AKADEMIA TECHNICZNO - HUMANISTYCZNA

W BIELSKU - BIAŁEJ

INSTYTUT OCHRONY ŚRODOWISKA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA

ĆWICZENIE 3

OBLICZANIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH W PRZEKROJU WODOWSKAZOWYM O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA

Marzena Bartniczak

Rok studiów 2

Grupa 1

Bielsko - Biała , 2004

Spis treści

Strona

1. Określenie równania krzywej objętości przepływu (konsumpcyjnej)

1. Wyznaczenie stałej „B”

1. Określenie stałej „B” metodą Głuszkowa

2. Wyznaczenie parametrów „a” i „n”

2. Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych

3. Opracowanie ciągu rozdzielczego przepływów maksymalnych rocznych

4. Estymacja parametrów rozkładu Persona typ III

5. Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie pojawiania się

6. Obliczanie wartości przedziału ufności

1. Określenie równania krzywej objętości przepływu (konsumpcyjnej)

Kształt równania krzywej objętości przepływu oddaje krzywa potęgowa n-tego stopnia.

Równanie tej krzywej nosi nazwę równania Harlachera i przyjmuje postać:

(1)

gdzie:

Q - przepływ

H - stan wody cm

a , n - parametry równania

Stan wody H powiązany jest z napełnieniem T zależnością:

T=H+B (2)

Jednakże aby określić stan napełnienia oraz krzywą objętości przepływu musimy wyznaczyć wartość stałej „B” oraz parametry „a” i „n”.

1. Wyznaczenie stałej „B”

Odcięte punktu dennego krzywej przepływu czyli odczyt na wodowskazie przy którym Q=0 można określić kilkoma metodami opierając się na pomiarach lub konstrukcjach graficznych.

Do najczęstszych stosowanych metod należą:

• metoda poprzecznego przekroju cieku

• metoda z profilu podłużnego dna

• metoda Głuszkowa

• metoda prób z wykresu krzywej przepływu w podziałce logarytmicznej

W moim przypadku będę stosowała metodę Głuszkowa.

1. Określenie stałej „B” metodą Głuszkowa

Metoda ta opiera się na odręcznie wyrównanej krzywej przepływu. Na tej krzywej obiera się dwa oddalone od siebie punkty których współrzędne wynoszą odpowiednio Q₁ H₁ i Q₂ H₂ . Staramy się je tak wybrać aby stan H₁ był w przybliżeniu równy najniższemu stanowi a H₂ nie przekroczył punktu zdecydowanej zmiany krzywizny wykresu tzn. punktu przełomu lub punktu brzegowego krzywej przepływu.

Następnie oblicza się średnią geometryczną z obu tych przepływów:

(3)

Z empirycznej krzywej odczytujemy stan H₃ odpowiadający obliczonej wartości przepływu Q₃.

Otrzymujemy wtedy trzeci punkt o współrzędnych : Q₃ H₃

Wprowadzając określenie wartości do równania (1) otrzymujemy układ równań:

(4)

Podstawiając równanie (4) do (1) otrzymujemy :

(5)

Po podniesieniu równania (5) do kwadratu i wyciągnięciu pierwiastka stopnia n-tego otrzymujemy:

(6)

Stąd otrzymujemy :

(7)

W moim przypadku:

(H_{1 ;} Q₁) (1,72 ; 0,8 )

(H_{2 ;} Q₂) (0,81 ; 0,5 )

Obliczamy średnią geometryczną Q₃ :

(8)

Po naniesieniu tego punktu na krzywą objętości przepływu możemy odczytać odpowiadający jej stan wody H₃ .

Otrzymujemy punkt (H_{3 ;} Q₃) o współrzędnych ( 1,26 ; 0,64)

Mając te trzy punkty możemy obliczyć wartość stałej „B”

(9)

Wartość stałej „B” oraz krzywą objętości przepływu określono na podstawie tabeli zamieszczonej na stronie tematycznej ćwiczenia oraz na podstawie tabeli nr1 natomiast graficznie przedstawiono omawiane zależności na wykresie nr1 .

Q (m^3/s)	H (m)	B	T (m) T = H+B	log T	log Q
0,360	0,00	-55,70	55,70	1,7459	-0,4437
1,110	88,00	-55,70	143,70	2,1575	0,0453
0,582	146,00	-55,70	201,70	2,3047	-0,2351
0,727	170,00	-55,70	225,70	2,3535	-0,1385
1,581	195,00	-55,70	250,70	2,3992	0,1989
2,388	418,00	-55,70	473,70	2,6755	0,3780

Tabela nr 1

2. Wyznaczenie parametrów „a” i „n”

Wartości parametrów równania Harlachera wyrażające krzywą przepływu można określić graficznie i analitycznie.

W moim przypadku skorzystałam z metody graficzno-analitycznej. Wyniki zostały zamieszczone w tabeli nr2.

