BADANIA OPERACYJNE
„ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI”
W naszej pracy chcielibyśmy przedstawić jedną z analitycznych metod stosowanych do rozwiązywania problemów gospodarczych i omawianych na zajęciach z badań operacyjnych-METODĘ SIECIOWĄ na którą składają się:
Metoda ścieżki krytycznej- CPM
Metoda PERT
METODY SIECIOWE- służą do obliczania przedsięwzięć złożonych ze skończonej ilości powiązanych ze sobą zadań cząstkowych , które nazywamy czynnościami. Powiązania te bardzo często polegają na określonej kolejności wykonywania poszczególnych czynności. Ponadto , każdej czynności przyporządkowany jest pewien parametr( czas trwania czynności, koszt wykonania czynności, odległość). Punkty w czasie odpowiadające momentom zakańczania pewnych czynności i rozpoczęcia wykonania innych, bezpośrednio po nich następujących , nazywane są zdarzeniami.
Każda czynność przedsięwzięcia łączy ze sobą dwa zdarzenia:
Jedno umożliwiające jej rozpoczęcie
Drugie pozwala rozpocząć czynności bezpośrednio po niej następujące
Pomiędzy tymi zdarzeniami nie powinna występować więcej niż jedna czynność. Jeżeli w rzeczywistości tych czynności jest więcej, wówczas można wprowadzić czynności pozorne z zerowymi czasami ich trwania bądź zerowym kosztem ich wykonania.
Dowolny zbiór czynności przedsięwzięcia z zadanymi obciążeniami oraz wzajemną kolejnością można przedstawić graficznie. Najbardziej znanymi prezentacjami są wykresy Gantta oaz grafy przedsięwzięć .
Wykresy Gantta przedstawione są w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie jednostką osi OX jest odpowiednia jednostka obciążenia, natomiast na osi OY w kolejności zaznaczane są numery(symbole, nazwy) czynności. Jeśli przedsięwzięcie przedstawione jest za pomocą grafu, to czynnościom odpowiadają łuki grafu, z zdarzeniom wierzchołki.
Graf przedsięwzięcia jest tak konstruowany , aby był siecią. Początkiem sieci jest zdarzenie polegające na możliwości rozpoczęcia pierwszych czynności, natomiast końcem sieci moment zakańczania wykonywania czynności składających się na całe przedsięwzięcie. Jeśli czynnościom przyporządkowane są czasy potrzebne do ich wykonania , to mamy do czynienia z siecią obciążoną ilustrującą całe przedsięwzięcie w czasie. Aby analiza sieci przedsięwzięcia oraz stosowane odpowiednie metody sieciowe były prawidłowe, należy przestrzegać podstawowe zasady konstrukcji sieci.
ZASADY PRAWIDŁOWEJ SIECI PRZEDSIĘWZIECIA:
Dowolna czynność może rozpocząć się wówczas, kiedy wszystkie czynności poprzedzające ją zostaną ukończone.
Łuki sieci mają tylko znaczenie logicznych powiązań gdzie ich długość oraz kształt nie mają żadnego znaczenia.
Żadne dwa wierzchołki sieci nie mogą być połączone więcej niż jednym łukiem.
Wskazane jest, aby numeracja wierzchołków sieci ( zdarzeń) zachowywał, a kolejność zdarzeń, tzn. początek sieci miał numer 1, koniec sieci numer najwyższy oraz każdy wierzchołek, do którego wchodzi łuk miał numer wyższy od wierzchołka, z którego łuk ten wychodzi.
Pierwszym krokiem w zarządzaniu złożonymi przedsięwzięciami jest zbudowanie takiej sieci czynności dla danego przedsięwzięcia. Jeżeli rozpatrujemy przedsięwzięcie jedynie w aspekcie czasowym, dysponując czasami realizacji poszczególnych czynności, wykorzystujemy w tym celu metodę ścieżki krytycznej ( CPM).
:
METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ-CPM:
Pozwala wyznaczyć najwcześniejszy termin zakańczania całego przedsięwzięcia , najwcześniejsze i najpóźniejsze czasy rozpoczęcia i zakańczania poszczególnych czynności, rezerwy czasowe oraz ścieżkę krytyczną przedsięwzięcia.
