Def.Superpozycją (złożeniem) odwz. f:X→Y i g:Y→Z nazywamy takie odwz. g°f:X→Z , które spełmia warunek ∀x∈X (g°f)(x)=g[f(x)]

Def.Odwz. f:X→Y nazywamy odwracaln. jeżeli istnieje taka funkcja g:Y→X, że spełnione są warunki: f°g=idy ∧ g°f=idx (id
X→X: id(x)=x). Odwzorow. odwrotne do odwzorowania f oznaczamy f

∀x∈X f
[f(x)]=x i ∀y∈Y f[f
(y)]=y .Odwzorowanie f jest odwracalne ⇔ gdy jest bijekcją.

Def.Jeżeli spełniony jest warunek ∃e∈A ∀a∈A e#a=a#e=a to element e nazywamy elementem neutralnym, a półgrupę - unitarną.

Def.Półgrupę unitarną komutatywną, w której każdy element ma element symetr., tzn. ∀A ∃a'∈A a#a'=a'#a=e nazyw. grupą abelową.

Def.Trójką (A,#,°)[gdzie #,°-dwa działania wewnętrzne w niepustym zbiorze A] spełniającą warunki:1.para (A,#)- jest grupą abelową

2.para (A,°)- jest półgrupą 3. działanie „°” jest dystrybutywne ( rozdzielne ) względem działania „#” tzn. ∀a,b,c∈A (a#b)°c=(a°c)#(b°c) c°(a#b)=(c°a)#(c°b) nazywamy pierścieniem.

Def. ciałaPierścień całkowity, w którym każdy element niezerowy ma element symetryczny (względem drugiego działania) nazywamy ciałem. Elementy ciała nazywamy liczbami albo skalarami.

Def. przestrzeni liniowej (wektorowej)Niech V=(A,+) [będzie grupą abelową], K dowolnym ciałem zaś S:K×V→V odwzorowaniem, które parze elementów (α,V)∈ K×V będziemy oznaczać S(α,V)=αV. Trójkę (V,K,S), która spełnia warunki:1.∀α∈K ∀a,b,c∈V α(a+b)=αa+αb 2.∀α,β∈K ∀a∈V (α+β)a=αa+βa

3.∀α,β∈K ∀a∈V (αβ)a=α(βa) 4.∀a∈V 1a=a - nazywamy przestrzenią liniową, przestrzenią wektorową nad ciałem K i oznaczamy symbolem V(K). Elementy grupy V nazywamy wektorami, a odwzorowanie S, mnożeniem skalarów przez wektory.

Def.Kombinacją liniową n wektorów a
,a
,...,a
z przestrzeni wektorowej [∈V(K)] o współczynnikach
nazywamy element przestrzeni V postaci
.

Def.Bazą przestrzeni liniowej V(K) nazywamy niepusty jej podzbiór, którego wektory e
są liniowo niezależne, przy czym każdy wektor V da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy. Ilość elementów w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i ozn. symbolem dimV. ∀∋a=
- rozkład wektora w bazie {e
}

Liczby zespolone. Jeżeli liczby zesp. z i z' są różne od zera, a ϕ
i ϕ
są dowolnymi argumentami tych liczb, to suma ϕ
+ϕ
jest arg. iloczynu zz' zaś różnica ϕ
-ϕ
jest argument. ilorazu

Tw.(wzory Moivre'a) Jeżeli liczba zespolona z jest różna od zera, a ϕ jest jej dowolnym argumentem, to liczba rzeczywista nϕ , gdzie n∈N , jest argumentem liczby z
.(cosϕ+isinϕ)
=cosnϕ+isinnϕ

z
=|z|
( cosnϕ+isinnϕ)

Tw.Jeżeli z≠0 i z=|z|(cosϕ+isinϕ), to
jest zbiorem n-elementow. postaci:
=
; k=0,1,2,...,n-1

Tw. Bezouta Jeżeli z
jest miejscem zerowym wielomianu p, to wielomian ten jest podzielny przez dwumian z- z
i odwrotnie, czyli p(z)=0 ⇔ (z- z
)|p(z).

Tw. d'Alamberta Każdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n≥1 ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wielomiany w liczbie zespolonej

Jeżeli liczba zespolona z
jest pierwiastkiem wielomianu p o wspólczynnikach rzeczywistych, to również pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba sprężona
.