Q	H	T	logT	logQ
0,03	-50	5,7	0,75	-1,52
0,04	-45	10,7	1,02	-1,4
0,06	-40	15,7	1,19	-1,22
0,08	-35	20,7	1,31	-1,1
0,09	-30	25,7	1,4	-1,04
0,12	-25	30,7	1,48	-0,93
0,135	-20	35,7	1,55	-0,86
0,17	-10	45,7	1,65	-0,76
0,22	0	55,7	1,74	-0,65
0,24	10	65,7	1,81	-0,61
0,28	20	75,7	1,87	-0,55
0,315	30	85,7	1,93	-0,5
0,35	40	95,7	1,98	-0,45
0,385	50	105,7	2,02	-0,41
0,43	60	115,7	2,06	-0,36
0,46	70	125,7	2,09	-0,33
0,5	80	135,7	2,13	-0,3
0,525	90	145,7	2,16	-0,27
0,56	100	155,7	2,19	-0,25
0,59	110	165,7	2,21	-0,22
0,625	120	175,7	2,24	-0,2
0,66	130	185,7	2,26	-0,18
0,7	140	195,7	2,29	-0,15
0,73	150	205,7	2,31	-0,13
0,77	160	215,7	2,33	-0,11
0,8	170	225,7	2,35	-0,09
0,84	180	235,7	2,37	-0,07
0,885	190	245,7	2,39	-0,05
0,93	200	255,7	2,4	-0,03
0,965	210	265,7	2,42	-0,01
1	220	275,7	2,44	0
1,05	230	285,7	2,45	0,03
1,09	240	295,7	2,47	0,04
1,13	250	305,7	2,48	0,06
1,18	260	315,7	2,49	0,08
1,22	270	325,7	2,51	0,09
1,27	280	335,7	2,52	0,11
1,32	290	345,7	2,53	0,13
1,365	300	355,7	2,55	0,14
1,42	310	365,7	2,56	0,16
1,47	320	375,7	2,57	0,17
1,525	330	385,7	2,58	0,19
1,58	340	395,7	2,59	0,2
1,64	350	405,7	2,6	0,22
1,7	360	415,7	2,61	0,24
1,75	366	421,7	2,62	0,25
1,78	370	425,7	2,62	0,26
1,85	380	435,7	2,63	0,27
1,9	386	441,7	2,64	0,28
1,93	390	445,7	2,64	0,29
1,95	393	448,7	2,65	0,3
2	398	453,7	2,65	0,31
2,05	403	458,7	2,66	0,32
2,1	407	462,7	2,66	0,33
2,145	410	465,7	2,66	0,34
2,2	412	467,7	2,66	0,35
2,25	415	470,7	2,67	0,36
2,3	417	472,7	2,67	0,37
2,35	418	473,7	2,67	0,38
2,4	418	473,7	2,67	0,39

Tabela nr2

Metoda ta polega na wyrównaniu odręcznym punktów pomiarowych naniesionych na wykres w skali logarytmicznej (wykres nr.2) za pomocą linii prostej. Na tej prostej obiera się dwa punkty : początkowy i końcowy .

Logarytmując równanie (1) i podstawiając równanie (2) otrzymujemy :

(10)

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych (logT₁;logQ₁) i (logT₂;logQ₂) ma postać:

(11)

Po uporządkowaniu mamy:

(12)

Porównując równanie (10) i (12) otrzymujemy:

(13)

oraz:

(12)

skąd:

(13)

Podstawiając wartości liczbowe prostej I

(logQ₁;logT₁) (-1,52;0,75)

(logQ₂;logT₂) (-0,14;1,4)

do wzorów otrzymuję:

(14)

Podobnie postępujemy z prostą II i prostą III

n = 0,98373984

loga = -2,3906504 prosta II

a = 0,00406771

n = 0,56666667

loga = -1,3596667 prosta III

a = 0,0436851

Obliczone współczynniki zamieściłam w tabeli nr 3.

Prosta I	logQ1	-1,52	logT1	0,75	n=	2,12307692
	logQ2	-0,14	logT2	1,4	loga=	-3,1123077
					a=	0,00077213
Prosta II	logQ1	-1,22	logT1	1,19	n=	0,98373984
	logQ2	-0,01	logT2	2,42	loga=	-2,3906504
					a=	0,00406771
Prosta III	logQ1	0,04	logT1	2,47	n=	0,56666667
	logQ2	0,125	logT2	2,62	loga=	-1,3596667
					a=	0,0436851

Tabela nr3

Współczynniki „a” i „n” dla prostych

2. Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych na podstawie stanów maksymalnych

W zależności od parametrów a i n równanie Harlachera przyjmuje postac:

• dla prostej I

(15)

• dla prostej II

(16)

• dla prostej III

(17)

