Ćwiczenie laboratoryjne 2

Filtry cyfrowe

Cel ćwiczenia: Obserwacja wpływu położenia zer i biegunów transmitancji na odpowiedź impulsową i funkcję transmitancji, niestabilność filtru typu IIR, minimalnofazowość i maksymalnofazowość, parametry projektowe filtrów FIR, parametry projektowe filtrów IIR.

Czas realizacji: 1 dwugodzinne zajęcia

Zagadnienia do powtórzenia przed realizacją ćwiczenia: równanie różnicowe, transmitancja filtru, odpowiedź impulsowa, zera i bieguny transmitancji, przyczynowość i stabilność filtru, typy filtrów: FIR i IIR, rodzaje filtrów związane z metodami projektowania, pasma: przepustowe, zaporowe i przejściowe, filtracja.

Funkcje MATLABa, które będą używane a nie były omawiane wcześniej:

• zplane - wykres położenia zer i biegunów,

• zp2tf - zamiana zer i biegunów na współczynniki filtru cyfrowego (operacja odwrotna do faktoryzacji wielomianów transmitancji,

• impz - wyznaczanie początkowych wartości odpowiedzi impulsowej filtru typu IIR,

• freqz - wyznaczenie i wykres modułu i fazy transmitancji w oparciu o współczynniki równania różnicowego,

• unwrap - rozwijanie fazy,

• butter - projektowanie filtru Butterwordta,

• cheby1, cheby2 - projektowanie filtrów Czebyszewa,

• ellip - projektowanie filtru eliptycznego,

• roots - wyznacznie pierwiastków wielomianu (w tym przypadku zer i biegunów transmitancji.

Zgodnie z przyjętym (uzasadnionym) zwyczajem, w większości skryptów częstotliwość próbkowania wynosi 1, czyli operujemy częstotliwościami unormowanymi.

1. Wpływ położenia zer i biegunów na moduł funkcji transmitancji filtru

Skrypt ZeraBieguny1.m pozwala na:

• zadanie położenia zer funkcji transmitancji (moduł i faza),

• wykreślenie ich położenia,

• obliczenie i wykreślenie odpowiedzi impulsowej,

• obliczenie i wykreślenie modułu i fazy funkcji transmitancji.

Zadania:

1. Zaobserwować wpływ położenia pary zer (moduł i faza) na transmitancję filtru.

-wzrost wartości 'mz'-rosną wartości modułu transmitancji, przegięcia fazy transmitancji są gwałtowne.

-spadek wartości `mz'- maleją wartości modułu transmitancji, przegięcia fazy transmitancji następują łagodnie.

-Kształt w obu przypadkach pozostaje taki sam.

-Gdy zmieniamy wartość 'pz' zmienia się miejsce przegięcia modułu i fazy transmitancji.

-Gdy mz <0 to faza transmitancji przyjmuje wartości ujemne.

-Gdy pz <0 to nic się nie zmienia.

2. Zaobserwować wpływ położenia pojedynczego zera (wartość rzeczywista) na transmitancję filtru.

-gdy zostanie zwiększona wartość 'mz' to wtedy wartości modułu transmitancji maleją.

-gdy mz<0 moduł transmitancji jest funkcją malejącą , a funkcja fazy transmitancji przyjmuje wartości ujemne.

-gdy mz>0 moduł transmitancji jest funkcją rosnącą, a funkcja fazy transmitancji przyjmuje wartości dodatnie.

Skrypt ZeraBieguny2.m pozwala na:

• zadanie położenia biegunów funkcji transmitancji (moduł i faza),

• wykreślenie ich położenia,

• obliczenie i wykreślenie odpowiedzi impulsowej,

• obliczenie i wykreślenie modułu i fazy funkcji transmitancji.

