GOTOWE, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymałość materiałów II, WM 2, Wydymała II, Wydymałka sem3,4, WYDYMAŁA 2


1.Suma prac przygotowanych uogólnionych sił zewnętrznych jest równa sumie prac przygotowanych uogólnionych sił wewnętrznych fiδgi=∫(Nδ1+Msδχs+M2δχ2+M3δχ3+T2δχ2+T3δχ3)dx1

2.Zastosowanie prac przygotowanych w układach prętów sprężystych : Układy prętowe liniowo-sprężyste spełniają następujące warunki: - materiał jest liniowo-sprężysty, czyli zależność odkształcenie naprężenie określona jest prawem Hooke'a, - przemieszczania są małe, - na ruchomych powierzchniach styku elementów układu pomija się siły tarcia. Dla tych układów przemieszczenia i odkształcenia przygotowane mogą być określone w funkcji uogólnionych sił wewnętrznych. Pręt obciążony kolejno układem sił Q i układem Qk. Obciążeniom tym odpowiadają siły wewnętrzne: N, MS, M2, M3, T2, T3 orazN'

MS', M', M3', T2', T3'. Obciążenie Qi przeprowadza pręt w położenie równowagi określone przemieszczeniami qi. Odpowiadają im przemieszenia wewnętrzne: du=N/EA*dx1,dψ=M3/EI3*dx1 ,dφ=Ms/GIs*dx1 ,dv2=T22GA*dx1 ,dψ2=M2/EI2dx1 ,dv3=T33GA*dx1 , 1/α2=A/I32*∫S(3)2/b32*dA , 1/∫α3=A/I22*∫S(2)2/b22*dA . Zachodzą równości δq'k=qk , δqi=gi -wtedy zasada przyjmuje postać : Qkqk=∫(N'*N/EA+Ms'*Ms/GIs+M2'*M2/EI2+M3'*M3/EI3+T2'*T22GA+T3'*T33GA )dx1 . Qiqi = Qkqk, co jest zasadą wzajemności prac Bettiego.

3. Obliczanie przemieszczeń zginanych prętów statycznie wyznaczalnych: Zasada prac przygotowanych odniesiona do obciążenia jednostkowego przyjmuje postać: 1qk=qk=∫(n*N/EA+ms*Ms/GIs+m2*M2/EI2+m3*M3/EI3+t2*T22GA+t3*T33GA )dx1 . Pomijając siły tnące qk=q=∫m3M3/EI3*dx1 . Dla przypadku Ei3-EI=const : m3=mq ,M3=Mq q=1/Ei*∫mqMqdx1 . . Jeżeli jedna z funkcji występujących pod całką jest

funkcją liniową, to całkę tę (całka Mohra) można obliczyć sposobem geometrycznym, nazywanym sposobem Wereszczagina.: mg=ax1+b ,

∫mgMgdx1=a∫Mgx1dx1+b∫Mgdx1, ∫Mgdx1=Fi ,∫Mgx1dx1=Fix1C , ∫mgMgdx1=(ax1C+b)FiiFi . Jest to iloczyn pola Fi wyznaczonego funkcją Mg oraz granicą całkowania i rzędnej i, będącej wartością momentu mg, odpowiadającej współrzędnej środka ciężkości pola Fi. Iloczyn dodatni, gdy wykresy leżą po tej samej stronie osi pręta, ujemny - gdy po przeciwnych. q-1/EI*∑ηiFi

4. Obliczanie reakcji statycznie niewyznaczalnych: Układami statycznie niewyznaczalnymi nazywa się układy, w których liczba reakcji więzów jest większa od liczby statycznych równań równowagi. Układy takie zamienia się w dowolny sposób na układy statycznie wyznaczalne, usuwając odpowiednią liczbę więzów i zastępując ich reakcje chwilowo nieznanymi siłami - reakcjami hiperstatycznymi. Siły te znajdujemy z warunku odpowiadającym im przemieszczeń równych zero. Prowadzi to do układu równań, zwanych równaniami ciągłości przemieszczeń lub kanonicznymi Maxwella - Mohra: α11X112X210=0 , α21X122X220=0 ,ogólnie ∑αijXji0=0 i,j=1,2....,n , Ogólnie :α10=∫Mg(0)mg(i)/EI3 dx1 , αij=∫Mg(i)mg(j)/EI3dx1