Ścieżka krytyczna- łączy początek sieci z jej wierzchołkiem końcowym.
Suma czasów wykonania wszystkich czynności tworzących ścieżkę nazywana jest czasem przejścia ścieżki .Przedsięwzięcie jest wykonane , jeśli zostaną zakończone wszystkie czynności , w szczególności wtedy, kiedy zostaną ukończone czynności wszystkich ścieżek łączących początek i koniec sieci. Najdłuższy czas przejścia ścieżki sieci łączącej początek i koniec sieci nazywany jest czasem krytycznym. Ścieżki sieci, którym odpowiada czas krytyczny nazywane są ścieżkami krytycznymi, czynności składowe takich ścieżek nazywane są czynnościami krytycznymi. Najkrótszy czas zakończenia przedsięwzięcia jest równy czasowi krytycznemu.
W celu wyznaczania czasu krytycznego przedsięwzięcia zadanego siecią obciążoną wystarczy wyznaczyć wszystkie ścieżki łączące początek i koniec sieci, obliczyć czas przejścia dla tych ścieżek, a następnie wybrać czas najdłuższy. Metoda ta, chociaż całkowicie poprawna, w praktyce jest mało efektywna i dla większych sieci zupełnie niepraktyczna.
Numerycznie efektywną procedurą wyznaczania czasu krytycznego jest metoda polegająca na wyznaczaniu pewnych granic czasowych dla każdej czynności:
Najwcześniejszego i najpóźniejszego momentu zajścia zdarzenia, z którego czynność wychodzi oraz zdarzenia, w którym się kończy. Najwcześniejsze momenty zaistnienia zdarzeń obliczane są kolejno od zdarzenia pierwszego do ostatniego, natomiast najpóźniejsze momenty oblicza się w kolejności odwrotnej czyli od ostatniego zdarzenia do pierwszego.
PROCEDURA WYZNACZANIA CZASU KRYTYCZNEGO ORAZ ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ.
PROCEDURA CPM.
Krok 1.- wyznaczać najwcześniejsze momenty zaistnienia wszystkich zdarzeń począwszy do początku sieci w następujący sposób:
t(1)=0
t(i)=max t(k)+t k i , k< i i=2,3,...,n
Krok 2.- wyznaczyć najpóźniejsze momenty zaistnienia wszystkich zdarzeń począwszy od końca sieci następująco:
T(n)=t(n) i jest to czas krytyczny,
T(i)=minT(k)- t i k, k> i oraz i=n-1, n-2,...,1
Krok 3.- wyznaczyć zapasy czasu dla każdej czynności w następujący sposób:
Z i k =T(k)-t(i)- t i k
Krok 4.- wyznaczyć ścieżkę krytyczną, czyli ciąg następujących kolejno po sobie czynności, dla których zapas całkowity czasu Z i k = 0
t i k- czas trwania czynności( i, k)
t(i)- najwcześniejszy moment zaistnienia i-tego zdarzenia
T(k)- najpóźniejszy moment zaistnienia k- tego zdarzenia
Z i k- zapas czasu ( luz czasowy) czynności (i, k)
W praktyce ważną rolę odgrywają czynności krytyczne. Rozpoczęcie czynności krytycznej ( i, k)później, niż w najwcześniejszym momencie zaistnienia zdarzenia i- tego powoduje opóźnienia terminu zakańczania przedsięwzięcia. Czynności nie należące do ścieżki krytycznej mają dodatnie luzy czasowe Z i k, co znaczy , że opóźnienie momentów ich rozpoczęcia w granicach tych luzów czasowych nie powoduje zmiany czasu trwania przedsięwzięcia . Zapasy czasu czynności mówią nam o tym , o ile można opóźnić rozpoczęcie danej czynności nie zmieniając czasu realizacji całego przedsięwzięcia.
Analiz sieci przedsięwzięcia służy również do wyznaczania harmonogramu czynności.
HARMONOGRAM - są to decyzje odnoszące się do czasu rozpoczęcia i zakończenia każdej czynności przedsięwzięcia. Czasy trwania poszczególnych czynności są zdeterminowane, więc zmiennymi decyzyjnymi będą momenty rozpoczęcia poszczególnych czynności.
