Zadanie 4

Ciężar
umieszczono na sztywnej, nieważkiej belce o długości l, zawieszonej na dwóch sprężynach walcowych, wykonanych z tego samego drutu. ,

Wyznaczyć:

• częstość drgań swobodnych ciężaru

• okres drgań ciężaru,

• częstotliwość drgań ciężaru.

Dane:

D₁ = 0,05 m (średnica sprężyny (1);

n₁ = 20 (liczba zwojów sprężyny (1);

D₂ = 0,06 m (średnica sprężyny (2);

n₂ = 25 (liczba zwojów sprężyny (2);

d = 0,002 m (średnica drutu obu sprężyn);

Q = 100 N

G = 8·10⁶ N/cm² = 80·10⁹ N/m² = (moduł sprężystości postaciowej materiałów sprężyny).

Rozwiązanie

Obliczamy stałą sprężystości obu sprężyn. Korzystamy przy tym ze wzoru:

gdzie d jest średnicą drutu, zaś D średnica sprężyny.

N - liczba zwojów.

Zatem stałe te dla danego wynoszą:

Obliczamy zastępczą stałą sprężystości układu. Zakładamy, że belka - niezależnie od wychylenia sprężyn - pozostaje pozioma. Niech k oznacza nieznaną sztywność zastępczą układu. Załóżmy, że pod wpływem działania pewnej siły F belka obniżyła się o długość a. Siła F równoważona jest siłą sprężyny. Oznacza to, że zachodzi równość:

Część tej siły pochodzi od lewej sprężyny, część od prawej. Można zapisać to jako:

skąd:

/:a

Oznaczmy wychylenie ciężaru przez x, przy czym dla nieruchomego układu x = 0. Równanie ruchu zapisać można w postaci:

gdzie

rozwiązujemy równanie:

/:m

równanie charakterystyczne:

niech

Równanie to ma dwa pierwiastki urojone:

Wobec tego całka ogólna równania przybiera postać:

Zakładamy, że maksymalne wychylenie drgającego ciężaru (amplituda drgań), wynosi A. stałe całkowania wyznaczamy z warunku początkowego oraz warunku maksymalnego wychylenia.

dla t = 0:

stąd:

Zatem:

, stąd C₂ = A

Równanie ruchu ma postać:

po podstawieniu danych wielkości:

Częstość drgań wynosi więc:

Okres drgań obliczamy z zależności:

Zatem:

Częstotliwość jest odwrotnością okresu: