24.11.2009

TWIERDZENIE 2 Stolza

Niech ciąg
będzie dowolny a ciąg
niech będzie nieograniczony z góry i rosnący

Jeżeli ciąg
gdzie

jest zbieżny. To ciąg
też jest zbieżny do tej samej granicy.

TWIERDZENIE 3 o granicy średniej arytmetycznej

Jeżeli ciąg
jest zbieżny, to ciąg średnich arytmetycznych
jest zbieżny do tej samej granicy.

Dowód

Niech
korzystamy z twierdzenia Stolza

Ciąg
jest rosnący i nieograniczony z góry. Ponadto mamy

Czyli

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Podciągi

Niech będzie dany ciąg
oraz ciąg liczb naturalnych
przy czym
wtedy ciąg
nazywamy podciągiem ciągu
.

Podciąg
różny od ciągu
nazywamy podciągiem właściwym ciągu

Np. ciąg
,
są podciągami właściwymi ciągu

Jeżeli ciąg
, podciąg ciągu
jest zbieżny , to jego granicę nazywamy granicą częściową ciągu
.

TWIERDZENIE 4

Jeżeli ciąg
jest zbieżny do
lub rozbieżny
, to każdy jego podciąg jest zbieżny do
, lub rozbieżny do
.

Punkty skupienia ciągu.

Definicja

Ciąg
posiada punkt skupienia
jeżeli,

TWIERDZENIE 5 Bolzano-Weierstrussa

Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada co najmniej jeden punkt skupienia.

Definicja

Największy punkt skupienia ciągu ograniczonego
nazywamy jego górną granicę

( lim superior)

Oznaczamy
lub

Najmniejszy punkt skupienia ciągu ograniczonego
nazywamy jego dolną granicę

( lim inferion)

Oznaczamy
lub

TWIERDZENIE 6

Jeżeli ciąg
jest ograniczony to równość
=
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg
jest zbieżny do wspólnej wartości obu granic

Definicja

Ciąg
nazywamy

1. rosnącym jeżeli
   

2. malejącym jeżeli
   

3. niemalejącym jeżeli
   

4. nierosnący
   

TWIERDZENIE 7

1. ciąg
   niemalejący, ograniczony z góry tzn.

jest zbieżny

2. ciąg
   nierosnący, ograniczony z dołu tzn.

jest zbieżny

3. jeżeli ciąg
   jest niemalejący i nieograniczony z góry to
   dąży do +∞

4. jeżeli ciąg
   jest nierosnący i nieograniczony z dołu to
   dąży do -∞

Definicja liczby e

Ciąg
jest rosnący i ograniczony z góry, a więc zbieżny.

Liczba e jest liczbą niewymierną.

TWIERDZENIE 8

Niech ciąg
,
≠0 ,
, n=1,2… będzie dowolnym ciągiem dążącym do +∞,

a
,
≠0 ,
, n=1,2… będzie dowolnym ciągiem dążącym do -∞ wtedy

TWIERDZENIE 9

1. jeżeli p>0 to
   

2. jeżeli p>0 to
   

3. 
   

4. jeżeli p>0 , to
   

5. jeżeli |x|<1 to
   

6. 
   

TWIERDZENIE 10 zasada zbieżności ciągu liczbowego

Ciąg
,
dla n=0,1,2… jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełniony warunek Couchy'ego

Szeregi o wyrazach rzeczywistych

Granice i ciągłość funkcji rzeczywistej jednej zmiennej

Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.

Definicja

Niech funkcja

będzie określona dla x takich, że 0<|x-x₀|<a, a>0

Liczbę
nazywamy granicą funkcji
w
jeżeli

Piszemy wtedy

lub
przy

Interpretacja geometryczna funkcji

Dla

Własności funkcji posiadających granicę:

1. Funkcja
   posiada w
   co najmniej jedną granicę

2. Niech funkcja
   będzie określona dla
   takich, że
   ,
   

na to by funkcja
posiadała granicę
w
, potrzeba i wystarcza, by dla każdego
takiego, że
zbieżnego do
ciąg wartości funkcji
był zbieżny do
.

3. Jeżeli funkcja
   są określone w pewnym sąsiedztwie
   oraz posiada

granicę w
to, funkcja

posiada granicę w
oraz

Jeżeli ponadto
to i iloraz
posiada granicę w
oraz

4. Jeżeli funkcja
   oraz
   posiadają granicę w
   oraz
   

dla
,
to

5. Twierdzenie o 3 funkcjach

Jeżeli funkcja
oraz
posiadają granicę
w
, oraz funkcja
jest określona i spełnia nierówność
w pewnym sąsiedztwie
, to

3