Wykład 19

Prąd elektryczny stały

Natężenie i gęstość prądu elektrycznego

Prądem elektrycznym nazywa się uporządkowany ruch ładunków elektrycznych w przestrzeni. Prąd powstający w przewodniku nazywany prądem przewodzenia. Uporządkowany ruch ładunków elektrycznych czyli prąd obserwuje się również gdy ciało naładowane albo wiązka ładunków elektrycznych poruszają się w próżni. Tego rodzaju prąd elektryczny nosi nazwę prądu konwekcyjnego.

Za kierunek przepływu prądu elektrycznego przyjmuje się umownie kierunek ruchu dodatnich ładunków elektrycznych, chociaż w rzeczywistości w przewodnikach nośnikami prądu są elektrony.

Dla tego, żeby w przewodniku powstał i trwał długo prąd elektryczny konieczne jest aby w przewodniku istniało pole elektryczne, które powodowałoby uporządkowane przemieszczenie ładunków. Aby prąd trwał dostatecznie długo, energia pola elektrycznego, która jest wydatkowana na przemieszczenie ładunków, musi być stale uzupełniana. A wiec niezbędne jest takie urządzenie, które w sposób ciągły przekształcałoby dowolny rodzaj energii w energię pola elektrycznego. Urządzenie takie nazywamy źródłem prądu albo źródłem siły elektromotorycznej. To są baterii, akumulatory, prądnice elektryczne i inne urządzenie, które wytwarzają pole elektryczne w przewodniku podłączonym do zewnętrznych doprowadzeń źródła prądu.

Rozważmy przewodnik w którym płynie prąd i niech przez dowolny przekrój poprzeczny
przewodnika w ciągu krótkiego czasu
przechodzi ładunek
. Natężeniem prądu elektrycznego przepływającego przez przekrój
nazywamy wielkość

. (XIX.1)

Jednostką natężenia prądu w układzie jednostek SI jest amper (A): 1 A = 1C / 1s.

Załóżmy, że wszystkie nośniki prądu posiadają dodatnie ładunki
i poruszają się z jednakową prędkością
. Oznaczmy koncentrację ładunków przez
i rozważmy wewnątrz przewodnika elementarną powierzchnię
prostopadłą do kierunku wektora
. Wtedy za czas
przez wybraną powierzchnię
przechodzą ładunki zawarte w objętości
.

Całkowity ładunek który zostaje przenoszony przez powierzchnię wynosi:  (XIX.2.) Korzystając z tego wzoru otrzymujemy następujący wzór na natężenie prądu przepływającego przez powierzchnie . (XIX.3)

W celu scharakteryzowania rozkładu prądu w różnych punktach przekroju przewodnika wprowadzamy pojęcie wektora gęstości prądu

. (XIX.4)

Zwróćmy uwagę, że dla ujemnych ładunków wektor gęstości prądu ma kierunek przeciwny niż kierunek wektora
.

Jeżeli powierzchnia
nie jest prostopadła do wektora prędkości nośników
, to wtedy wzór (XIX.3) musimy zamienić przez wzór

. (XIX.5)

Tu
jest kątem między wektorem
normalnym do powierzchni
i wektorem prędkości nośników
. Z tego wzoru wynika, że jeżeli powierzchnia
jest równoległa do prądu (
), to ładunki swobodne nie przepływają przez tą powierzchnie i prąd przez taką powierzchnię jest równy zeru.

W ogólnym przypadku wektor gęstości prądu
określamy jako wektor który ma kierunek zgodny z kierunkiem przepływu prądu, natomiast jego moduł określa wzór

. (XIX.6)

Biorąc po uwagę, iż
ze wzoru (XIX.6) otrzymujemy

. (XIX.7)

Tu
jest rzutem wektora
na kierunek
normalnej do powierzchni
.

W rzeczywistości w przewodniku zawsze istnieje rozrzut wektorów prędkości
nośników ładunków. Wtedy we wzorze (XIX.4) musimy
zamienić przez średnią prędkość
uporządkowanego ruchu ładunków. Jeżeli nośnikami prądu są dodatni i ujemne ładunki (na przykład elektrony i dziury w półprzewodnikach, albo jony różnych znaków w elektrolitach), to gęstość prądu określa wzór:

, (XIX.8)

gdzie
jest koncentracją ładunków
, średnia prędkość uporządkowanego ruchu których wynosi
.