5.Obliczanie przemieszczeń układów statycznie niewyznaczalnych : Układ jest jednokrotnie niewyznaczalny. przekształcamy w statycznie wyznaczalny i po rozdzieleniu obciążenia na stan „0” i „1” można przemieszczenie Vc potraktować jako sumę przemieszczeń wywołanych stanami „0” i „1” czyli Vc=Vc(0)+Vc(1)X1 W celu obliczenia składowych Vc(0) i Vc(1) należy statycznie wyznaczalny układ obciążyć dodatkową siłą jednostkową (stan „f”), przyłożoną w punkcie C zgodnie z kierunkiem poszukiwanego przemieszczenia. Stąd Vc(0)=∫Mg0mgf/EI3*dx1 Vc(1)=∫Mg(1)mgf/EI3*dx1 .Ogólnie Vc=Vc0+∑viXi (i=1,2,3,...,n)

6.Twierdzenie Castigliano i zasada Menabre'a: Obok zasady prac przygotowanych w analizie układów liniowo-sprężystych jest stosowana zasada zachowania energii. Według niej praca L uogólnionych sił zewnętrznych Qi na odpowiadających im przemieszczeniach uogólnionych qi jest równa energii wewnętrznej. U odkształcenia sprężystego: U = L = ½ Qiqi - fakt liniowego narastania obciążeń od wartości zerowych do końcowych. Dla układów liniowo sprężystych Clapeyrona qiijQj (i,j=1,2...,n) U=1/2ijQiQj U=1/2*∫(Ndu+Msdφ+M22+M33+T2dv2+T3dv3)dx1 U=1/2*∫N2/EA+Ms 2/GIs+M2 2/EI2+M32/EI3+T2 22GA+T3 23GA)dx1 ∂U/∂Qk=∂/∂Qk*1/2*(αijQiQj)=1/2*(αkjQjikQi)=qk Tw. Castigliano: Pochodna cząstkowa sprężystej energii wewnętrznej całego układu względem

jednej z niezależnych sił uogólnionych jest równa

przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile. ∂U/∂Qi=qi U=f(Qi,Xn) Ponieważ w punktach działania reakcji hiperstatycznych przemieszczenia im odpowiadające są równe zero, to zgodnie z tw. Castigliano co jest Zasadą Menabrei: pochodna cząstkowa energii wewnętrznej całego układu względem reakcji hiperstatycznych wynosi 0. Twierdzenie Castigliano oraz zasada Menabrei odnoszą się wyłącznie do układów liniowo-sprężystych

7.Rodzaje zagadnień kinetostatycznych: Do zagadnień tych należą przypadki powstawania stałych sił dynamicznych pod wpływem ruchu układu. Po ich uwzględnieniu, zgodnie z zasadą d'Alamberta dalej zagadnienie traktujemy jako statyczne. Jeżeli spodziewane przemieszczenia są małe w stosunku do wymiarów, to nie uwzględnia się ich wpływu na wartość przyspieszeń. W analizie kinematycznej współrzędne punktów

przyjmuje się w układzie nie odkształconym. Przykładem zagadnienia może być Łopata wentylatora lub turbiny, zaprojektowana tak, aby naprężenia w każdym jej punkcie były jednakowe. Mówi się o konstrukcji o stałej wytrzymałości. Należy ustalić niezbędną zmianę przekroju łopaty, aby warunek stałej wytrzymałości został spełniony Kr=(A+dA)+S-krA=0 S=Aγdx/g*ω2x dA/A=-γ/gkr2xdx A=A0exp*[γ/2gkr2*(L2-x2)]

