wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka


24.11.2009

TWIERDZENIE 2 Stolza

Niech ciąg 0x01 graphic
będzie dowolny a ciąg 0x01 graphic
niech będzie nieograniczony z góry i rosnący 0x01 graphic

Jeżeli ciąg 0x01 graphic
gdzie

0x01 graphic

jest zbieżny. To ciąg 0x01 graphic
też jest zbieżny do tej samej granicy.

TWIERDZENIE 3 o granicy średniej arytmetycznej

Jeżeli ciąg 0x01 graphic
jest zbieżny, to ciąg średnich arytmetycznych 0x01 graphic
jest zbieżny do tej samej granicy.

Dowód

Niech 0x01 graphic
korzystamy z twierdzenia Stolza

0x01 graphic

0x01 graphic

Ciąg 0x01 graphic
jest rosnący i nieograniczony z góry. Ponadto mamy

0x01 graphic

Czyli

0x01 graphic

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Podciągi

Niech będzie dany ciąg 0x01 graphic
oraz ciąg liczb naturalnych 0x01 graphic
przy czym 0x01 graphic
wtedy ciąg 0x01 graphic
nazywamy podciągiem ciągu 0x01 graphic
.

Podciąg 0x01 graphic
różny od ciągu 0x01 graphic
nazywamy podciągiem właściwym ciągu 0x01 graphic

Np. ciąg 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są podciągami właściwymi ciągu 0x01 graphic

Jeżeli ciąg 0x01 graphic
, podciąg ciągu 0x01 graphic
jest zbieżny , to jego granicę nazywamy granicą częściową ciągu 0x01 graphic
.

TWIERDZENIE 4

Jeżeli ciąg 0x01 graphic
jest zbieżny do 0x01 graphic
lub rozbieżny 0x01 graphic
, to każdy jego podciąg jest zbieżny do 0x01 graphic
, lub rozbieżny do 0x01 graphic
.

Punkty skupienia ciągu.

Definicja

Ciąg 0x01 graphic
posiada punkt skupienia 0x01 graphic
jeżeli,

0x01 graphic

TWIERDZENIE 5 Bolzano-Weierstrussa

Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada co najmniej jeden punkt skupienia.

Definicja

Największy punkt skupienia ciągu ograniczonego 0x01 graphic
nazywamy jego górną granicę

( lim superior)

Oznaczamy 0x01 graphic
lub 0x01 graphic

Najmniejszy punkt skupienia ciągu ograniczonego 0x01 graphic
nazywamy jego dolną granicę

( lim inferion)

Oznaczamy 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
0x01 graphic

TWIERDZENIE 6

Jeżeli ciąg 0x01 graphic
jest ograniczony to równość 0x01 graphic
=0x01 graphic
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg 0x01 graphic
jest zbieżny do wspólnej wartości obu granic 0x01 graphic

Definicja

Ciąg 0x01 graphic
nazywamy

  1. rosnącym jeżeli 0x01 graphic

  2. malejącym jeżeli 0x01 graphic

  3. niemalejącym jeżeli 0x01 graphic

  4. nierosnący 0x01 graphic

TWIERDZENIE 7

  1. ciąg 0x01 graphic
    niemalejący, ograniczony z góry tzn.

0x01 graphic
jest zbieżny

  1. ciąg 0x01 graphic
    nierosnący, ograniczony z dołu tzn.

0x01 graphic
jest zbieżny

  1. jeżeli ciąg 0x01 graphic
    jest niemalejący i nieograniczony z góry to 0x01 graphic
    dąży do +∞

  2. jeżeli ciąg 0x01 graphic
    jest nierosnący i nieograniczony z dołu to 0x01 graphic
    dąży do -∞

Definicja liczby e

0x01 graphic

Ciąg 0x01 graphic
jest rosnący i ograniczony z góry, a więc zbieżny.

Liczba e jest liczbą niewymierną.

TWIERDZENIE 8

Niech ciąg0x01 graphic
, 0x01 graphic
≠0 , 0x01 graphic
, n=1,2… będzie dowolnym ciągiem dążącym do +∞,

a 0x01 graphic
, 0x01 graphic
≠0 , 0x01 graphic
, n=1,2… będzie dowolnym ciągiem dążącym do -∞ wtedy

0x01 graphic

TWIERDZENIE 9

  1. jeżeli p>0 to 0x01 graphic

  2. jeżeli p>0 to 0x01 graphic

  3. 0x01 graphic

  4. jeżeli p>0 , to0x01 graphic

  5. jeżeli |x|<1 to 0x01 graphic

  6. 0x01 graphic

TWIERDZENIE 10 zasada zbieżności ciągu liczbowego

Ciąg 0x01 graphic
, 0x01 graphic
dla n=0,1,2… jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełniony warunek Couchy'ego

0x01 graphic

Szeregi o wyrazach rzeczywistych 0x01 graphic

Granice i ciągłość funkcji rzeczywistej jednej zmiennej

Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.

Definicja

Niech funkcja 0x01 graphic
0x01 graphic
będzie określona dla x takich, że 0<|x-x0|<a, a>0

Liczbę 0x01 graphic
nazywamy granicą funkcji 0x01 graphic
w 0x01 graphic
jeżeli

0x01 graphic

Piszemy wtedy

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
przy 0x01 graphic

Interpretacja geometryczna funkcji 0x01 graphic

0x01 graphic

Dla 0x01 graphic

Własności funkcji posiadających granicę:

  1. Funkcja 0x01 graphic
    posiada w 0x01 graphic
    co najmniej jedną granicę

  2. Niech funkcja 0x01 graphic
    będzie określona dla 0x01 graphic
    takich, że 0x01 graphic
    , 0x01 graphic

na to by funkcja 0x01 graphic
posiadała granicę 0x01 graphic
w 0x01 graphic
, potrzeba i wystarcza, by dla każdego 0x01 graphic
takiego, że 0x01 graphic
zbieżnego do 0x01 graphic
ciąg wartości funkcji 0x01 graphic
był zbieżny do 0x01 graphic
.

  1. Jeżeli funkcja 0x01 graphic
    są określone w pewnym sąsiedztwie 0x01 graphic
    oraz posiada

granicę w 0x01 graphic
to, funkcja 0x01 graphic
0x01 graphic
posiada granicę w 0x01 graphic
oraz

0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli ponadto 0x01 graphic
to i iloraz 0x01 graphic
posiada granicę w 0x01 graphic
oraz

0x01 graphic

  1. Jeżeli funkcja 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic
    posiadają granicę w 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic

dla 0x01 graphic
,0x01 graphic
to 0x01 graphic

  1. Twierdzenie o 3 funkcjach

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
posiadają granicę 0x01 graphic
w 0x01 graphic
, oraz funkcja 0x01 graphic
jest określona i spełnia nierówność 0x01 graphic
w pewnym sąsiedztwie 0x01 graphic
, to 0x01 graphic

3



Wyszukiwarka