wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka


15.12.2009

Twierdzenie 3 o pochodnej funkcji złożonej

Niech funkcja 0x01 graphic
będzie różniczkowalna w 0x01 graphic
oraz niech funkcja 0x01 graphic
będzie różniczkowalna w 0x01 graphic
wtedy funkcja złożona 0x01 graphic
jest różniczkowalna w 0x01 graphic
oraz

0x01 graphic

Twierdzenie 4

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest ciągła i ściśle monotoniczna (tzn. rosnąca lub malejąca) w pewnym otoczeniu 0x01 graphic
, oraz istnieje skończona pochodna 0x01 graphic
to funkcja odwrotna do 0x01 graphic
posiada pochodną w punkcie 0x01 graphic
przy czym 0x01 graphic

Pochodne funkcji elementarnych

c-stała

0

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Pochodna funkcji danej w postaci parametrycznej.

Dane są funkcje 0x01 graphic
, 0x01 graphic
określone i ciągłe względem parametru 0x01 graphic
podając związek zmiennej niezależnej 0x01 graphic
za zmienną zależną 0x01 graphic
.

Zakładamy, że

  1. 0x01 graphic
    jest ściśle monotoniczna

  2. Istnieje skończona pochodna 0x01 graphic
    !!!!!!!!

Zatem istnieje funkcja odwrotna 0x01 graphic
funkcja ta jest ciągła i ściśle monotoniczna

Funkcja złożona 0x01 graphic
jest ciągła.

Ponieważ 0x01 graphic
0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
więc na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

0x01 graphic
czyli 0x01 graphic

Różniczka.

Dana jest funkcja 0x01 graphic
ciągła w 0x01 graphic

Definicja

Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
jest różniczkowalna w 0x01 graphic
jeżeli jej przyrost w 0x01 graphic
ma postać

0x01 graphic

przy czym

0x01 graphic
stała

0x01 graphic

Twierdzenie 1

Na to by funkcja 0x01 graphic
ciągła w 0x01 graphic
była różniczkowalna w 0x01 graphic
, potrzeba i wystarcza, by istniała skończona pochodna 0x01 graphic

Jeżeli warunek ten zachodzi, to 0x01 graphic

Definicja

Niech funkcja 0x01 graphic
będzie określona na przedziale 0x01 graphic
oraz niech istnieje skończona pochodna 0x01 graphic
dla każdego 0x01 graphic

Różniczką funkcji 0x01 graphic
ze względu na przyrost 0x01 graphic
nazywamy funkcję 0x01 graphic

Wartość różniczki funkcji 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
wynosi 0x01 graphic

Podstawiając 0x01 graphic

mamy 0x01 graphic

oraz 0x01 graphic

czyli 0x01 graphic

zatem dla dowolnej funkcji 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic

Ponieważ dla funkcji różniczkowalnej zachodzi równość

0x01 graphic

Więc dla 0x01 graphic
bliskich 0x01 graphic
, otrzymujemy równanie przybliżone

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic

Podstawiając 0x01 graphic

czyli 0x01 graphic

otrzymujemy 0x01 graphic

dla 0x01 graphic
bliskich 0x01 graphic

W szczególności dla 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
bliskich 0x01 graphic
.

4



Wyszukiwarka