8.Przykład obrotów krytycznych wału: Przykładem zastosowania metody kinetostatycznej jest ustalenie obrotów krytycznych wirującego

wału z osadzonym na nim ciężarze Q. Można

przyjąć, że ciężar osadzony jest na wale z pewnym mimośrodem c W skutek obrotów wał doznaje ugięciu f. Zakładamy że: S = kf; k - stała sprężystości układu równa sile potrzebnej do statycznego ugięcia wału o jednostkę długości 2 zasady prac przygotowanych f = S ;  - przemieszczenie wywołane jednostkowym obciążeniem (współczynnik opływu albo podatności układu). k = 1/.

. S=kf f=Sα k=1/α S=Q/g*ω2*(f+e) f=ω2e/[kg/Q-ω2] kg-ω2=0 ωkr=√[kg/Q] f=e/[(ωkr/ω)2-1]

9.Założenia i omówienie zagadnienia uderzenia: Ścisłe rozwiązanie zagadnienia uderzenia jest dość skomplikowane i zależy od właściwości fizycznych rozważanych ciał. Stosuje się rozwiązania przybliżone. Założenia: - określa się wielkości maksymalne siły i naprężenia powstałe w procesie uderzenia, a nie ich przebieg w czasie, - w układzie nie ma tłumienia, stąd obliczone wielkości są większe niż rzeczywiste, co zwiększa bezpieczeństwo, - w czasie uderzenia zderzające się masy pozostają ze sobą w kontakcie, - dement uderzony odkształca się dynamicznie w podobny sposób jak przy obciążeniu statycznym.

Elementem uderzającym jest ciężar Q, elementem uderzanym jest układ liniowo-sprężysty (belka o długości L i ciężarze jednostkowym q). o charakterystyce Q = ku; k- stała sprężystości układu. Zakładamy u(x1t) = u g(x) - ugięcia; v1(x1t) = v1 q(x) - prędkości; q(x) - funkcja uwzględniająca fakt zmniejszania się prędkości punktów ciała uderzonego w miarę zbliżania się do nieprzesównych punktów podparcia. u,v1 - przemieszczenie i prędkość w punkcie uderzenia.. Wyrównanie prędkości ciała uderzającego i uderzanego od v do v1. Spełniona zasada zachowania pędu: Q=ku QV=QV1+QLv1*∫g(x)*dx/L v1=v/[1+β*qL/Q] β=1/L*∫g(x)dx Ek=1/2*Q/q*v12+1/2*qL/q*v12*∫g2(x) dx*1/L = ½*Q/q*v12*(1+α*qL/Q) α=1/L*∫g2(x)dx Ek=1/2*Q/q*v2*[(1+α*qL/Q)/(1+ β*qL/q)2]

10.Uderzenie poziomego: Energia kinetyczna zamienia się na energię potencjalną odkształcenia sprężystego Us. Pd - maksymalna siła dynamiczna powstała w procesie uderzenia; td - maksymalne przemieszczenie punktu uderzenia układuSiła dynamiczna Pd = k td. Układ pracuje jakby był obciążony siłą statyczną Pd. Gdy masa uderzonego ciała jest pomijalnie mała (w stosunku do ciężaru Q) f - statyczne ugięcie układu pod działaniem siły Q w punkcie uderzenia. Us=1/2*Pdfd=1/2*kfu2 Ek=Us fd=[v/(1+ β*qL/Q)]*√[Q/kg*(1+α*qL/Q)] Pd=kfd fd=v*√[Q/kg]=v√[f/g]