Jeżeli przedstawmy pole powierzchni
jako wektor
, to ze wzoru (XIX.7) wynika, że natężenie prądu płynącego przez przewodnik jest strumieniem wektora gęstości prądu
przez cały przekrój przewodnika

. (XIX.9)

Widać, że nazwa "strumień" jest w tym przypadku dobrze dobrana. Przypomnimy, że przy obliczaniu całki (XIX.9) wektor
wybieramy skierowanym zawsze na zewnątrz powierzchni.

Prąd stały. Równanie ciągłości

Jeżeli przez dowolny poprzeczny przekrój przewodnika płynie prąd o tym samym natężeniu (
), to mówimy, że prąd jest jednorodny. Gęstość prądu jednorodnego, zgodnie z (XIX.7), zależy od pola powierzchni poprzecznego przekroju przewodnika, a zatem w wąskich poprzecznych przekrojach przewodnika gęstość prądu jednorodnego będzie większa od gęstości prądu w przekrojach szerokich.

Prądy o stałym w czasie (dla dowolnego punktu przestrzeni) wektorze gęstości
nazywamy stacjonarnymi albo stałymi. Dla stałego prądu strumień wektora gęstości prądu
przez dowolnie wybraną zamkniętą powierzchnię
jest równy zeru

. (XIX.10)

Istotnie, w przypadku prądu stałego ładunek elektryczny dowolnej objętości
przewodnika, ograniczoną powierzchnią
, pozostaje stały: jaka ilość dodatnich i ujemnych ładunków wpływa do obszaru
taka sama ilość tych ładunków opuszcza objętość
. Ponieważ całka powierzchniowa z gęstości prądu
po całej powierzchni
gaje prędkość
, z jaką ładunek opuszcza obszar zamknięty tą powierzchnią, ze stałości ładunku w objętości
wynika, ze
. Stąd wynika wzór (XIX.10).

Prądy o zmiennym w czasie (dla dowolnego punktu przestrzeni) wektorze gęstości
nazywamy zmiennymi. Dla prądu zmiennego strumień wektora gęstości prądu
przez dowolnie wybraną zamkniętą powierzchnię
wynosi

. (XIX.11)

Równanie (XIX.11) wyraża prawo zachowania ładunku i nazywa się równaniem ciągłości.

Całkowity ładunek zawarty w objętości
jest równy

, (XIX.12)

gdzie
jest gęstością objętościową ładunku.

Uwzględniając (XIX.12) wzór (XIX.11) możemy zapisać w postaci

. (XIX.13)

Skorzystajmy teraz z twierdzeniem Gaussa - Ostrogradskiego

. (XIX.14)

Tu
- dowolne pole wektorowe.

Biorąc pod uwagę wzór (XIX.14) ze wzoru (XIX.13) otrzymujemy

. (XIX.15)

Skąd

. (XIX.16)

Równanie (XIX.16) nazywa się różniczkową postacią równania ciągłości. Jeżeli prąd stały i
wtedy ze wzoru (XIX.16) mamy

. (XIX.17)

Mechanizmy przewodnictwa. Prawo Ohma dla odcinka obwodu

Bardzo uproszczony opis przewodnictwa w metalach opiera się na modelu elektronowego gazu swobodnego. Zgodnie z tym modelem w metalach w węzłach sieci krystalicznej znajdują się dodatnio naładowane jony. W przestrzeń między tymi jonami chaotycznie poruszają się swobodne elektrony. Jeżeli we wnętrzu metali istnieje pole elektryczne
, to wskutek działania na elektrony siły kulombowskiej
elektrony zaczynają powoli przemieszczać się w stronę działania tej siły. Powstaje uporządkowany ruch elektronów, który nazywamy prądem.

Jeżeliby elektrony w metali były całkowicie swobodne, to każdy z elektronów poruszałby się z przyspieszeniem
. W rzeczywistości częste zderzenia elektronów z jonami sieci krystalicznej zmieniają prędkość elektronu. Jeżeli oznaczmy przez τ średni czas swobodnego (bez zderzeń) ruchu elektronu, to dla prędkości, którą uzyskuje
ty elektron za czas τ możemy zapisać

. (XIX.18)

Tu
jest prędkość chaotycznego ruchu elektronu po zderzeniu. Wzór (XIX.18) określa maksymalną prędkość którą uzyskuje elektron. Nie wszystkie elektrony w chwili
będą mieli maksymalną prędkość: niektóry doznają zderzenia nie w chwili
, lecz później a więc będą mieli mniejszą prędkość niż
. Ponieważ prędkości wszystkich elektronów będą znajdowały się w zakresie
musimy zamiast prędkości
stosować prędkość średnią

. (XIX.19)

Wskutek chaotyczności ruchu cieplnego elektronów (wszystkie kierunki
są możliwe), uśredniona wartość
jest równa zeru. Oznaczając średnią prędkość ruchu uporządkowanego przez
otrzymujemy

. (XIX.20)

Podstawiając wzór (XIX.20) do wzoru (XIX.4) znajdujemy

. (XIX.21)

Oznaczmy współczynnik przed wektorem natężenia pola elektrycznego
jako

. (XIX.22)

Wtedy wzór (XIX.21) możemy zapisać w postaci

. (XIX.23)

Otrzymany wzór wyraża lokalny związek między natężeniem pola elektrycznego i gęstością prądu. Wzór wyraża tak zwane różniczkowe (lokalne) prawo Ohma. Wielkość
w (XIX.23), która jest charakterystyką przewodnika, niezależną od
, nazywamy przewodnością właściwą przewodnika (konduktywnością).

Rozważmy teraz odcinek przewodnika o długości
i stałym przekroju poprzecznym
. Jeżeli przez przewodnik płynie stały (
) i jednorodny prąd (wartość
nie zależy od punktu na powierzchni przekroju
), to zgodnie (XIX.23) pole elektryczne we wnętrzu przewodnika będzie jednorodne (
). A zatem pole elektryczne wykonuje przy przemieszczeniu na odległość
dodatniego jednostkowego ładunku prace

. (XIX.24)

Dla sił potencjalnych praca ta jest równa zmianie energii potencjalnej ładunku, czyli

, (XIX.25) gdzie jest napięcie pomiędzy końcowymi punktami odcinka przewodnika; i - potencjały lewego i prawego końców przewodnika.

Ponieważ
ze wzoru (XIX.25) otrzymujemy

. (XIX.26)

Tu przez
oznaczyliśmy

. (XIX.27)

Wielkość
, określona wzorem (XIX.27) nazywa się oporem przewodnika. W układzie jednostek SI jednostką oporu jest om (
): 1 Ω =1 V/ 1 A.

Wielkość

(XIX.28)

we wzorze (XIX.27) nazywamy opornością właściwą (rezystywnością). Ponieważ, zgodnie z (XIX.27)
, wymiar oporności właściwej jest m⋅Ω. Wymiar przewodności właściwej, jak wynika z (XIX.28) jest (1/m⋅Ω). Wielkość (1/Ω) jest również zwana simensen (S), a zatem wymiar przewodności właściwej będzie S/m.

Wzór (XIX.26) zapisany w postaci

(XIX.29)

wyraża prawo Ohma dla odcinka przewodnika: prąd o natężeniu I płynący przez przewodnik jest proporcjonalny do napięcia pomiędzy końcami przewodnika, a odwrotnie proporcjonalny do oporu przewodnika.

W przypadku gdy przekrój poprzeczny przewodnika
oraz oporność właściwa
zmieniają się wzdłuż przewodnika, opór odcinka przewodnika o długości
liczymy korzystając ze wzoru

. (XIX.30)

Siły uboczne. Uogólniona postać prawa Ohma. Siła elektromotoryczna

W celu podtrzymywania w obwodzie prądu stałego w obwodzie musi istnieć źródło prądu. Jeżeliby w obwodzie nie istniało źródło prądu, to siły oddziaływania kulomboskiego szybko doprowadziłyby do tego, że pole elektryczne we wnętrzu przewodnika zanikło. O ile siły kulombowskie wywołują łączenie ładunków różnoimiennych, co powoduje zrównywanie potencjałów i zaniku pola elektrycznego w przewodniku, o tyle siły działające w źródle prądu muszą powodować rozdzielenie przestrzenne ładunków różnoimiennych. Jest zatem rzeczą zrozumiałą, że to nie mogą być siły kulombowskie. Siły które działają w źródłach prądu nazywamy siłami ubocznymi. W odróżnieniu od sił kulombowskich, siły uboczne przenoszą na przykład dodatnie ładunki nie wzdłuż linii pola elektrycznego a w przeciwnym kierunku. A zatem siły uboczne zawsze wykonują prace po przemieszczeniu ładunków w kierunku przeciwnym do kierunku działania sił elektrostatycznych. Praca sił ubocznych powstaje kosztem energii wydatkowanej przez źródło prądu. W ogniwach galwanicznych to jest energia zachodzących w ogniwie reakcji chemicznych. W prądnicach elektrycznych praca sił ubocznych powstaje kosztem zmiany energii mechanicznej.

Siły uboczne działają tylko we wnętrzu źródła prądu. Odcinki obwodu, na których istnieją ogniwa i na ładunki działają siły uboczne będziemy nazywały niejednorodnym. W celu scharakteryzowania sił ubocznych wprowadźmy pojęcie natężenia pola sił ubocznych. Natężeniem pola sił ubocznych w pewnym punkcie
będziemy nazywały wektor
określony wzorem

. (XIX.31)

Tu
jest siłą uboczną, która działa na ładunek dodatni
, umieszczony w punkcie
.

Na niejednorodnym odcinku obwodu oprócz sił ubocznych na ładunki działają również siły pola elektrycznego o natężeniu
. A zatem siła wypadkowa, działającą na ładunek
na niejednorodnym odcinku przewodnika, składa się w ogólnym przypadku z siły kulombowskiej
oraz z siły ubocznej
.

Uwzględniając wiec istnienie dodatkowych sił na odcinku niejednorodnym przewodnika lokalne prawo Ohma możemy zapisać w postaci

. (XIX.32)

Równanie (XIX.32) nazywa się uogólnioną różniczkową (lokalną) postacią prawa Ohma.

Siły uboczne wykonują przy przemieszczeniu ładunku
na niejednorodnym odcinku
obwodu prace

. (XIX.33)

Wprowadźmy wielkość

. (XIX.34)

Wartość liczbowa wielkości
równa się prace, jaką wykonują siły uboczne przy przemieszczeniu jednostkowego dodatniego ładunku wzdłuż niejednorodnego odcinka przewodnika z punktu
do punktu
. Ponieważ siły uboczne działają tylko we wnętrzu źródła prądu wielkość
jest charakterystyką wyłącznie źródła prądu i nie zależy od elementów podłączonych do źródła prądu. Wielkość
nazywa się siłą elektromotoryczną źródła prądu.

Rozważmy niejednorodny odcinek obwodu wzdłuż którego płynie prąd . Pomnóżmy skalarnie obie strony równania (XIX.32) przez wektor równoległy do wektora

. (XIX.35)

Załóżmy, że natężenie prądu jest we wszystkich przekrojach przewodnika jednakowe (
). Zastępując gęstość prądu przez natężenie prądu
, gdzie
- pole przekroju przewodnika, uzyskujemy

. (XIX.36)

Całkując ten wzór względem długości przewodnika od przekroju 1 do przekroju 2, otrzymujemy

. (XIX.36)

Zgodnie ze wzorem (XIX.30) wielkość z lewej strony równania (XIX.36) jest oporem odcinka obwodu między przekrojami 1 i 2:

. (XIX.37)

Wartość liczbowa całki
równa się pracy, jaką wykonują siły kulombowskie przy przemieszczeniu jednostkowego ładunku dodatniego z punktu 1 do punktu 2. Z elektrostatyki wiemy, że ta praca jest równa różnice potencjałów miedzy punktami 1 i 2

, (XIX.38)

gdzie
i
- potencjały lewego i prawego końców odcinka przewodnika.

Biorąc pod uwagę wzory (XIX.34), (XIX.37) oraz (XIX.38), wzór (XIX.36) możemy zapisać w postaci

, (XIX.39)

albo

. (XIX.40)

Tu
jest napięcie na końcach 1 i 2 odcinka obwodu.

Wzory (XIX.39) i (XIX.40) wyrażają uogólnioną postać prawa Ohma dla dowolnego odcina obwodu.

Jeżeli obwód elektryczny jest zamknięty, to punkty 1 i 2 pokrywają się i . A zatem, zgodnie z (XIX.40) otrzymujemy , (XIX.41) gdzie jest oporem wewnętrznym źródła prądu, a jest oporem zewnętrznej części obwodu elektrycznego.

Prawo Joule'a - Lenza. Gęstość mocy cieplnej prądu

W przypadku gdy prąd elektryczny w obwodzie jest stały praca sił ubocznych jest w całości wydatkowana na nagrzewanie całego obwodu. Fizyczny mechanizm tego zjawiska jest dość prosty. Wskutek niesprężystego zderzenia elektronów swobodnych z węzłami siatki krystalicznej elektrony tracą część energii swojego uporządkowanego ruchu. Energia przekazywana węzłom sieci przechodzi w energię drgań węzłów sieci wskutek czego temperatura przewodnika wzrasta. Rozważmy bardzo uproszczony opis tego zjawiska korzystając z modelu elektronowego gazu swobodnego. Niech średnia prędkość uporządkowanego ruchu elektronów wynosi
. Po zderzeniu energia kinetyczna
, którą uzyskał elektron od zewnętrznego pola elektrycznego za czas
, całkowicie przechodzi w ciepło. Energia
jest równa prace, którą wykonuje siła elektryczna po przemieszczeniu ładunku
na odległość
. W ogólnym przypadku siła ta jest równa
, a zatem

. (XIX.42)

Jeżeli koncentracja elektronów swobodnych w przewodniku jest równa
, to w czasie
w jednostce objętości elektrony swobodne przekazują węzłom sieci krystalicznej energię

. (XIX.43)

Tu uwzględniliśmy, że zgodnie z (XIX.21) i (XIX.23):
.

Dzieląc obie strony równania (XIX.43) przez
otrzymujemy wzór na wartość energii, która zostaje przekazana jonom siatki krystalicznej w jednostce objętości przewodnika w ciągu jednostki czasu

. (XIX.44)

Wzór (XIX.44) określa wielkość
, która nazywa się gęstością mocy cieplnej prądu i wyraża lokalną (różniczkową) postać prawa Joule'a - Lenza.

W przypadku jednorodnego odcinka obwodu czyli odcinka na którym nie działają siły uboczne, ze wzoru (XIX.44) mamy

. (XIX.45)

Mnożąc wzór (XIX.45) na objętość jednorodnego odcinka przewodnika
otrzymujemy wzór na moc cieplną odcinka obwodu, czyli wzór na energię cieplną która zostaje wydzielona w jednostce czasu w przewodniku o objętości

. (XIX.46)

Korzystając z prawa Ohma (XIX.29) wzór (XIX.46) możemy zapisać w postaci

. (XIX.47)

Rozważmy teraz zamknięty obwód elektryczny, który składa się ze źródła prądu o sile elektromotorycznej
i oporze wewnętrznym
oraz z części zewnętrznej o oporze
. Wtedy zgodnie ze wzorem (XIX.41) możemy zapisać

, (XIX.48)

Mnożąc obie strony równania (XIX.48) przez
otrzymujemy

. (XIX.49)

Wzór (XIX.49) wyraża tak zwane prawo Joule'a - Lenza dla zamkniętego obwodu.

Z porównania wzorów (XIX.47) i (XIX.49) widzimy, że pierwszy wyraz po prawej stronie równania (XIX.49) określa moc cieplną wydzieloną na oporze zewnętrznym
. Drugi wyraz po prawej stronie równania (XIX.49) jest mocą ciepła, które zostaje wydzielono na oporze wewnętrznym
, czyli mocą ciepła ogrzewającego źródło prądu. A więc moc cieplną wydzieloną w całym zamkniętym obwodzie określa

. (XIX.50)

Dla korzystającego ze źródeł prądu elektrycznego ciepło wydzielono wewnątrz źródła prądu jest bezużytecznym, jest ciepłem straconym. Praktyczne znaczenie (na przykład w grzejnikach elektrycznych) ma ciepło wydzielono na zewnętrznej części obwodu. Moc ciepła wydzielonego na zewnętrznym oporze
nazywa się mocą użyteczną.

Stosunek mocy użytecznej do mocy całkowitej nazywamy sprawnością danego źródła prądu elektrycznego

. (XIX.51)

Ze wzoru (XIX.51) wynika, że sprawność zdąża do jedności, gdy opór wewnętrzny
zdąża do zera.

47