Optymalny harmonogram to taki, który pozwala zakończyć przedsięwzięcie w możliwie najkrótszym czasie.
W tej metodzie gdy dopuszczalne jest również możliwość przyspieszania realizacji czynności , związana z poniesieniem dodatkowego kosztu , przeprowadzamy analizę czasowo - kosztową . Możemy tu sformalizować dwa modele optymalizacyjne:
Zadanie najszybszego czasu realizacji przedsięwzięcia przy nieprzekraczalnym koszcie dodatkowym , związanym z przyspieszeniem realizacji.
Zadanie minimalizacji kosztu przy nieprzekraczalnym czasie trwania przedsięwzięcia.
PROCEDURA CZASOWO-KOSZTOWA:
Krok 1.- dla każdej czynności wyznaczyć współczynnik redukcji czasu
Krok 2.- wyznaczyć ścieżki krytyczne
Krok 3.- wybrać te czynności krytyczne , dla których t n - t g ≠0 oraz współczynnik redukcji jest najmniejszy. Jeśli nie istnieją takie czynności procedura jest zakończona; w przeciwnym razie przechodzi się do kroku 4.
Krok 4.- skrócić czas trwania wskazanych czynności krytycznych o możliwie największą wielkość y, gdzie y ≤ t n - t g . Przy doborze y należy uważać , aby jego wielkość nie przekraczała najmniejszych wielkości zapasów czasu powiększonych o dopuszczalna redukcję dla czynności ścieżek krytycznych kończących się tym samym zdarzeniem co skracana czynność krytyczna. Takiej samej redukcji czasu należy dokonać w każdej innej ścieżce krytycznej równoległej do rozpatrywanej , jeśli taka istnieje.
Krok.5- sprawdzić , czy w wyniku redukcji czasu pojawiły się czynności niekrytyczne z zerowymi zapasami czasu. Jeśli tak, to przejść do kroku 2 ; w przeciwnym razie przejść do kroku 3.
Natomiast, gdy nie dysponujemy czasami trwania poszczególnych czynności , a jedynie ich oszacowaniami : pesymistycznym, najbardziej prawdopodobnym i optymistycznym, wykorzystujemy metodę PERT.
W metodzie tej wymagane jest określenie trzech lub dwóch szacunkowych czasów dla każdej czynności:
− t m - czas najbardziej prawdopodobny czyli czas wykonywania czynności w normalnych warunkach.
−t p − czas pesymistyczny , najdłuższy czas potrzebny do wykonania czynności w warunkach najmniej korzystnych
−t o − czas optymistyczny, najkrótszy możliwy czas wykonania czynności w najbardziej sprzyjających okolicznościach.
Wielkości wyżej wymienione służą do wyznaczania czasu trwania, korzystając ze wzorów:
e =
Wzór ten oparty jest na estymacji rozkładu beta. Rozkład w tym wzorze jest jednomodalny , ma skończoną i nieujemną granicę przedziału zmienności i niedokończenie jest rozkładem symetrycznym. W praktyce takie charakterystyki są najczęściej własnościami rozkładu prawdopodobieństwa losowego czasu trwania czynności.
Po wyznaczeniu czasu oczekiwanego każdej czynności należy określić również spodziewaną wielkość odchylenia od tego czasu. W tym celu , dla każdej czynności obliczana jest wariancja czasu trwania czynności. Korzystamy wówczas z następującego wzoru:
σ 2 =
w celu określenia ścieżki krytycznej oraz oczekiwanego czasu zakończenia przedsięwzięcia postępuje się zgodnie z procedurą CPM , przy czym obciążeniami sieci będą czasy oczekiwane t e . Oczekiwany czas zakończenia przedsięwzięcia jest czasem przejścia oczekiwanej ścieżki krytycznej. Wariancja przedsięwzięcia ( najkrótszego czasu zakańczania wszystkich czynności) jest równa sumie wariancji wszystkich czynności ścieżki krytycznej. Spodziewany błąd przy określaniu oczekiwanego czasu zakańczania jest pierwiastkiem kwadratowym tej wariancji.