11.Uderzenia pionowego: W tym przypadku należy w bilansie energii uwzględnić pracę L ciężaru Q na drodze fd, gdzie L = Q fd Ek + L =Us . Przyjmujemy, że spadek ciężaru następuje z wysokości h, jego prędkość w momencie

uderzenia wynosi V = 2gh. W praktyce jedna ugięcie jest pomijalnie małe w porównaniu do wysokości spadku L=Qfu Ek+L=Us v-√[2gh] fd2-2fuf-2fh*[(1+α*qL/Q)/(1+ β*qL/Q)2]=0 fd=f{1+√[1+2h/f+(1+α*qL/Q)/(1+ β*qL/Q)2 fd={√[2fh*(1+α*qL/Q)]}/ (1+β*qL/Q)

12.Zjawisko kruchego pękania i jego typy: Najbardziej niebezpieczne jest kruche pękanie. Powstaje ono nagle i rozwija się z prędkością zbliżoną do prędkości dźwięku, właściwą dla danego materiału w zakresie umownie sprężystym, a więc bez makroskopowych odkształceń plastycznych w kierunku normalnym do największych wydłużeń materiału polikrystalicznego. Zachodzi wzdłuż tzw. płaszczyzn łupliwości ziarna, tworząc przełom transkrystaliczny lub po granicach ziarn - tworząc przełom międzykrystaliczny. U podstaw

mechaniki pękania leży praca Griffitha, który przyjął wytrzymałość na ściskanie (gdy szczeliny się zaciskają), lecz daje znać o sobie przy rozciąganiu, gdy szczeliny się otwierają, - energia nagromadzona w materiale składa się z części spowodowanej istniejącymi naprężeniami oraz części zależnej jedynie od powierzchni badanego ciała, zwanej energią powierzchniową. Griffith przyjął, że szczelina może być opisana zdegenerowaną elipsą o krótszej osi b  0 oraz dłuższej 2a wartość naprężenia δ w punkcie ( a, 0) б22=б(1+2*√[a/ς] W rozciąganej elipsie na jej końcach naprężenia będą bardzo duże. Istnieją więc warunki do powiększania się szczeliny. Mogą istnieć trzy różne rodzaje pęknięć, ponumerowane Istnieją krytyczne współczynniki intensywności naprężenia dla tych rodzajów pękania powiązane zależnościami : Ky  K u'=u

b'=2a*[(1-v2)/E]*б K11C=KIC K111C=KIC/(4*√[1-v]) бiky=Kj/√[2πr]*fik(θ) y=(I,II,III)

13.Współczynnika intensywności naprężenia i i podstawowe zależności: Praca potrzebna do otworzenia degenerowanej

elipsy Energia powierz -

chniowa, którą należy

pokonać przy kształtowaniu szczeliny o długości 2a Up = 4 γ a Jeśli połowa długości szczeliny wzrośnie o da to wyzwoli się energia d ( Us) = dW = 2a (1 - r2) δ2/E da oraz zwiększy energię powierzchniową d Up = 4 γ da .Jeśli d ( Us) > dUp - szczelina rozszerza się; d ( Us) < dUp - szczelina nie rozwiera się dalej.n 2 równości d( Us) = dUp można otrzymać Wprowadźmy pojęcie współczynnika intensywności naprężenia KI = δa Jego wartość krytyczna Wielkość KIc jest nową stałą materiałową (odporność lub wytrzymałość na pękanie), którą wyznaczamy doświadczalnie. Warunek zabezpieczenia przed kruchym pękaniem KI = δa  KIc. Jest to kolejny, niezależny od

innych, warunek wytrzymałościowy. Warunek można traktować dwojako; przy znanej długości szczeliny 2a można określić naprężenia pękania Rpkr) lub przy danym naprężeniu δ znaleźć

krytyczny wymiar szczeliny W=2*1/2*∫бf(x)dx=1/2бA A=πab' W=πa2*(1-v2)*б2/E Up=4aγ d(∆Us)=dW=2πa*(1-v2)*б2/E*da d(∆Us)>dUp d(∆Us)<dUp d(∆Us)=dUp