Zadania:

1. Zaobserwować wpływ położenia pary biegunów (moduł i faza) wewnątrz koła jednostkowego na transmitancję filtru. (dla wartości zer=0)

-gdy oba bieguny są równe zero wykres modułu transmitancji jest linią prostą, a wykres fazy transmitancji maleje od zera do 0.5 a następnie gwałtownie rośnie do wartości 3.

-gdy bieguny w kole jednostkowym znajdują się na prawo od zera to wykres modułu transmitancji jest funkcją malejącą. Im bieguny mają większą część urojoną tym wykres fazy transmitancji gwałtownie spada a później wolno maleje do 0.5.

-gdy bieguny w kole jednostkowym znajdują się na lewo od zera to wykres modułu transmitancji jest funkcją rosnącą. Im bieguny mają większą część urojoną tym wykres fazy transmitancji wolno maleje po czym gwałtownie spada do 0.5.

-czym mniejsza jest wartość urojona biegunów tym skoki są łagodniejsze.

2. Zaobserwować wpływ położenia pojedynczego bieguna na transmitancję filtru.

-gdy pol>zer moduł transmitancji jest funkcją malejącą , a funkcja fazy transmitancji przyjmuje wartości ujemne.

-gdy pol=zer to zarówno moduł jak i faza transmitancji jest linią prostą

-gdy pol<zer moduł transmitancji jest funkcją rosnącą, a funkcja fazy transmitancji przyjmuje wartości dodatnie.

3. Zaobserwować wpływ położenia pary biegunów (faza) na kole jednostkowym na transmitancję filtru.

-gdy bieguny leżą na kole jednostkowym na wysokości zera to wykres modułu transmitancji jest pionową linią prostą.

-gdy zmieniamy fazę wykres modułu transmitancji przesuwa się w prawo lub w lewo nie zmieniając swojego kształtu. Im położenie pary biegunów jest dalej na lewo (prawo) zera tym wykres modułu bardziej przesuwa się w prawo(lewo).

Dla pary biegunów leżących na prawo od zera wykres fazy ma powyższy kształt. Im bieguny są dalej od środka tym wykres gwałtowniej maleje i szybciej rośnie.

Dla pary biegunów leżących na lewo od zera wykres fazy ma powyższy kształt. Im bieguny są dalej od środka tym wykres szybciej rośnie i ma gwałtowniejszy, krótszy skok.

4. Zaobserwować wpływ położenia pary biegunów na zewnątrz koła jednostkowego na transmitancję filtru.

-gdy zmieniamy fazę wykresu modułu transmitancji zmienia się wartość wykresu, ale nie zmienia się kształt. Im położenie pary biegunów jest dalej na lewo (prawo) od zera tym wykres modułu ma większą wartość. Wartość modułu nie może przekroczyć 3.96, ponieważ wtedy wykresy nie pokazują się.

-gdy pb=0.5 wykres fazy transmitancji jest funkcją rosnącą, gdy pb różne od 0.5 - wykres najpierw rośnie, potem spada pionowo i znowu rośnie.

Skrypt ZeraBieguny3.m pozwala na:

• zadanie położenia zer i biegunów funkcji transmitancji (moduł i faza),

• wykreślenie ich położenia,

• obliczenie i wykreślenie odpowiedzi impulsowej,

• obliczenie i wykreślenie modułu i fazy funkcji transmitancji.

Zadania:

1. ?Zaobserwować wpływ położenia pary biegunów i pary zer na transmitancję filtru, w sytuacji wystąpienia symetrii względem okręgu jednostkowego - układ wszechprzepustowy,

-gdy pz=pb, mz=-mb -układ wszechprzepustowy

Wykresy są identyczne dla wartości np. pz(pb)=0.1 i 0.9. Czym bieguny i zera są bardziej oddalone od punktu (0,0) tym skok na wykresie modułu jest wyższy i przesunięty w prawo. Natomiast na wykresie fazy również skok następuje później.