Korzystając z tych wzorów obliczam Q_max. Otrzymane wyniki zamieściłam w tabeli nr4 oraz na wykresie nr3.

m	rok	Hmax (m)	Qmax(m^3/s)	rok	Qmax(m^3/s)
1	1969	256	0,880	1975	1,379
2	1970	219	0,611	1981	1,351
3	1971	335	1,063	1989	1,281
4	1972	256	0,880	1984	1,275
5	1973	340	1,074	1995	1,253
6	1974	377	1,151	1979	1,237
7	1975	498	1,379	1988	1,208
8	1976	320	1,030	1991	1,189
9	1977	355	1,105	1987	1,177
10	1978	381,00	1,159	1978	1,159
11	1979	421	1,237	1997	1,157
12	1980	228,00	0,645	1974	1,151
13	1981	482	1,351	1986	1,126
14	1982	227	0,641	1977	1,106
15	1983	280	0,939	1973	1,074
16	1984	441	1,275	1971	1,063
17	1985	252	0,870	1976	1,030
18	1986	365	1,126	1994	1,012
19	1987	390	1,177	1993	0,981
20	1988	406,00	1,208	1983	0,939
21	1989	444	1,281	1969	0,880
22	1990	206	0,564	1972	0,880
23	1991	396	1,189	1992	0,880
24	1992	256	0,880	1996	0,878
25	1993	298	0,981	1985	0,870
26	1994	312	1,012	1980	0,645
27	1995	429	1,253	1982	0,641
28	1996	255	0,878	1970	0,611
29	1997	380	1,157	1990	0,564

Tabela nr4

Przepływy max roczne obliczone wg wzoru Q_max=a*(H_max+B)*ⁿ

3. Opracowanie ciągu rozdzielczego przepływów maksymalnych rocznych

Aby utworzyć ciąg rozdzielczy przepływów maksymalnych rocznych wartości maksymalnych rocznych przepływów uporządkowano od największej do najmniejszej oraz każdemu wyrazowi ciągu rozdzielczego Q_max przyporządkowano wartość prawdopodobieństwa empirycznego „empirycznego” obliczonego ze wzoru:

(18)

gdzie:

m - mty wyraz ciągu

N - ilość elementów ciągu N=29

Utworzony ciąg rozdzielczy przepływów maksymalnych rocznych oraz odpowiadające im wartości empiryczne przedstawiono w tabeli nr4.

m	Hmax (m)	Qmax(m^3/s)	P%
1	498	1,379	3,33
2	482	1,351	6,66
3	444	1,281	10
4	441	1,275	13,33
5	429	1,253	16,66
6	421	1,237	20
7	406,00	1,208	23,33
8	396	1,189	26,66
9	390	1,177	30
10	381,00	1,159	33,33
11	380	1,157	36,66
12	377	1,151	40
13	365	1,126	43,33
14	355	1,105	46,66
15	340	1,074	50
16	335	1,063	53,33
17	320	1,030	56,66
18	312	1,012	60
19	298	0,981	63,33
20	280	0,939	66,66
21	256	0,880	70
22	256	0,880	73,33
23	256	0,880	76,66
24	255	0,878	80
25	252	0,870	83,33
26	228,00	0,645	86,66
27	227	0,641	90
28	219	0,611	93,33
29	206	0,564	96,66

Tabela nr4

Ciąg rozdzielczy przepływów maksymalnych rocznych oraz odpowiadające mu wartości prawdopodobieństwa empirycznego.

4. Estymacja parametrów rozkładu Persona - typ III.

Po obliczeniu wyrazów ciągu rozdzielczego Q_max oraz odpowiadających mu prawdopodobieństw empirycznych wyznaczone punkty nanosimy na podziałke prawdopodobieństwa przedstawioną na wykresie nr4

Powstały w ten sposób zbiór punktów połączono odręczną krzywą tworząc empiryczna krzywą prawdopodobieństwa.

Następnie z krzywej odczytano następujące wartości:

• Q₁₀ - przepływ odpowiadający prawdopodobieństwu p=10%

• Q₅₀ przepływ odpowiadający prawdopodobieństwu p=5%

• Q₉₀- przepływ odpowiadający prawdopodobieństwu p=9%

• Q₁₀ - przepływ odpowiadający prawdopodobieństwu p=100%

gdzie:

• Q₁₀ = 1,281 m³/s

• Q₅₀ = 1,074 m³/s

• Q₉₀ = 0,641 m³/s

• Q₁₀₀ = 0,6 m³/s

Na podstawie odczytanych wartości obliczamy:

• Współczynnik zmienności „c_v” wg wzoru

(19)

wobec tego:

(20)

• Współczynnik asymetrii w funkcji wyrażenia:

(21)

wobec tego:

(22)

Wartość współczynnika asymetrii „s” odczytanego z

---