14.Zjawiska zmęczenia: Obciążeniom zmiennym w czasie towarzyszy obniżenie nośności elementów i konstrukcji w stosunku do nośności przy obciążeniach stałych. Całokształt zjawisk związanych ze znacznym spadkiem wytrzymałości materiału na obciążenie zmienne nazywa się zmęczeniem materiału. Na podstawie badań stwierdzono: - wpływ częstości zmian obciążenia w zakresie stosowanym w technice jest pomijalny przy określaniu wytrzymałości zmęczeniowej, - kształt impulsu zmiany obciążenia ma mały wpływ na wytrzymałość zmęczeniową, - wytrzymałość zmęczeniowa maleje wraz ze wzrostem zarówno

wartości średniej jak i amplitudy obciążenia, - wytrzymałość zmęczeniowa jest silnie zależna od stanu powierzchni badanego elementu, jego wielkości, kształtu, - trwała wytrzymałości występuje jedynie, jeśli nie dopuści się do wystąpienia uplastycznienia materiału. Dla opisów ilościowych wprowadzono dwie zmienne: naprężenia średnie δm i naprężenia amplitudowe δa gdzie: δm = ½ (δmax + δmin) δa = ½ (δmax - δmin). δmax i δmin - charakterystyczne naprężenia dla rozważanego przypadku obciążenia. Naprężenia zmieniają się zgodnie z zależnością б=бma*sinωt ω - częstotliwość zmian obciążenia.

15.Wykres Wöhlera: Wytrzymałość R = δmax spada wraz ze wzrostem liczby cykli N zmian naprężenia (obciążenia), żeby się ustalić na poziomie tak zwanej wytrzymałości trwałej R,

oznaczonej również jako Z(x) z dodatkowym

wskaźnikiem w celu odróżnienia np. rozciągania od skręcania. Dla skali wytrzymałości stała występuje przy ok. 104 cykli. Krzywa Wöhlera może być aproksymowana w układzie jednologarytmicznym przez dwie proste

16.Wykresu Haigha: Wykres Haigha jest miejscem geometrycznym trwałej wytrzymałości zmęczonej Z dla wszystkich możliwych cykli danego przypadku obciążenia (charakteryzujący się różnymi wartościami współczynnika asymetrii x). Teoretycznie jest to krzywa monotoniczna, apoksymowa w praktyce dwiema prostymi. Punkt

A na osi δa określa na obu wykresach granicę zmęczenia przy obciążeniach wahadłowych. Punkt B na osi δm na wykresie teoretycznym wyznacza w przybliżeniu wytrzymałość przy obciążeniu statycznym np. Rm dla rozciągania. W praktyce stosuje się niższy wskaźnik Re - punkt B'. Również naprężenia amplitudalne nie mogą przekroczyć naprężeń Re, stąd ograniczenie prostą δa = Re (1 - δm/Re). Drugą prostą apoksymującą krzywą teoretyczną rysuje się przyjmując, że przechodzi ona przez punkt A(δa = Z(-1)) oraz punkt C, w którym δa = δm = Zd/2. Z(0) - granica zmęczenia przy obciążeniach jednostkowych zmiennych np. Zrj, Zgij, Zsj. Jest to prosta o równaniu δa = Z(-1) - [2 Z(-1) - Z(0) / Z(0)] δm. Obie proste ograniczają obszar, który możemy uważać za bezpieczny dla trwałej wytrzymałości zmęczeniowej. бa=Z(-1)-[(2Z(-1)-Z(0))/Z(0)]*бm

17.Obliczanie przy pomocy wykresu Haigha ograniczonej i nieograniczonej wytrzymałośći zmęczeniowej: Wytrzymałość trwała.

