Jak posługiwać się KRW? Sprawa jest stosunkowo prosta. Przede wszystkim należy znać reguły. Jeżeli uda się Tobie je opanować, to już pozostanie rozwiązanie kilku zadań i nie ma możliwości byś nie nabył w tym wprawy.
Skoro taka jest droga postępowania, to zestawmy wszystkie reguły w jednym miejscu tak, by później nie tracić czasu na ich wyszukiwanie.
Drugim krokiem, jak wspomniałem, jest nabycie pewnej praktyki. Zatem: do roboty!!!
Zadanie 1.
1) p → q
2) q → r
3) p
(P) r?
O co w tym wszystkim chodzi?
Powyżej zostały zapisane trzy zdania w języku formalnym, dwie implikacje i jedno zdanie proste reprezentowane przez zmienną „p”. Naturalnie we wszystkich powyższych formułach można zastąpić zmienne zdaniowe zdaniami prostymi i stworzyć stosowne zdania złożone, np. w miejsce p możemy wstawić zdanie: „Dziś jest poniedziałek”, q - „Jutro będzie wtorek”, r - „Pojutrze będzie środa”. Gdybyśmy dokonali takiego zabiegu zdanie zbudowane na bazie schematu, który pojawił się w wierszu pierwszym (p → q) brzmiałoby następująco: „Jeżeli dziś jest poniedziałek, to jutro będzie wtorek”. Zdanie zbudowane na bazie schematu z wiersza drugiego (q → r) uzyskałoby brzmienie: „Jeżeli jutro będzie wtorek, to pojutrze będzie środa”. Pytanie zaś (r?) brzmiałoby: „Czy pojutrze będzie środa?”.
Możemy tak zrobić tylko, że… nie ma takiej potrzeby. Oto mamy przed sobą schematy zdań, a naszym zadaniem jest stwierdzenie, czy z tych zdań uda się wyprowadzić zdanie r. Jak to zrobić?
Raz jeszcze przepiszmy zadanie:
1) p → q
2) q → r
3) p
(P) r?
Spójrz, w wierszu 3 pojawiła się samotna zmienna zdaniowa - p. Gdy taka sytuacja będzie miała miejsce (ewentualnie, gdy pojawi się zmienna zdaniowa poprzedzona tylko negacją), możesz podejrzewać, że uda się ją odnieść do jakiegoś innego wiersza. Zobaczmy gdzie jeszcze pojawia się p… naturalnie w wierszu pierwszym: p → q. W wierszu pierwszym pojawiła się implikacja, spójrzmy więc na reguły, w których implikacja występuje:
α → β α -------- MPP (RO) β |
α → β ~ β -------- MTT ~α |
Celowo pominąłem regułę NI gdyż w niej implikacja ujęta jest w nawias i tak naprawdę głównym funktorem jest negacja. W naszym zadaniu negacja nie pojawia się.
Zestawmy wspomniany wiersz 1 z 3. Co otrzymamy?...
p → q
p
Przypomina Tobie to coś? Oczywiście są to przesłanki (to, co pojawia się nad kreską inferencyjną) z reguły MPP. Tym samym, jeśli posłużymy się regułą MPP wyprowadzimy wniosek: q
p → q
p
--------
q
Jeśli jeszcze wydaje się to Tobie skomplikowane, powróćmy do naszych przykładowych zdań i rozważmy to przekształcenie posługując się nimi.
Jeżeli dziś jest poniedziałek (p), to jutro będzie wtorek (q).
Dziś jest poniedziałek (p)
-------------------------------------------------------------------------
Zatem: Jutro będzie wtorek (q).
Prawda, że nic strasznego?
Wróćmy więc do naszego zdania. Udało nam się sformułować pewien wniosek, musimy więc go dopisać w kolejnym wierszu…
1) p → q
2) q → r
3) p
(P) r?
4) q MPP (1) (3)
W wierszu 4 wpisaliśmy nie tylko to, do czego doszliśmy ale dodaliśmy też komentarz, który wyjaśnia jak do tego doszliśmy. Zaznaczyliśmy więc, że skorzystaliśmy z reguły MPP, do której przesłanki pochodziły z wierszy: 1 i 3.