2. Zaobserwować wpływ położenia pary biegunów i pary zer na transmitancję filtru w innych przypadkach.

-w zależności od mz, wykres modułu transmitancji jest hiperbolą

-gdy mz większe, tym wartość minimalna na wykresie modułu jest mniejsza i jest w punkcie równym pz. Na wykresie fazy wolniej osiąga swoją wartość minimalną.

-gdy mz mniejsze, tym wartość minimalna na wykresie modułu jest większa i jest w punkcie równym pz. Na wykresie fazy szybciej osiąga swoją wartość minimalną.

-gdy pb większe, tym prawy koniec wykresu modułu ma mniejszą wartość.

-gdy mb większe, tym lewy koniec wykresu modułu ma większą wartość.

2. Systemy minimalno-, maksymalno- i mieszano-fazowe

Skrypty ZeraBieguny4a.m i ZeraBieguny4b.m pozwalają na:

• zadanie położenia zer funkcji transmitancji (moduł i faza),

• wykreślenie ich położenia,

• obliczenie i wykreślenie odpowiedzi impulsowej,

• obliczenie i wykreślenie modułu i fazy funkcji transmitancji.

Zadania:

1. ?Uruchomić obydwa skrypty, których wykresy prezentowane są w oddzielnych oknach. Zaobserwować różnice pomiędzy systemami (filtrami) minimalno- i maksymalno-fazowym.

W systemie minimalno-fazowym odpowiedź impulsowa szybciej zanika. Moduł transmitancji jest taki sam, natomiast różni się wykres fazy transmitancji. W systemie maksymalno-fazowym wykres jest malejący na całej długości, natomiast w minimalno-fazowym raz rośnie później maleje itd.

3. Filtry typu FIR

Do projektowania filtrów typu FIR metodą okna wykorzystujemy funkcję

h=fir1(M-1,Wn,'ftype',window)

h jest wektorem zawierającym odpowiedź impulsową, M jest długością filtru (zalecane jest stosowanie nieparzystej wartości M), W_n jest liczbą (lub wektorem 2 liczb) określającą częstotliwości graniczne, ftype określa typ filtra a window jest typem okna. Wszystkie te parametry mają oczywiście wpływ na funkcję transmitancji filtra.

Korzystając ze skryptu FiltryFIR.m przebadać i zaobserwować:

• wpływ rzędu filtru na transmitancję filtru.

Rząd wpływa na miejsce załamania się wykresu fazy i modułu transmitancji. Nie może być równy 1

• występowanie efektu Gibbsa (rząd filtra nie wpływa na poziom listków bocznych a jedynie na szerokość pasma przejściowego).

Wykres nadmiernie oscyluje wokół punktu. Można przyjąć, że zjawisko to odzwierciedla trudność naśladowania nieciągłej funkcji przez skończone szeregi sinusów. wyjaśnia on przyczynę powstawania wysokoczęstotliwościowych oscylacji stanowiących zakłócenia sygnału przy zastosowaniu filtrów o prostokątnych oknach.

• jakie właściwości i kształty charakteryzują okna czasowe.

Okno czasowe - funkcja opisująca sposób pobierania próbek z sygnału.

Okno prostokątne: najwęższy listek główny. najmniejsze tłumienie listka bocznego.

Okno Trójkątne : splot dwóch okien prostokątnych. Listek główny jest dwa razy większy niż w przypadku prostokątnego. 2 razy większe tłumienie listków bocznych niż w oknie prostokątnym.

Pozostałe okna: rodzina o postaci ważonej sumy cosinusów. Mają kształt cosinusa. Właściwości:

Kształt charakteryzujący okna czasowe to kształt krzywej symetrycznej wokół maksimum o wartości unormowanej do jedności, a wypadającego w połowie długości okna: M=(N-1)/2 (przybliżony do delty Diraca)

• wpływ zastosowanego okna czasowego na transmitancję filtru.

Okno trójkątne: wykres fazy to malejąca linia prosta. Wykres modułu jest malejący z małymi oscylacjami i ostatecznie ustala się na stałej wartości.