Na wykresie Haigha

rysujemy prostą δa=φδm

=tgφδm celu określenia

δa dop. lub δm dop. w zależ

ności od współczynnika

dynamiczności obciążenia

ψ=бam=Pa/Pm=tgφ Pa, Pm - charakterystyczne dla danego przypadku obciążenia amplitudalne średnie. Punkt pracy P przy danym cyklu

obciążenia powinien znajdować się na prostej OD., a odcinek PQ jest miarą współczynnika bezpieczeństwa. Do obliczeń wstępnych przyjmuje się pewną wartość współczynnika , który dla silnie obciążonych urządzeń waha się w granicach 1,45  1,85. Wielkość elementu i jego stan powierzchni powodują na ogół obniżenie trwałej wytrzymałości zmęczeniowej. Z tego względu stosujemy pewną wielkość k(H) odniesioną do trwałej wytrzymałości Z(H): k(H) = Z(H)/xz k(H) - dop. nap. zmęczen. xz - współ. bezp Wykres Heigha powinien być zbudowany z uwzględnieniem k(H), a punkt pracy P powinien znajdować się w obszarze bezpiecznym. Wytrzymałość ograniczona.

Do obliczeń posług

ujemy się wykresem

Wöhlera w skali

jednologarytmicznej i zmodyfikowanym wykresem

Haigha. Proste tworzące zmodyfikowany wykres Haigha są równoległe do prostej wyznaczającej wytrzymałość trwałą. Dalsze obliczenia prowadzi się jak dla wyt..бa=ψбm=tgφбm

18.Wytężenie przy występowaniu zmęczenia:. W przypadku stanów dwuwymiarowych naprężeń panujących na swobodnych powierzchniach,, jeżeli δ1 = δm + δ1a sin wt δ2 = δ2m + δ2a sin wt to kryterium trwałej wytrzymałości zmęczeniowej Z-1, Z0 - trwała wytrzymałość zmęczeniowa dla rozciągania - ściskania i jednostronnego rozciągania. Ograniczenia: Ze względu, że wyrażenie pod pierwiastkiem i w nawiasie okrągłym we wzorze (x) są niezmiennikami tensora naprężeń, składowe główne mogą być zastąpione składowymi dowolnymi. б11m1a*sinωt б22m2a*sinωt √[б1a21aб2a2a2]+X(б1m2m)≤ Z(-1)(x) x=[Z* (Z(-1)/Z(0))]-1 √[б1m21mб2m2m2] ≤Re

19.Zjawiska reologiczne na przykładach:. Związki fizyczne: s = 2G(e) δ = B() gdzie s, e, δ,  oznaczają część dewiatoryczną i kulistą odpowiednio tensora naprężenia i odkształcenia. Wielkości G i B są pewnymi funkcjami tensorowymi, nie znanymi dotychczas, które trzeba wyznaczyć wykorzystując pewne założenia i obserwacje doświadczalne. Przy badaniu nowych, nie znanych zjawisk istnieje pewna rutyna postępowania zwana modelowaniem. Próżnia: materiał, w którym s = 0, δ = 0, a w związku z tym e i  są nieokreślone. Ciało sztywne: ciało, w którym e = 0,  = 0 to (ewentualne) s i δ mogą istnieć, ale tylko dlatego, że muszą być spełnione równania równowagi. Ciało takie jest podstawowym modelem mechaniki, jest również stosowane w wytrzymałości materiału. Gaz idealny: s = 0

; δ = B ; gaz doskonały lub gaz Maxwella.

Ciecz lepka: s = 2e ;  = 0 to idealna ciecz lepka (ciecz Newtona). e - pochodna czasowa,  - współczynnik lepkości. Pewne uogólnienie cieczy Newtona jest ciecz Pascala s = 2e , δ = Be , wykazująca nie tylko zjawisko lepkości, ale także idealną sprężystość objętościową przy braku sprężystości postaciowej (stosowana w aerodynamice). Ciało sprężyste: Ciało wykazujące sprężystość postaciową i objętościową s = 2Ge , δ = B. Graficznym

obrazem takiego modelu jest

sprężyna,której przypisuje

się stałe Blub G (czasem E)

Modelem cieczy Newtona (ciecz lepka) jest schemat tłumika hydra

ulicznego, któremu przy

pisuje się współczynnik

lepkości postaciowej 

lub objętościowej x Tworząc kombinację obu

modeli, oddzielnie dla części dewiatorycznej i kulistej, można zbudować wiele modeli mechanicznych, tzw. ciał lepkosprężystych. Model cieczy Maxwella, która charakteryzuje się sprężystością postaciową

i nieograniczony płynięc

iem pod obciążeniem.