W analizie PERT rozpatruje się również prawdopodobieństwa zakańczania przedsięwzięcia w dowolnie innym czasie niż w czasie oczekiwanym. W tym celu korzysta się z tezy centralnego twierdzenia granicznego i przyjmuje, że rozkład prawdopodobieństwa czasu trwania przedsięwzięcia jest rozkładem normalnym. Jeśli oznaczymy rzeczywisty czas trwania przedsięwzięcia przez T , czas oczekiwany przez T e oraz wariancję przedsięwzięcia przez σ 2 , to prawdopodobieństwo tego , że czas trwania przedsięwzięcia nie przekroczy z góry ustalonego terminu T o wynosi:
jest to zmienna losowa o rozkładzie normalnym standaryzowanym. Prawdopodobieństwa odczytuje się z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego.
Analiza sieciowa wykorzystywana jest nie tylko w planowaniu wykonania przedsięwzięcia , ale także w kontroli przebiegu jego realizacji. Oczywiste jest , że czynności znajdujące się na ścieżce krytycznej podlegają ścisłej kontroli. Jednak powstawanie opóźnień w realizacji czynności niekrytycznych, które przekraczają dopuszczalne luzy czasowe wydaje się nieuniknione. Zdarza się , że w trakcie realizacji przedsięwzięcia wyznaczona wcześniej ścieżka krytyczna przestaje być aktualna. Wobec tego należy powtórnie obliczać najwcześniejsze i najpóźniejsze momenty zaistnienia kolejnych zdarzeń , a tym samym wyznaczyć nowa ścieżkę krytyczną oraz dokonać korekty wcześniej ustalonego harmonogramu.
Zarządzanie projektami - część praktyczna.
Treść zadania:
Grupa studentów ma napisać pracę zaliczeniową z międzynarodowych badań porównawczych. W ramach przygotowań do napisania pracy trzeba było zebrać dane statystyczne i teoretyczne związane z tematem.
Sporządzili więc listę czynności koniecznych przy napisaniu pracy oraz oszacowali czas ich trwania (w dniach).
Listę czynności, czas ich trwania oraz opis zależności czasowych między czynnościami zawiera tabela.
Czynność |
Opis czynności |
Czynn. bezposrednio poprzedzająca |
Czas trwania |
A |
Opracowanie wstępne planu |
- |
3 |
B |
Sformułowanie tematu |
A |
1 |
C |
Sformułowanie hipotez badawczych |
A |
4 |
D |
Odwiedzenie biblioteki |
B, C |
5 |
E |
Zbieranie danych przez internet |
B, C |
14 |
F |
Przegląd danych |
D, E |
3 |
G |
Wybór przydatnych danych |
F |
2 |
H |
Podział między osoby |
G |
2 |
I |
Ukrócenie sporów |
H |
3 |
J |
Ustalenie ostatecznej wersji podziału |
H |
1 |
K |
Pisanie pracy |
I, J |
7 |
L |
Ostateczna wersja |
K |
2 |
Ł |
Przygotowanie prezentacji |
L |
4 |
M |
Przedstawienie pracy (prezentacja) |
Ł |
1 |
Konstrukcja sieci czynności:
Rozwiązanie zadania metodą Ścieżki krytycznej
Krok do przodu
EF = ES + Ł
ES - najwcześniejszy moment rozpoczęcia danej czynności,
EF - najwcześniejszy moment zakończenia danej czynności,
Ł - czas realizacji rozpatrywanej czynności.
Czynność A - rozpoczyna się w wierzchołku początkowym
ES = 0
EF = 0 + 3 = 3
Czynność B C
ES = 3 ES = 3
EF = 3 + 1 = 4 EF = 3 + 4 = 7
Czynność P1 D E
ES = 4 ES = max{4,7} 7 ES = max{4,7} = 7
EF = 4 + 0 = 4 EF = 7 + 5 = 12 EF = 7 + 14 = 21
Czynność P2 F G
ES = 12 ES = max{12,21} ES = 24
EF = 12 + 0 = 12 EF = 21 + 3 = 24 EF = 24 + 2 +26
Czynność H I J
ES = 26 ES = 28 ES = 28
EF = 26 + 2 = 28 EF = 28 + 3 = 31 EF = 28 + 1 + 29
Czynność P3 K L
ES = 31 ES = max{31,29} = 31 ES = 38
EF = 31 + 0 = 31 EF = 31 + 7 = 38 EF = 38 + 2 = 40
Czynność Ł M
ES = 40 ES = 44
EF = 40 + 4 = 44 EF = 44 + 1 = 45
Najwcześniejszy moment zakończenia czynności M, a więc zakończenia całego projektu - to 45 dni.
