ruch-plaski-wahadlo3, Politechnika Śląska ZiIP i inne, Mechanika


Wydział Mechaniczny Technologiczny Dzień: 19.04.2002

Kierunek: AiR

Grupa dziekańska: 5

Semestr: 2

LABORATORIUM MECHANIKI OGÓLNEJ

Badanie ruchu płaskiego ciała sztywnego z wykorzystaniem wahadła Maxwella

Sekcja nr 2

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest badanie prawa zachowania energii mechanicznej w zamkniętym układzie zachowawczym na przykładzie ciała sztywnego poruszającego się ruchem płaskim. Do tego celu wykorzystane zostało wahadło Maxwella.

Podstawy teoretyczne

Wahadło Maxwella jest to krążek K osadzony na cienkiej osi. Do obu końców tej osi przywiązane są dwie nici, na których zawieszone jest wahadło. Obracając krążek w palcach nawijamy nici na oba końce osi, poczym badany układ uwalniamy. Zaczyna on powoli spadać, a odwijając się z nici nabiera coraz większej prędkości liniowej i obrotowej. W najniższym położeniu krążek osiąga największą prędkość w ruchu obrotowym i ponownie zaczyna nawijać się na nici.

Złożenie dwóch ruchów, jakie wykonuje krążek, tj. ruch postępowego i obrotowego nazywa się ruchem płaskim.

W zjawisku tym możemy zaobserwować zamianę energii potencjalnej Ep krążka, którą zyskał on dzięki podniesieniu na wysokość h na energię kinetyczną Ek. Z prawa zachowania energii mechanicznej w zamkniętym układzie zachowawczym wynika równość obu form energii, czyli:

Ep = Ek, gdzie :

Ep - energia potencjalna układu w położeniu najwyższym (energia kinetyczna jest równa zero)

Ek - energia kinetyczna układu w najniższym położeniu krążka (energia potencjalna jest rów

na zero).

0x08 graphic

Ponieważ krążek wykonuje jednocześnie ruch postępowy i ruch obrotowy, energia kinetyczna układu jest sumą energii kinetycznej ruchu postępowego Ekp i energii kinetycznej ruchu obrotowego Eko : Ep = Ekp + Eko ,

co dla Ep = mgh, oraz dla Ekp= ˝ mv2 daje nam :

2gh vk2

0x08 graphic
0x08 graphic
I = m( - )

ωk2 ωk2

Masę krążka K można zmieniać poprzez nałożenie na jednego z trzech dołączonych do przyrządu pierścieni P, zmieniając w ten sposób warunki pomiaru. Do doświadczalnego wyznaczenia momentu bezwładności bryły wykorzystuje się zależność powyżej, która po przekształceniu ma postać :

2gh

0x08 graphic
I= ¼ mD2 ( -1)

vk2

Mierząc wielkości m, D, h, oraz t można w sposób eksperymentalny wyznaczyć moment bezwładności. Dla badanego układu można go wyznaczyć również teoretycznie.

Moment bezwładności osi Io w kształcie walca względem osi geometrycznej ma postać :

Io = ⅛ moDo2 ,

gdzie : mo - masa osi,

Do - średnica zewnętrzna osi.

Moment bezwładności krążka Ik względem osi geometrycznej określa wzór :

Ik = ⅛ mk (Dk2 + Do2),

gdzie : mk - masa krążka,

Dk - średnica zewnętrzna krążka.

Podobny wzór określa moment bezwładności pierścienia Ip względem osi geometrycznej :

Ip = ⅛ mp (Dp2 + Dk2),

gdzie : mp - masa pierścienia,

Dp - średnica zewnętrzna pierścienia.

Moment bezwładności bryły sztywnej wahadła Maxwella jest sumą wyżej wymienionych momentów bezwładności :

I = Io+ Ik +Ip .

Masę badanego układu wyznacza się z zależności :

m = mo +mk +mp .

Średnia wartość czasu t wyraża się wzorem :

t = ¹/n ∑ti ,

a błąd względny pomiaru momentu bezwładności otrzymujemy z zależności :

(I - It)

0x08 graphic
δ = 100%

It

Dlatego że krążek wykonuje jednocześnie ruch postępowy i ruch obrotowy, energia kinetyczna układu jest sumą energii kinetycznej ruchu postępowego Ekp i energii kinetycznej ruchu obrotowego Eko. Stąd wzór:

Ep = Eko +Ekp

Co dla Ep = mgh, Ekp=0x01 graphic
mv0x01 graphic
, Eko=0x01 graphic
0x01 graphic
daje następującą zależność:

I=m(0x01 graphic
)

Dla celów naszego ćwiczenia wyznaczamy masę całego układu korzystając ze wzoru:

m = mo+mk+mp

mo czyli masa osi wynosi 0,034 [kg]

mk czyli masa krążka wynosi 0,123 [kg]

Masę krążka K można zmieniać poprzez nałożenie jednego z trzech dołączonych do przyrządu pierścieni P. Dlatego też w naszym ćwiczeniu policzymy trzy masy układu dla każdego z trzech pierścieni.

Masy poszczególnych krążków(mk) wynoszą:

  1. 0.391 [kg]

  2. 0,52 [kg]

  3. 0,251 [kg]

Co po podstawieniu daje następujące masy układu:

Dla 1 krążka m=0,574 [kg].

Dla 2 krążka m=0,677 [kg].

Dla 3 krążka m=0,408 [kg].

By uzyskać energię potencjalną podnosimy krążek na pewna wysokość h. W naszym przypadku wynosi ona 0,22 [m]. Należy także zmierzyć średnicę zewnętrzną osi wraz z nawiniętą na nią nicią - D. Wynosi ona 0,0011 [m].

Po wyzerowaniu i uwolnieniu układu, a następnie jego zatrzymaniu odczytujemy z milisekundomierza wielkość czasu spadania wahadła. Czynność tą przeprowadzamy po dziesięć razy dla każdego z pierścieni. Otrzymane wyniki wpisujemy w protokół. Następnie z otrzymanych wyników wyznaczamy średnią wartość czasu t:

0x01 graphic
[s]

gdzie: n -ilość wykonanych pomiarów

ti -otrzymana wielkość

Co po podstawieniu daje dla:

1 pierścienia - 0x01 graphic

0x01 graphic
1,724 [s]

2 pierścienia -

0x01 graphic

0x01 graphic
[s]

3 pierścienia -

0x01 graphic

0x01 graphic
[s]

Dla przeprowadzenia ćwiczenia musimy określić również średnice pierścieni, osi i krążka.

Średnica dla każdego z pierścieni jest taka sama i wynosi 0,109 [m], średnica krążka 0,091 [m], a średnica osi 0,0011 [m].

Gdy już zebraliśmy określane dane możemy określić moment bezwładności pierścieni, krążka oraz osi.

Wzór na moment bezwładności osi Io przedstawia się następująco:

Io = 0x01 graphic
[kgm2]

gdzie:

mo- masa osi,

Do-średnica zewnętrzna osi,

Co po podstawieniu:

Io = 0x01 graphic
=4,25·10-9 [kgm2]

Wzór na moment bezwładności krążka Ik:

Ik = 0x01 graphic
[kgm2]

mk- masa krążka,

Dk-średnica zewnętrzna krążka,

Do-średnica zewnętrzna osi,

Co po podstawieniu:

Ik = 0x01 graphic
=1,2733575·10-4 [kgm2]

Wzór na moment bezwładności pierścienia Ip:

Ip = 0x01 graphic
[kgm2]

gdzie:

mp-masa pierścienia,

Dp-średnica zewnętrzna pierścienia,

Dk-średnica zewnętrzna krążka,

Co po podstawieniu:

-dla 1 pierścienia:

0x01 graphic
=9,828975·10-4[kgm2]

-dla 2 pierścienia:

0x01 graphic
=1,13053·10-3[kgm2]

-dla 3 pierścienia:

0x01 graphic
=6,3258275·10-4 [kgm2]

0x01 graphic

Następnie wynaczamy moment bezwładności It dla trzech pierścieni:

It = Io + Ik + Ip [kgm2]

gdzie:

Io - moment bezwładności osi,

Ik- moment bezwładności krążka,

Ip- moment bezwładności pierścienia,

Co podstawieniu:

- dla 1 pierścienia :