Ciecz ta wykazuje zjawisko

relaksacji, ale nie wykazuje zjawiska pełzania. Ciało stałe Kelvina nie wykazuje nieogran -iczonego płynięcia,

ale tylko pełzanie

20.Ciała Boltzmanna: Model fizyczny opiera się na następujących założeniach: - odkształcenie ciała składa się z dwóch addytywnych członów (zasada superpozycji) z których jeden jest sprężysty a drugi (niesprężysty) zależny od czasu,

- odkształcenie zależne od czasu narasta przez cały czas działania obciążenia, a jego przyrost elementarny jest proporcjonalny do przyrostu czasu, - związki między tensorami naprężenia odkształcenia są liniowe. Związki między dewiatorami e i s przy założeniu, że identyczne co do budowy związki tworzą części kuliste obu tensorów e = e(t) = es + et es = 1/2G s wskaźniki s, t oznaczają odpowiednio zależności sprężyste i czasowe. W chwili  , w czasie delta  , działa dewiator naprężenia s(). Wywoła on odkształcenie, które w materiale nie ustali się, natomiast w wyniku cech lepkosprężystych materiału będzie się zmieniało proporcjonalnie do funkcji czasu L(t - ). Dla t >  przyrost odkształcenia wyniesie Gt - czasowy moduł materiałowy. Ciągłe działanie naprężeń w chwilach i - metoda superpozycji: w = G/Gt i

przechodząc do granicy Ostatecznie: Przyjmując

e=e(t)=es+et , es=1/2G*s ∆et=1/2Gt*s(τ)*L*(t-τ)∆τ , et=1/2G*ω*∑L*(t-τ)*s(τ)*∆τ ω=G/Gt ,et=1/2G*ω*∑L*(t-τ)*s(τ)*dτ e(t)=1/2G*[s(t)+ω*∫L*(t-τ)*s(τ)*dτ] L*(t-τ)=α-α*(t-τ) e(t)=1/2G*[s(t)+ω*∫s(τ)αe-α(t-τ)*dτ] α=G/η

21.Przekształcenia Laplace'a w lepkosprężystości: s(t) = s0 = const e(t) = s0/2G [1 + w(1 - e-t)] - co przedstawia wykres. Funkcjonał w(1 - e-t) nosi nazwę funkcji pełzania. Dla :

s(t) = s0 i e(t) = e0

- utrzymane na

stałym poziomie.

Stosując przekształcenie Laplace'a i twierdzenie Borel p - parametr przekształcenia, kreseczka nad

wyrażeniem oznacza transformatę. Po przekształceniu Po dokonaniu transformacji odwrotnej .Uogólniając

e = 1/2G*[1 + wL(p)] s

- dla dowolnej funkcji

historii obciążenia L(t).

Wprowadzając

oznaczenie 1/G(p) = 1/G [1 + wL(p)]. Zapisujemy e = 1/2G(p) s. Transformaty Laplace'a związków fizycznych lepkosprężystości są identyczne w budowie ze związkami fizycznymi liniowej sprężystości s(t)=s0=const e(t)=s0/2G*[1+ω*(1-e-αt)] ω*(1-e-αt) s(t)=s0 e(t)=e0 e*1/2G*[1+ω*α/(α+p)]*s s=2G*[1-ω/(1+ω)* β/( β+p)]*e β=(1+ω)*α s(t)=2G*[e(t)-ω/(1+ω)*∫e(τ) βe -β*(t-τ)*dτ] e=1/2G*[1+ωL(p)] e=1/2G(p)*s