Okno Blackmana: wykres fazy maleje i potem powstają „ząbki”. Wykres modułu jest podobny do tego z okna prostokątnego, tylko ma mniejsze oscylacje.

• liniowość fazy filtru.

Jeżeli współczynniki filtru spełniają warunek: h(n)=h(N-1-n) lub h(n)=-h(N-1-n), wówczas filtr taki posiada liniową charakterystykę fazową. Współczynniki filtru spełniające warunek h(n)=-h(N-1-n) dla N nieparzystego, muszą spełnić dodatkowy warunek: h((N1)/2)=0.

4. Filtracja z wykorzystanie filtrów typu FIR

Korzystając ze skryptu FiltracjaFIRv1.m przebadać i zaobserwować:

• spełnienie twierdzenia o wpływie transmitancji systemu liniowego na widmo sygnału wyjściowego: |Y(f)| = |X(f)| |H(f)|.

• występowanie stanu przejściowego na początku przefiltrowanego sygnału.

Na początku sygnał ustala się na wartości zero. W okolicy 10[pr] następuje delikatny skok, po czym znów ma wartość zero. Dopiero przy 800[pr] wartość sygnału oscyluje w granicach od -1 do 1.

Korzystając ze skryptu FiltracjaFIRv2.m przebadać i zaobserwować:

• wpływ rzędu filtru na opóźnienie sygnału po filtracji (korzystając z lupy wykresu).

Im większy rząd filtru tym większe opóźnienie sygnału.

5. Filtry typu IIR

W MATLABie dostępne są 4 rodzaje filtrów IIR:

• filtr Butterwortha - butter.

• filtr Czebyszewa 1 typu - cheby1 - występują zafalowania modułu funkcji transmitancji w paśmie przepustowym,

• filtr Czebyszewa 2 typu - cheby2 - występują zafalowania modułu funkcji transmitancji w paśmie zaporowym,

• filtr eliptyczny - ellip - występują zafalowania zarówno w paśmie przepustowym jak i zaporowym.

Zadania:

• korzystając z helpa zapoznać się z właściwościami tych filtrów i parametrami podawanymi w wywołaniu procedur projektowych.

BUTTER: (filtr aktywny)

filtr charakteryzujący się maksymalnie płaską charakterystyką amplitudową w paśmie przenoszenia. Określany jest funkcją transmitancji.

CHEBY1: (filtr aktywny)

ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym.

CHEBY2: (filtr aktywny)

ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

ELLIP: (filtr aktywny)

• korzystając ze skryptu FiltryIIR.m zaobserwować różnice w modułach funkcji transmitancji tych filtrów.

Filtry Butterwortha i Czebyszewa 1 typu oraz Czebyszewa 2 typu i eliptyczny są do siebie podobne. Wykresy tych pierwszych w pewnym momencie spadają, jednak w porównaniu do tych drugich, nie stabilizują się. Jednakże na końcu osiągają niższe wartości w porównaniu do tych drugich.

• zwiększając rząd wybranego filtra doprowadzić do jego niestabilności.

Dla filtru Butterwortha:

6. Filtracja z wykorzystanie filtrów typu IIR

Korzystając ze skryptów FiltracjaIIRv1.m i FiltracjaIIRv2.m przebadać i zaobserwować:

• spełnienie twierdzenia o wpływie transmitancji systemu liniowego na widmo sygnału wyjściowego: |Y(f)| = |X(f)| |H(f)|,

• występowanie stanu przejściowego na początku przefiltrowanego sygnału,

W pierwszym skrypcie stan przejściowy występuje później niż w drugim. Jest on w zakresie o wiele większym niż w drugim (w pierwszym między 0.2 a -0.2, w drugim 0.003 a -0.003).

• wpływ rzędu filtru na opóźnienie sygnału po filtracji (korzystając z lupy wykresu).

8

---