Przykład wyznaczania macierzy odwrotnej do danej

1)
.

Macierz
nazywamy macierzą odwrotną do macierzy
, gdy spełnia warunek
,

gdzie
jest macierzą jednostkową ( odpowiedniego rzędu ) .

Macierz odwrotną obliczamy ze wzoru

, gdzie
jest dopełnieniem algebraicznym elementu
.

,
,
,

. Mamy więc
.

Sprawdzamy , czy jest to rzeczywiście macierz odwrotna do podanej macierzy :

.

Wyznaczymy teraz macierz odwrotną do podanej macierzy metodą przekształceń elementarnych -

przekształcamy jednocześnie daną macierz i macierz jednostkową doprowadzając daną macierz do macierzy

jednostkowej .

~
~
~
~
-

( po kolei co wykonaliśmy - pomnożyłam drugi wiersz przez 3 i dodałam do wiersza pierwszego , potem

pomnożyłam pierwszy wiersz przez (-1) i dodałam do wiersza drugiego , potem pomnożyłam drugi wiersz

przez(-1) i dodałam do wiersza pierwszego i na końcu pomnożyłam drugi wiersz przez (-1) .

2)
.

mnożymy pierwszy wiersz przez (-1) i dodajemy do wiersza drugiego i do wiersza trzeciego =
= mnożymy drugi wiersz przez (-2) i dodajemy do wiersza trzeciego =
=
= -1 ,

,
,
,

,
,

,

,
,
.

Stąd mamy
=
.

Spr.
.

Przykład rozwiązania układu równań

a)

Obliczamy wyznacznik główny tego układu

- oznacza to , że układ ma dokładnie

jedno rozwiązanie . Obliczamy wyznaczniki
,
,
:

,
,

, a stąd

,
,
- ( ten układ nazywamy oznaczonym -

ma dokładnie jedno rozwiązanie ) .

b)
,

- wynika stąd ,że układ jest sprzeczny lub nieoznaczony .

Sprawdzamy , jaki to układ .

, zatem układ jest sprzeczny .

Inna metoda - przekształcenia elementarne na macierzy rozszerzonej

~ pierwszy wiersz zostawiamy bez zmiany, pierwszy wiersz pomnożony przez (-3)dodajemy

do wiersza drugiego , pierwszy wiersz pomnożony przez (-5) dodajemy do wiersz trzeciego =

=
. z drugiego i trzeciego wiersza mamy :
, co pokazuje , że

układ jest sprzeczny .

c)

Układ ma trzy niewiadome i cztery równania , korzystamy więc z twierdzenia Kroneckera -Capellego .

Badamy rzędy macierzy podstawowej i macierzy rozszerzonej :

,
.

Macierz A jest prostokątna , wyjmujemy z niej minory rzędu 3 :

, co oznacza , że rząd macierzy jest równy 3 - rzA = 3 .

Rząd macierzy A/B może być 4 - jest to macierz kwadratowa rzędu 4 .

=
=
=
=
=

=
= 4
, co oznacza , że rząd macierzy A/B równa się 4 . Otrzymaliśmy więc, że

co oznacza , że układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązań .

d)
;

Jest to układ trzech równań o czterech niewiadomych . Sprawdzamy rzędy macierzy podstawowej i rozszerzonej

tego układu :

,
.

Obie macierze są prostokątne wymiaru
więc rząd obu macierzy jest co najwyżej równy 3. Badamy minory stopnia 3

,

,

co dowodzi, że rząd macierzy A nie jest równy 3 .

Badamy minory rzędu 2 :

skąd wynika, że rząd macierzy A jest równy 2 . Teraz wyznaczamy rząd macierzy A/B . Sprawdzimy wartość wyznacznika (minora )

co oznacza że rząd macierzy rozszerzonej jest równy 3 . Zatem mamy
więc , na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capellego , układ

równań jest sprzeczny ( nie ma rozwiązań ) .

Rozwiążemy teraz ten układ metodą przekształceń elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej

( zmienimy kolejność równań - to nie wpływa na rozwiązania ) .

~ pierwszy wiersz przepisujemy, mnożymy pierwszy wiersz przez -4 i dodamy do wiersza drugiego, mnożymy pierwszy wiersz przez -3 i dodajemy do wiersza trzeciego ~

~

mnożymy wiersz drugi przez -1 i dodajemy do wiersz trzeciego ~
. Z trzeciego

wiersza mamy :
co jak widać jest fałszywe , bo
. Układ jest sprzeczny .

e)
.

,

,
,
- są to minory drugiego

stopnia wyjęte z macierzy A . Wszystkie są równe zero , więc rząd macierzy A nie jest 2 . Zatem rząd

macierzy A jest równy 1 : rzA=1 . po wyliczeniu wyznaczników wyjętych z macierzy A/B przekonujemy się że

są one także równe zero. , wiec i macierz A/B ma rząd równy 1 .

Mamy więc r = rzA =rzA/B =1 , więc na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capellego wnioskujemy ,że

układ ma rozwiązania . Ponieważ r jest liczbą mnieszą od liczby niewiadomych ( są trzy niewiadome ) więc

układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 3 -1 parametrów .

Zatem np. z = 1 - 3x +y ( otrzymaliśmy to z pierwszego równania ) .

2