15.12.2009
Twierdzenie 3 o pochodnej funkcji złożonej
Niech funkcja
będzie różniczkowalna w
oraz niech funkcja
będzie różniczkowalna w
wtedy funkcja złożona
jest różniczkowalna w
oraz
Twierdzenie 4
Jeżeli funkcja
jest ciągła i ściśle monotoniczna (tzn. rosnąca lub malejąca) w pewnym otoczeniu
, oraz istnieje skończona pochodna
to funkcja odwrotna do
posiada pochodną w punkcie
przy czym
Pochodne funkcji elementarnych
c-stała |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pochodna funkcji danej w postaci parametrycznej.
Dane są funkcje
,
określone i ciągłe względem parametru
podając związek zmiennej niezależnej
za zmienną zależną
.
Zakładamy, że
jest ściśle monotoniczna
Istnieje skończona pochodna
Zatem istnieje funkcja odwrotna
funkcja ta jest ciągła i ściśle monotoniczna
Funkcja złożona
jest ciągła.
Ponieważ
gdzie
więc na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy
czyli
Różniczka.
Dana jest funkcja
ciągła w
Definicja
Mówimy, że funkcja
jest różniczkowalna w
jeżeli jej przyrost w
ma postać
przy czym
stała
Twierdzenie 1
Na to by funkcja
ciągła w
była różniczkowalna w
, potrzeba i wystarcza, by istniała skończona pochodna
Jeżeli warunek ten zachodzi, to
Definicja
Niech funkcja
będzie określona na przedziale
oraz niech istnieje skończona pochodna
dla każdego
Różniczką funkcji
ze względu na przyrost
nazywamy funkcję
Wartość różniczki funkcji
w punkcie
wynosi
Podstawiając
mamy
oraz
czyli
zatem dla dowolnej funkcji
mamy
Ponieważ dla funkcji różniczkowalnej zachodzi równość
Więc dla
bliskich
, otrzymujemy równanie przybliżone
czyli
Podstawiając
czyli
otrzymujemy
dla
bliskich
W szczególności dla
mamy
dla
bliskich
.
4