Krok do tyłu (pozwala na znalezienie rezerw czasowych dla poszczególnych czynności)
LS = LF - Ł
LS - najpóźniejszy moment rozpoczęcia danej czynności,
LF - najpóźniejszy moment zakończenia danej czynności,
Ł - czas realizacji rozpatrywanej czynności.
Czynności:
M Ł L
LF = 45 LF = 44 LF = 40
LS = 45 - 1 = 44 LS = 44 - 4 = 40 LS = 40 - 2 = 38
K P3 J
LF = 38 LF = 31 LF = 31
LS = 31 LS = 31 LS = 30
I H G
LF = 31 LF = min{28,30}30 LF = 26
LS = 28 LS = 26 LS = 24
F P2 E
LF = 24 LF = 21 LF = 21
LS = 24 - 3 = 21 LS = 21 LS = 7
D P1 C
LF = 21 LF = min{16,7} 7 LF = min{16,7} 7
LS = 16 LS = 7 LS = 3
B A
LF = 7 LF = min{3,6} 3
LS = 6 LS = 0
Ścieżka krytyczna:
A - C -E - F - G -H - I - P3 - K - L - Ł - M
Czynność |
ES |
EF |
LS |
LF |
REZERWA |
CZYN. KRYT. |
A |
0 |
3 |
0 |
3 |
0 |
TAK |
B |
3 |
4 |
6 |
7 |
3 |
NIE |
C |
3 |
7 |
3 |
7 |
0 |
TAK |
D |
7 |
12 |
16 |
21 |
9 |
NIE |
E |
7 |
21 |
7 |
21 |
0 |
TAK |
F |
21 |
24 |
21 |
24 |
0 |
TAK |
G |
24 |
26 |
24 |
26 |
0 |
TAK |
H |
26 |
28 |
26 |
28 |
0 |
TAK |
I |
28 |
31 |
28 |
31 |
0 |
TAK |
J |
28 |
29 |
30 |
31 |
2 |
NIE |
K |
31 |
38 |
31 |
38 |
0 |
TAK |
L |
38 |
40 |
38 |
40 |
0 |
TAK |
Ł |
40 |
44 |
40 |
44 |
0 |
TAK |
M |
44 |
45 |
44 |
45 |
0 |
TAK |
P1 |
4 |
4 |
7 |
7 |
3 |
NIE |
P2 |
12 |
12 |
21 |
21 |
9 |
NIE |
P3 |
31 |
31 |
31 |
31 |
0 |
TAK |
REZERWA : LS - ES = LF - EF
Napisanie pracy zaliczeniowej zajmuje co najmniej 45 dni. Czynności krytyczne to: A,C,E,F,G,H,I,K,L,Ł,M,P3. Nie można opóźnić ich realizacji, gdyż spowodowałoby to opóźnienie realizacji całego projektu.
Czynność B można rozpocząć w momencie 3, ale występuje dla niej rezerwa czasowa w wymiarze 3 dni. Co oznacza, że możliwe są pewne opóźnienia w realizacji czynności B, ale nie mogą być one większe niż 3 dni.
Realizację czynności D można rozpocząć po 7 dniach trwania projektu, ale możliwe jest opóźnienie o 9 dni.
Czynność J można rozpocząć po 28 dniach trwania projektu, ale możliwe jest opóźnienie o 2 dni.
Natomiast czynność P1 można rozpocząć po 4 dniach trwania projektu, możliwe że wystąpi 3 dniowe opóźnienie.
Przy czynności P2 wystąpi opóźnienie 9 dniowe, a można ją rozpocząć po 12 dniach trwania projektu.