22.Zastosowanie modułów i podatności zespolonych: Obciążenie dane w postaci zależności s(t) = s0 eipt s0 - tensor amplitudy, p - częstość obciążenia. e(t) = s0/2G (1 + w/+ip) eipt - s0/2G w/+ip e- t. Po krótkim czasie od chwili przyłożenia obciążenia część nieokresowa znika e(t) = s0/2G (1 + w/+ip) eipt. Po przekształceniu Przekształcając kąt δ - kąt opóźnienia fazowego lub strat mechanicznych s(t)=s0*eipt e(t)=s0/2G*[1+ωα/(α+ip)]*eipt -s0/2G ωα/(α+ip) e-αt e(t)=s0/2G [1+ωα/(α+ip)]eipt s(t)/e(t)=2G/[1+ωα/(α+ip)]=2Gx Gx=G0eiδ G0=G*√[α4p2/((1+ω)2α2+p2)] tgб=αωp/((1+ω)α2+p2) e(t)=1/2Gx s0eipt =s0/1G0*ei*(pt-б)

23.Zjawiska zależne od czasu i temperatury w metalach: Temperatura homologiczna - stosunek temperatury aktualnej do temperatury topnienia. Gdy stosunek ten jest mniejszy od 1/3 , zjawiska

czasowe są niezauważalne. W odniesieniu do pełzania zjawisko to zostanie przedstawione dla przypadku rozciągania naprężeniem δ0, utrzymanym na stałym poziomie przy określonej temperaturze T. Rozróżnia się trzy charakterystyczne okresy pełzania. I - nieustalone pełzanie początkowej przy malejącej prędkości odkształcenia , II - pełzanie quasi - ustalone przy  = const, III - okres spontanicznego wzrostu odkształcenia (kumulowanie się defektów, osłabienie struktury), zakończony zerwaniem próbki. Można

zapisać:

(t) = s + p(t)

s = δ0/E - część

sprężysta ep(t) -

„pełzająca” część

odkształcenia. Często

przyjmujemy formułę p(t) = aδ0m tn gdzie a, m, n,

wyznaczamy doświadczalnie. Dla pełzania ustalonego n = 1. Zjawisko relaksacji w metalach może być opisany zależnością δ(t) = C e- t. Współczynnik [s-1] określamy doświadczalnie związany jest z tzw. czasem relaksacji r - zależnym od właściwości fizycznych i struktury metalu, temperatury itp.  = 1/r. Stała C wynika z warunków początkowych: dla t = 0  δ = δ0 = E 0. ε (t)=εsp(t) εs0/E εp(t)=aб0m*tn б(t)=Ce-αt α=1/τr б(t)=б0e-αt б=б0=Eε0 dб/dt=-б0*α*e-αt (dб/dt)0=-б0*α=tgβ τr0*ctgβ0 -

wstępnie zadane

i utrzymane na

stałym poziomie

odkształcenie δ(t) = δ0 e- t.

24.Wzory dotyczące rur grubościennych: Wzory Lame'go na naprężenie obwodowe δ2 i promieniowe δ1 dla pierścienia o średnicy wewnętrznej 2rw i zewnętrznej 2r2 przy ciśnieniu wewnętrznym pw i zewnętrznym p2, w dowolnym punkcie pierścienia odległym od jego środka o r, mają postać Odpowiednia zmiana długości promienia r: б1=pw*{[rw2 (r2-r22)]/[(r22-rw2)*r2]}-p2*{[r22*(r2-rw2)]/[(r22-rw2)*r2]} б2=pw*{[rw2 (r2+r22)]/[(r22-rw2)*r2]}-p2*{[r22*(r2+rw2)]/[(r22-rw2)*r2]} rw ≤ r ≤r2 u=∆r=1/[E(r22-rw2)]*[(1-v)*(rw2pw-r22p2)*r +(1+v)*(pw-p2)*r22rw2/R] ,б12=2*(rw2pw-r22p2)/(r22-rq2)=const ε3=-v/E*(б12)=const



Wyszukiwarka