(848) logika, Budownictwo-studia, Matematyka


Elementy logiki matematycznej i algebry zbiorów

Przypomnijmy podstawowe oznaczenia i definicje

Zdaniem w matematyce nazywamy takie zdanie w sensie gramatycznym, o którym można jednoznacznie orzec, czy jest prawdziwe czy fałszywe. Wartość logiczną zdania prawdziwego oznaczamy przez 1, zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0.

Definicje: negacji zdania 0x01 graphic
, alternatywy zdań p i q 0x01 graphic
, koniunkcji 0x01 graphic
, implikacji 0x01 graphic
i równoważności 0x01 graphic
przypominamy skrótowo w poniższych tabelkach:

p

~ p

1

0

0

1

p

q

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

Symbole: 0x01 graphic
oznaczają odpowiednio kwantyfikator ogólny (czyt. dla każdego) i kwantyfikator szczegółowy (czyt. istnieje).

W dalszym ciągu będziemy również korzystać z następujących oznaczeń i definicji:

N - zbiór liczb naturalnych, N = {1,2,3,........},

C - zbiór liczb całkowitych , całkowitych = {0,-1,1,-2,2,........},

W - zbór liczb wymiernych W = {0x01 graphic

R - zbiór liczb rzeczywistych,

R+ - zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,

0x01 graphic
- przedział domknięty o końcach a i b,

0x01 graphic
- przedział otwarty o końcach a i b, itd.

0x01 graphic
- suma mnogościowa zbiorów Ai B,

0x01 graphic
- iloczyn mnogościowy zbiorów A i B,

0x01 graphic
+ różnica mnogościowa zbiorów A i B.

Zadania

1. Podać wartość logiczną zdań:

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic

e) 0x01 graphic

f) Nieprawda, że suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 0x01 graphic
.

g) Długość okręgu jest mniejsza od długości jego średnicy lub długość okręgu jest większa od długości jego promienia.

h) Suma kątów wewnętrznych w równoległoboku jest równa 0x01 graphic
i długość obwodu równoległoboku jest większa od sumy długości jego przekątnych.

i) Jeżeli liczba 8 jest podzielna przez 5, to liczba 8 jest podzielna przez 3.

j) Liczba 3 jest podzielnikiem liczby 7 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba 5 jest podzielnikiem liczby 5.

2. Sprawdzić, czy następujące formuły zdaniowe są tautologiami (prawami rachunku zdań):

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic

e) 0x01 graphic

f) 0x01 graphic

g) 0x01 graphic

h) 0x01 graphic

i) 0x01 graphic

j) 0x01 graphic

3. Podać wartości logiczne zdań:

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic

e) 0x01 graphic
0x01 graphic

f) 0x01 graphic
0x01 graphic

g) 0x01 graphic
0x01 graphic

h) 0x01 graphic
0x01 graphic

i) 0x01 graphic
0x01 graphic

j) 0x01 graphic
0x01 graphic

4. Zapisać formalnie poniższe zdania i podać ich wartości logiczne:

a) Równanie 0x01 graphic
ma rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych.

b) Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y wartość bezwzględna z ich sumy nie przekracza (jest mniejsza lub równa) od sumy ich wartości bezwzględnych.

bezwzględnych) Dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych pierwsza z nich nie przewyższa (jest mniejsza lub równa) od drugiej lub druga nie przewyższa (jest mniejsza lub równa) od pierwszej.

d) Nie dla każdej liczby rzeczywistej jej kwadrat jest od niej większy.

5. Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Wyznaczyć zbiór B, ustalić relację (równość, inkluzja) między zbiorami A i B i znaleźć 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

6. Znaleźć 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, jeżeli:

a) 0x01 graphic

0x01 graphic

b) 0x01 graphic

0x01 graphic

c) 0x01 graphic

0x01 graphic

d) 0x01 graphic

0x01 graphic

Przypomnijmy, że 0x01 graphic

e) A = N

0x01 graphic

f) 0x01 graphic

0x01 graphic

g) 0x01 graphic

0x01 graphic

h) 0x01 graphic

0x01 graphic

7. Na płaszczyźnie 0XY dane są zbiory:

a) 0x01 graphic

0x01 graphic

b) 0x01 graphic

0x01 graphic

c) 0x01 graphic

0x01 graphic

Narysować:

0x01 graphic
dla a)

0x01 graphic
dla b)

0x01 graphic
dla c)

8. Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Dla jakich wartości parametru 0x01 graphic
zbiór 0x01 graphic
jest zbiorem jednoelementowym? Sporządzić odpowiedni rysunek.

Odpowiedzi

1. Zadania a), b), j) mają wartość logiczną 0 (są fałszywe); pozostałe zdania SA prawdziwe.

2. Formuły h), j) nie są tautologiami; pozostałe formuły są tautologiami.

Wskazówka: najdogodniej zastosować tzw. metodę zero - jedynkową. I tak np. dla g) mamy:

p

q

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

Ponieważ w ostatniej kolumnie (zawierającej badaną formułę) występują same jedynki, więc formuła (schemat zdaniowy) jest tautologią.

3. Zdania c), f), g), i), j) mają wartość logiczną 1 (są prawdziwe); pozostałe zdania są fałszywe.

4.

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Wszystkie powyższe zdania są prawdziwe.

Uwaga: w d) wykorzystaliśmy prawo De Morgana dla kwantyfikatorów.

5.

B = {-2,0,2},

0x01 graphic

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

6.

a) 0x01 graphic

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

b) 0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

c) 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

d) 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

e) 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

f) 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

g) 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

h) 0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wskazówka: aby wyznaczyć zbiór A podstawiamy 0x01 graphic
. Otrzymujemy nierówność: 0x01 graphic
. Stąd otrzymujemy t > 3 czyli 0x01 graphic
. Ostatnią nierówność logarytmujemy logarytmem o podstawie 3.

W celu wyznaczenia zbioru B przekształćmy nierówność do postaci:

0x01 graphic

W przedziale 0x01 graphic
powyższe nierówności można podnieść do kwadratu. W przedziale 0x01 graphic
powyższa nierówność jest tożsamością.

7.

a)

0x01 graphic

b)

0x01 graphic

c)

0x01 graphic

8. 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka