykresu wartości współczynników oporów liniowych.
Ze wzoru na prędkość wypływu uzyskanego na podstawie ogólnych praw hydromechaniki należy obliczyć tę prędkość podstawiając m. in. Obliczone dla założonej prędkości współczynniki λ.
Należy sprawdzić różnicę między prędkością założoną i przyjętą posługując się warunkiem wg pkt 2.
Jeżeli warunek jest spełniony kończymy obliczenia; jeżeli nie - powtarzamy cały cykl traktując obliczona wartość v jako wielkość wyjściową.
Przewody o przekroju różnym od kołowego. Promień hydrauliczny
We wszystkich zagadnieniach dotyczących przepływów istotne są zagadnienia dotyczące strat energetycznych. Źródłem powstawania strat są m. in. naprężenia styczne powstające na ściance przewodu. Łatwo można zauważyć, że opory przepływu przez przewody o różnym kształcie przekroju poprzecznego, ale o tym samym polu przekroju będą większe w przewodzie, którego obwód jest większy, ponieważ większe będą opory związane z lepkością cieczy. Dodatkowo można rozpatrywać przewody nie całkowicie wypełnione wodą ( kanalizacja, przewody otwarte). Ze wszystkich figur płaskich o tej samej powierzchni koło ma najmniejszy obwód, jest to więc kształt o najbardziej odpowiednim przekroju. Można założyć, że miarą strat w przewodach o różnym kształcie przekroju jest stosunek przekroju strumienia cieczy do obwodu zwilżonego:
W przypadku jakiegokolwiek przekroju, wielkością charakterystyczną dla przepływu płynu lepkiego jest liczba Re, jako miara stosunku sił bezwładności do sił lepkości. We wzorze na liczbę Re charakterystycznym dla danego przepływu wymiarem liniowym była średnica przewodu. Obliczając rh z podanego wyżej wzoru dochodzimy do wniosku, że jest on równy d/4. Używanie do obliczeń liczby Re wartości 4rh daje pełną zgodność z obliczeniami dla przekrojów kołowych.
Wydatek. Prędkość średnia. Współczynnik Coriolisa
Przepływy w przewodach o przekroju kołowym będziemy traktować jako jednowymiarowe, tzn. takie, w których w całym przekroju poprzecznym wszystkie parametry hydrauliczne są stałe. Takie podejście pozwala pominąć rozkład prędkości w danym przekroju, a tym samym upoważnia do posługiwania się prędkością średnią definiowaną jako:
Tak określona prędkość będzie podstawiana do równania Bernoulliego oraz będzie użyta do obliczenia Re.
Jeżeli uwzględnimy rozkład prędkości, to możemy stwierdzić, że przez elementarny pierścień o powierzchni 2πrdr przepływa elementarny wydatek:
Wydatek całkowity można obliczyć jak następuje:
Należy zaznaczyć, że z wyjątkiem przepływów laminarnych nie znamy ścisłej zależności opisującej rozkład prędkości.
Jeżeli podejmiemy próbę określenia w podobny sposób energii kinetycznej przepływającego płynu, otrzymamy:
Stosunek energii rzeczywistej do energii pozornej wyniesie
Stosunek ten jest zawsze większy od jedności. Wynika z tego, że pozorna energia kinetyczna przepływającego strumienia jest zawsze mniejsza od rzeczywistej. Zazwyczaj wyraz reprezentujący energie kinetyczną, przy przepływie cieczy, jest mały w porównaniu ze stratami. Związku z tym potrzeba uwzględniania tej różnicy może zachodzić tylko wtedy, gdy energia kinetyczna jest porównywalna ze stratami. Wówczas równanie Bernoulliego musiałoby mieć postać
Piezometryczna linia ciśnień. Linia energii
Wykres obrazujący zmianę wysokości ciśnienia statycznego wzdłuż osi przewodu nazywany jest linią piezometryczną. Nazwa wynika z metody określania ciśnienia. Linia obrazująca zmiany wysokości ciśnienia wzdłuż rurociągu jest linią łączącą poziomy cieczy w piezometrach zainstalowanych wzdłuż rurociągu. Linie ciśnień nie reprezentują całej energii płynu. Spadki ciśnień wywołane oporami przepływu reprezentują straty energetyczne. Zmiany ciśnienia wywołane zmianami przekroju reprezentują również zamianę energii potencjalnej ciśnienia na kinetyczną lub na odwrót; zmiany ciśnienia związane z opadaniem lub wznoszeniem się przewodu wynikają ze zmiany części energii potencjalnej ciśnienia w energię potencjalna położenia lub na odwrót.
Można wykazać, że straty energetyczne wywołane oporami liniowymi lub miejscowymi powodują jedynie spadek ciśnienia statycznego.
W tym celu rozpatrujemy poziomą rure o stałej średnicy d. W przekrojach 1 i 2 oddalonych od siebie o l zainstalowano manometry mierzące ciśnienia p1 i p2.
Dla takiego układu równanie Bernoulliego ma postać:
Oczywiście: V1 = V2 ponieważ d = const,
Wyszukiwarka