WYKŁAD 5 04.11.2006

Statystyka dla tablicy większej niż 2×2

lub

gdzie:
- liczebność empiryczna tablicy

- liczebność teoretyczna, taka, która byłaby, gdyby był brak korelacji

- liczba obserwacji

gdzie:
- i-ty wiersz ;
- i-ta kolumna

PRZYKŁAD:

Jakość	A	B	C
Dobra	45	72	36	153
Zła	15	48	54	117
	60	120	90	270

n₁₁ = 45 n₁₂ = 72 n₁₃ = 36

n₂₁ = 15 n₂₂ = 48 n₂₃ = 54

n = 270

I metoda					II metoda
45	34	11	121	3,5588	59,5588
15	26	-11	121	4,6538	8,6538
72	68	4	16	0,2353	76,2353
48	52	-4	16	0,3078	44,3078
36	51	-15	225	4,4118	25,4118
54	39	15	225	5,7692	74,7692
				18,9367	288,9367-n 18,9367

Im większa wartość
tym większe prawdopodobieństwo korelacji.

Współczynnik korelacji T-Czuprowa

INTERPRETACJA: Słaba zależność pomiędzy metodą produkcji a ilością dobrych i złych produktów

Współczynnik korelacji C-Pearsona (kontyngencji)

INTERPRETACJA: Słaba zależność pomiędzy metodą produkcji a ilością dobrych i złych produktów

CECHY ILOŚCIOWA I JAKOŚCIOWA

Jeśli dane ułożone są w tablicy można wyliczyć
i obliczyć T lub C ale dokładniejsze są współczynniki Pearsona (r_bis i r_pbis):

gdzie:
- średnia arytmetyczna wydajności w pierwszej grupie typologicznej

- średnia arytmetyczna wydajności w drugiej grupie typologicznej
p - udział (%) osób w pierwszej grupie
q - udział (%) osób w drugiej grupie

- odchylenie standardowe dla wszystkich łącznie
y - odczytana z tablic rozkładu normalnego wartość rzędnej dla większej z proporcji p i q

Jeśli podział na grupy typologiczne jest sztuczny - stosujemy r_bis jeśli podział na grupy typologiczne jest naturalny (np. M,K) stosujemy r_pbis.

PRZYKŁAD

Analizujemy wydajność w sztukach (cecha ilościowa) w dwóch grupach typologicznych (cecha jakościowa). Czy wiek determinuje wydajność?

wiek	wydajność w sztukach			∑
		5 (y1)	10 (y2)		15 (y3)
do 35 (p)	20	40	40	100
35 i więcej (q)	30	50	20	100
∑	50 (n1)	90 (n2)	60 (n3)	200

→

→

y = 0,3989

-5,25	1378,125
-0,25	5,625
4,75	1353,75
	∑ = 2737,5

INTERPRETACJA: Między wydajnością a wiekiem jest słaba zależność

Ad II. ANALIZA REGRESJI

Jest to drugi stopień analizy korelacji

REGRESJA - zapis związku korelacyjnego przy pomocy f-cji matematycznej

• Regresja I rodzaju - wybór postaci f-cji na podstawie rozrzutu pkt-ów (=wykresu korelacyjnego)

• Regresja II rodzaju - oszacowanie parametrów f-cji = zapis f-cji

Regresja I rodzaju

1. 
   Jeśli pkt-y układają się w prostą mamy do czynienia z regresją liniową:

gdzie
- współczynnik losowy

lub

(używany przez nas zapis, z pominięciem współczynnika losowego)

b - współczynnik regresji (najważniejszy do interpretacji)

b = 0 - korelacji brak

x - zmienna niezależna

y - zmienna zależna

INTERPRETACJA: Jeśli x rośnie o jednostkę to średnio y zmienia się o wartość b
(b > 0 to y↓; b < 0 to y↓)

2. 
   Regresja wykładnicza

lub

lub postać liniowa:

b - współczynnik regresji = stopa przyrostu

INTERPRETACJA: Jeśli x rośnie o jednostkę to średnio y zmienia się o (b-1)∙100%

3. 
   Regresja hiperboliczna

lub

a - poziom stabilności (= nasycenia)

INTERPRETACJA: Wraz ze wzrostem x przy pewnym jego poziomie y będzie utrzymywał się na stałym poziomie

4. 
   Regresja potęgowa

lub

lub postać liniowa

b - współczynnik elastyczności

INTERPRETACJA: Jeśli x rośnie o 1% to średnio y zmienia się o b%

Regresja II rodzaju

Parametry f-cji szacujemy metodą najmniejszych kwadratów

Niech:

1. 
   i
   to:

2. 
   

Aby znaleźć minimum f-cji należy znaleźć miejsca zerowe pochodnych cząstkowych:

Jeśli
to

Z powyższego układu r-nań znajdujemy wartości a i b → patrz tablice stat.

Analogicznie szacuje się parametry dla korelacji krzywoliniowych = regresji potęgowej hiperbolicznej i wykładniczej.

Przy rozpatrywaniu linii regresji analizuje się odległości:

- zmienność całkowita

- zmienność niewyjaśniona linią regresji

- zmienność wyjaśniona linią regresji

Czy f-cja dobrze oszacowana?

1. współczynnik zbieżności = indeterminacji

Ile zmienności jest niewyjaśnionych f-cją regresji - im bliżej zera tym lepiej - tym dokładniejsza f-cja regresji; do 5% może być

2. współczynnik determinacji

Wyjaśnienie f-cji regresji; im większy tym lepiej; dobrze gdy >95%; mówi w ilu % wyjaśnia zależność

- współczynnik korelacji

3. odchylenie standardowe reszt (błąd standardowy szacunku)

gdzie: n - liczba par obserwacji
k - liczba szacowanych parametrów f-cji; u nas k = 2

Mówi o ile przeciętnie odchylają się wartości empiryczne od teoretycznych (in+/in-)

A

B

C

100%

100%

100%

b < 0

x

y

b = 0

x

y

b > 0

x

y

x

y

b < 1

b > 1

x

y

x

y

a

a

b > 0

b < 0

x

y

b >1

-1 < b < 0

0 < b < 1

x

y

---