It = 4,25·10-9+1,2733575·10-4+9,828975·10-4[kgm2]=1,1102417·10-3[kgm2]

- dla 2 pierscienia

It = 4,25·10-9+1,2733575·10-4+1,13053·10-3[kgm2]=1,2578742·10-3[kgm2]

- dla 3 pierścienia

It = 4,25·10-9+1,2733575·10-4+6,3258275·10-4 [kgm2]=7,5992695·10-4[kgm2]

Następnie obliczamy moment bezwładności wahadła dla trzech pierścieni korzystając ze wzoru:

0x01 graphic

gdzie:

D -średnica zewnętrzna osi mierzona wraz z nawiniętą nicią,

m -masa całkowita układu,

g -przyspieszenie ziemskie,

h -wysokość, na ktorą zostaje podniesiona badana bryła,

Co po podstawieniu :

- dla 1 pierścienia :

0x01 graphic
1,079940432·10-5[kgm2]

- dla 2 pierścienia :

0x01 graphic
1,365085034·10-5[kgm2]

- dla 3 pierścienia :

0x01 graphic
2,512803411·10-5[kgm2]

Teraz wyznaczamy błąd względny pomiaru momentu bezwładności z zależności:

0x01 graphic

Co po podstawieniu:

- dla 1 pierścienia :

0x01 graphic

- dla 2 pierscienia:

0x01 graphic

- dla 3 pierscienia:

0x01 graphic

Wnioski:

a)Na dokładność wpływu ma:

- wypoziomowaniu przyrządu (przyrząd źle wypoziomowanych nie pozwala na wykonanie dokładnych pomiarów, ponieważ sznurek z obu stron osi nie jest rozwijany równomiernie, co powoduje znaczne różnice w czasie ruchu postępowego wahadła;

-dokładność nawinięcia sznurka na oś, szybkość opadania obu stron osi nie jest taka sama co powodujeznaczne różnice w wynikach pomiarów;

-niewłaściwe ustawienie dolnej fotokomórki powoduje niedokładność wyników tzn. że czas zmierzony jest krótszy od rzeczywistego czasu spadania wahadła;

-dokładne ustawienie osi wahadła tak, aby sznurek po obu stronach osi równy, ponieważ niewłaściwe ustawienie osi spowoduje nierównomierne „opadanie” wahadła,

b)W pomiarach uwzględniona została grubość nici zawieszenia. Jest to ważny czynnik przy obliczaniu momentu bezwładności, ponieważ nawinięcie na oś sznurka powoduje zwiększenie średnicy zewnętrznej osi. Dla odpowiednio grubej nici nieuwzględnianie jej przy pomiarze średnicy zewnętrznej osi może spowodować, że pomiar będzie szeroko niedokładny. Jednocześnie w niektórych przypadkach grubość nici można pominąć. Można tak postąpić dla niewielkiej grubości nici zawieszenia i dużej średnicy zewnętrznej samej osi. Wówczas błąd pomiarowy będzie pomijalnie mały. Podobnie w przypadku gdy wyznaczamy moment bezwładności dla całej bryły i jest spełniony powyższy warunek. Wówczas pominięcie grubości nici nie wpłynie w sposób znaczący na wynik pomiaru (np.w przypadku jak w ćwiczeniu: nić była dosyć cienka, przez co pominiecie jej w pomiarze średnicy nie spowodowałoby wypaczeniu wyniku). Jednocześnie zauważyć można, że ponieważ średnica i masa osi były stosunkowo niewielkie, to moment bezwładności osi (razem z nicią) był o 103 mniejszy od momentu zarówno osi jak i pierścienia, czyli pominięcie tego wymiaru nie miało by wielkiego znaczenia(pomimo tego, że średnica występuje we wzorze niż moment bezwładności krążka). Jednak, aby mieć pewność, że pomiar został wykonany dokładnie należy grubość nici zawsze uwzględnić.

c)Aby zwiększyć dokładność pomiaru, należy:

-często sprawdzać czy nici zawieszenia wahadła są po obu równe,

-ustawić dolną fotokomórkę w prawidłowej pozycji,

-starannie wypoziomować przyrząd.

0x01 graphic



Wyszukiwarka