Zarządzanie projektami - część praktyczna. Metoda PERT
|
|
Czas trwania czynności(w dniach) |
||
Czynności |
Czynność bezpośrednio poprzedzająca |
a optymistyczny |
m normalny |
b pesymistyczny |
A |
|
2 |
3 |
4 |
B |
A |
1 |
1 |
2 |
C |
A |
2 |
4 |
6 |
D |
B,C |
3 |
5 |
7 |
E |
B,C |
8 |
14 |
16 |
F |
D,E |
1 |
3 |
3 |
G |
F |
2 |
2 |
4 |
H |
G |
1 |
2 |
2 |
I |
H |
1 |
3 |
7 |
J |
H |
1 |
1 |
4 |
K |
I,J |
6 |
7 |
14 |
L |
K |
2 |
2 |
7 |
Ł |
L |
2 |
4 |
10 |
M |
Ł |
1 |
1 |
1 |
Dla przedsięwzięcia, jakim było napisanie pracy zaliczeniowej z międzynarodowych badań porównawczych oszacowano czasy wykonania każdej czynności. Nie było możliwe jednoznaczne określenie czasów trwania czynności, wiec oszacowano dla każdej czynności czas realizacji pesymistyczny b ( w warunkach niesprzyjających), najbardziej prawdopodobnym m ( w warunkach normalnych) i optymistyczny a ( w warunkach sprzyjających). Ich wartość prezentuje tabela.
ROZWIĄZANIE ZADANIA METODĄ PERT
Wyznaczamy dla każdej czynności czas realizacji czynności t oraz ich wariancje
2, które obliczamy ze wzorów
t= 
2= (
)2
f t=(1+4*2+3)/6=2,66
g t=(2+4*2+4)/6=2,33
h t=(1+4*2+2)/6=1,83
i t=(1+4*3+7)/6=3,33
|
k t=(6+4*7+14)/6=8
l t=(2+4*2+7)/6=2,83
ł t=(2+4*4+10)/6=4,66
m t=(1+4*1+1)/6=1
|
J t=(1+4*1+4)/6=1,5
|
|
A
t=(2+4*3+4)/6=3
2=[(4-2)/6] 2=0,11
B
t=(1+4*1+2)/6=1,16
2=[(4-2)/6] 2=0,11
c
t=(2+4*4+6)/6=4
2=[(6-2)/6] 2=0,44
d
t=(3+4*5+7)/6=5
2=[(7-3)/6] 2=0,44
E
t=(8+4*14+16)/6=13,33
2=[(16-8)/6] 2=1,77
P1, P2, P3
t=(0+4*0+0)/6=0
2=[(0-0)/6] 2=0
Oczekiwany czas napisania pracy zaliczeniowej wynosi 45 dni.
Wariancję oczekiwanego czasu realizacji obliczamy jako sumę wariancji czasów realizacji czynności leżących na ścieżce krytycznej (A,C,E,F,G,H,I,P3,K,L,Ł,M) Stąd wariancja oczekiwanego czasu realizacji wynosi;
2=0,11+0,44+1,77+0,11+0,11+0,03+1,00+0+1,77+0,69+1,77+0=7,8
2=7,8
1
Studenci obliczyli również, jakie jest prawdopodobieństwo napisania pracy zaliczeniowej w ciągu 38 dni.
Aby to wyliczyć musieli najpierw obliczyć czas standaryzowany z, ze wzoru;
Z=
gdzie
t2-czas zadany (38dni)
t0=czas oczekiwany(45dni)
-odchylenie standardowe
=
=2,79
z=
=2,51
Odczytali z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego wartość prawdopodobieństwa i wyniosła onaP=0,006. Jak widać prawdopodobieństwo napisania pracy w ciągu 38 dni jest znikome.
2
Studenci postanowili również zaplanować moment zakończenia przedsięwzięcia, tak, aby można je było zrealizować w założonym czasie z prawdopodobieństwem 0,98
Aby to wyliczyć odczytali najpierw z tablic rozkładu normalnego prawdopodobieństwo 0,98 i wyniosła ona z=2,054.
Następnie podstawili ją do wzoru
Z=
Z=
t2=2,054*2,79+45=50,73
Studenci stwierdzili po obliczeniach, że jeśli napiszą pracę w ciągu 50,73 dni, to prawdopodobieństwo dotrzymania terminu wyniesie 0,98.
1
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Ł
M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Wyszukiwarka