Doszliśmy do „q”. Przypatrzmy się więc naszemu zadaniu i zobaczmy, gdzie jeszcze, poza wierszem 4, pojawia się q. Naturalnie jest ono poprzednikiem implikacji z wiersza 2: q → r. Zatem ponownie mamy implikację i jej poprzednik. Raz jeszcze więc możemy skorzystać z reguły MPP. Tym razem nasze przekształcenie będzie wyglądało następująco:
q → r
q
-------
r
Jeśli jeszcze nie wszystko jest jasne, wróćmy do naszych przykładowych zdań i prześledźmy rozumowanie, które przed chwilą przedstawiliśmy za pomocą symboli:
Jeżeli jutro będzie wtorek (q), to pojutrze będzie środa (r).
Jutro będzie wtorek (q).
------------------------------------------------------------------------
Zatem: Pojutrze będzie środa (r).
Napiszmy nasz wniosek w kolejnym wierszu zadania i dodajmy komentarz, jak doniego doszliśmy:
1) p → q
2) q → r
3) p
(P) r?
4) q MPP (1) (3)
5) r MPP (2) (4)
Zauważ, że właśnie odpowiedzieliśmy na pytanie postawione w zadaniu!!! Czy z podanego układu zdań da się wyprowadzić zdanie r? Oczywiście, że tak. Czy pojutrze będzie środa? Naturalnie (oczywiście zakładając, że zadanie to analizujesz w poniedziałek ;) ). Możemy więc z dumą podkreślić odpowiedź: r.
Chyba nie było to trudne?
Zadanie 2.
1) p → (q ^ r)
2) p
(P1) q?
(P2) r?
Ponownie zauważ, że w wierszu 2 pojawia się samotna zmienna zdaniowa. Z czym ją połączyć. Tylko z wierszem pierwszym!!! Raz jeszcze przyjdzie nam z pomocą reguła MPP, a przy okazji wyjaśni się dlaczego w kodeksie reguł wnioskowania dl rachunku zdań pojawiało się α i β, a nie tak dobrze nam już znane zmienne zdaniowe w rodzaju p, q, r, s itd.
Spójrzmy na regułę MPP:
α → β
α
-------- MPP (RO)
β
Cóż ona takiego głosi? Jeżeli uznajemy prawdziwość pewnej implikacji i uznajemy prawdziwość jej poprzednika, to śmiało możemy uznać prawdziwość następnika. Tym samym nasze przekształcenie będzie wyglądało następująco:
p → (q ^ r)
p
--------------
q ^ r
Zauważ raz jeszcze, że reguła MPP głosi, iż w sytuacji gdy uznasz prawdziwość pewnej implikacji i uznasz prawdziwość jej poprzednika, to możesz uznać prawdziwość następnika. W powyższym przypadku poprzednikiem implikacji jest „p” zaś następnikiem koniunkcja: q ^ r.
Ponownie posłużmy się przykładem:
Jeżeli spotkam Olę (p), to pójdę do kina i miło spędzę wieczór (q ^ r).
Spotkałem Olę (p).
--------------------------------------------------------------------------------------
Zatem: Pójdę do kina i miło spędzę wieczór (q ^ r).
Tym samym do naszego zadania możemy dołączyć kolejny wiersz:
1) p → (q ^ r)
2) p
(P1) q?
(P2) r?
3) q ^ r MPP (1) (2)
Dlaczego więc w regułach pojawiają się symbole α i β, a nie zmienne zdaniowe? Jak widzieliśmy α i β reprezentują dowolne formuły zdaniowe, a nie tylko zdania proste. Tym samym α i β mogą reprezentować p, q, r, s…, mogą jednak reprezentować też np. koniunkcję q ^ r, alternatywę p v ~t, jak i każdą inną formułę zdaniową, nawet najbardziej skomplikowaną.
Wróćmy jednak do naszego zadania. Doszliśmy do koniunkcji q ^ r. Co dalej? Przypatrzmy się regule OK.
α ^ β α ^ β
------- ------- OK
α β
i podstawmy to, co mamy w wierszu trzecim
q ^ r q ^ r
------ ------
q r
Do naszego zadania możemy tym samym dołączyć kolejne wiersze.
1) p → (q ^ r)
2) p
(P1) q?
(P2) r?
3) q ^ r MPP (1) (2)
4) q OK (3)
5) r OK (3)
Udzieliliśmy odpowiedzi na postawione pytania, więc je podkreśliliśmy… proste, prawda?
No to do dzieła, teraz Twoja kolej. Odszukaj zadania zamieszczone w tym dziale i… powodzenia.
Wyszukiwarka