24.11.2009
TWIERDZENIE 2 Stolza
Niech ciąg
będzie dowolny a ciąg
niech będzie nieograniczony z góry i rosnący
Jeżeli ciąg
gdzie
jest zbieżny. To ciąg
też jest zbieżny do tej samej granicy.
TWIERDZENIE 3 o granicy średniej arytmetycznej
Jeżeli ciąg
jest zbieżny, to ciąg średnich arytmetycznych
jest zbieżny do tej samej granicy.
Dowód
Niech
korzystamy z twierdzenia Stolza
Ciąg
jest rosnący i nieograniczony z góry. Ponadto mamy
Czyli
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Podciągi
Niech będzie dany ciąg
oraz ciąg liczb naturalnych
przy czym
wtedy ciąg
nazywamy podciągiem ciągu
.
Podciąg
różny od ciągu
nazywamy podciągiem właściwym ciągu
Np. ciąg
,
są podciągami właściwymi ciągu
Jeżeli ciąg
, podciąg ciągu
jest zbieżny , to jego granicę nazywamy granicą częściową ciągu
.
TWIERDZENIE 4
Jeżeli ciąg
jest zbieżny do
lub rozbieżny
, to każdy jego podciąg jest zbieżny do
, lub rozbieżny do
.
Punkty skupienia ciągu.
Definicja
Ciąg
posiada punkt skupienia
jeżeli,
TWIERDZENIE 5 Bolzano-Weierstrussa
Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada co najmniej jeden punkt skupienia.
Definicja
Największy punkt skupienia ciągu ograniczonego
nazywamy jego górną granicę
( lim superior)
Oznaczamy
lub
Najmniejszy punkt skupienia ciągu ograniczonego
nazywamy jego dolną granicę
( lim inferion)
Oznaczamy
lub
TWIERDZENIE 6
Jeżeli ciąg
jest ograniczony to równość
=
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg
jest zbieżny do wspólnej wartości obu granic
Definicja
Ciąg
nazywamy
rosnącym jeżeli
malejącym jeżeli
niemalejącym jeżeli
nierosnący
TWIERDZENIE 7
ciąg
niemalejący, ograniczony z góry tzn.
jest zbieżny
ciąg
nierosnący, ograniczony z dołu tzn.
jest zbieżny
jeżeli ciąg
jest niemalejący i nieograniczony z góry to
dąży do +∞
jeżeli ciąg
jest nierosnący i nieograniczony z dołu to
dąży do -∞
Definicja liczby e
Ciąg
jest rosnący i ograniczony z góry, a więc zbieżny.
Liczba e jest liczbą niewymierną.
TWIERDZENIE 8
Niech ciąg
,
≠0 ,
, n=1,2… będzie dowolnym ciągiem dążącym do +∞,
a
,
≠0 ,
, n=1,2… będzie dowolnym ciągiem dążącym do -∞ wtedy
TWIERDZENIE 9
jeżeli p>0 to
jeżeli p>0 to
jeżeli p>0 , to
jeżeli |x|<1 to
TWIERDZENIE 10 zasada zbieżności ciągu liczbowego
Ciąg
,
dla n=0,1,2… jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełniony warunek Couchy'ego
Szeregi o wyrazach rzeczywistych
Granice i ciągłość funkcji rzeczywistej jednej zmiennej
Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.
Definicja
Niech funkcja
będzie określona dla x takich, że 0<|x-x0|<a, a>0
Liczbę
nazywamy granicą funkcji
w
jeżeli
Piszemy wtedy
lub
przy
Interpretacja geometryczna funkcji
Dla
Własności funkcji posiadających granicę:
Funkcja
posiada w
co najmniej jedną granicę
Niech funkcja
będzie określona dla
takich, że
,
na to by funkcja
posiadała granicę
w
, potrzeba i wystarcza, by dla każdego
takiego, że
zbieżnego do
ciąg wartości funkcji
był zbieżny do
.
Jeżeli funkcja
są określone w pewnym sąsiedztwie
oraz posiada
granicę w
to, funkcja
posiada granicę w
oraz
Jeżeli ponadto
to i iloraz
posiada granicę w
oraz
Jeżeli funkcja
oraz
posiadają granicę w
oraz
dla
,
to
Twierdzenie o 3 funkcjach
Jeżeli funkcja
oraz
posiadają granicę
w
, oraz funkcja
jest określona i spełnia nierówność
w pewnym sąsiedztwie
, to
3