Funkcje wymierne Każdą funkcję wymierną właściwą
można przedstawić w postaci sumy pewnej liczby ułamków prostych, przy czym: 1.Każdemu czynnikowi postaci (x- x
)
w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają w tej sumie składniki :
; gdzie α
...α
∈R

2.Każdemu czynnikowi postaci (x
+bx+c)
w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają. w tej sumie składniki:
gdzie
b,c∈R oraz b
-4c<0

Macierze i wyznaczniki Definicja macierzy

Macierzą wymiaru m×n nazywamy wartość odwzorowania, którego dziedziną jest iloczyn kartezjański {1,2,...,m}×{1,2,...,n} a wartości są z pewnego zbioru (ciała) K : {1,2,...,m}×{1,2,...,n}→a
∈K

Def.Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A
nazywamy wartość odwzorowania det:
zbioru macierzy stopnia n, które spełnia warunki : 1.jednorodność
∀λ∈K det(a
,...,λa
,...,a
)=λ(a
,...,a
,...a
) 2.addytywność
det
=det
+det

3.
det
=-det

4.detE=det
=1 E- macierz jednostkowa

Własności:1.detA=detA
wszystkie własności sformułowane dla kolumn są prawdziwe dla wierszy.2.det(0
)=0 z własności 1.

3.Pomnożyć wyznacznik przez liczbę, znaczy pomnożyć 1 kolumnę macierzy przez tę liczbę.4.Zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.5.Macierz o dwóch identycznych kolumnach ma wyznacznik równy 0 lub macierz o dwóch kolumnach proporcjonalnych ma wyznacznik równy zero.

det
=-det
detA=0 6.Macierz o kolumnie zerowej ma wyznacznik równy 0 det
=det
= det
+(-1)det
=0 7.Jeżeli w macierzy jedna kolumna jest kombinacją liniową pozostałych kolumn, to wyznacznik macierzy równa się zero det
= det
+det
+...+det
=0

8.Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, Jeśli do jego dowolnej kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych.

9.Wyznacznik macierzy jest równy 0⇔, gdy kolumny tej macierzy są liniowo zależne. 10.(twierdzenie Cauchy'ego)-Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników macierzy. det(A*B)=(detA)*(detB) jeśli AB#BA det(AB)=det(BA)

Def. minoraMinorem M
elementu a
macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.

Def.Dopełnieniem algebraicznym A
elementu a
macierzy A nazywamy liczbę określoną wzorem A
:=(-1)
M

Def.Macierz kwadrat. A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyzn. jest różny od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobli.

Def.Jeżeli macierze A,B∈
oraz AB=BA=E to macierz B nazywamy odwrotną do macierzy A i oznaczamy ją symbolem A
.

Def.Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie f:U→V spełniające warunki:

1.∀a,b∈U f(a+b)=f(a)+f(b) - addytywność odwzorowania

2.∀λ∈K ∀a∈U :f(λa)=λf(a) - jednorodność odwzorowania - nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w V

(1.i 2.)⇔ ∀λ
,λ
∈K ∀a,b∈U f(λ
a+λ
b)=λ
f(a)+λ
f(b)

Jeśli V=R to przekształcenie nazywamy formą liniową. F(U) podprzestrzeń liniowa przestrzeni V.

Def. rzędu macierzy.Rzędem niezerowej macierzyA=( a
,a
,... ,a
) nazywamy ilość liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn tych macierzy.Uwaga 1: Rzęd.macierzy A nazyw. największy stopień jej minora różnego od 0.Uwaga 2: DimL=( a
,a
,...,a
)=r(A)

Własności rzędu macierzy:1.r(A)=0⇔ A=0 2.r(A)=r(A
)

3.r(A)≤min(m,n) jeśli A∈

4.Rząd macierzy nie zmieni się jeśli dokonamy na kolumnach tej macierzy operacji, które nie zmienią wartości wyznacznika. W szczególności rząd macierzy nie zmieni się jeśli usuniemy z niej kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonaln. usuniemy jedną.

Przestrzeń metryczna i unormowana

Odwzorowanie d:A
→R , gdzie A≠0 spełniające warunki :

1.∀a,b∈A d(a,b)=0⇔ a=b 2.∀a,b∈A d(a,b)=d(b,a) - symetria

3.∀a,b∈A d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)-nierówność trójkątna - nazywamy metryką w zbiorze A. Wartość tego odwzorowania na parze elementów (a,b)nazywamy odległością elementów a i b.

∀a,b∈A d(a,b)≥0 d(a,b)=
[ d(a,b)+d(b,a)]≥
d(a,a)=0

Def.Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:∀a,b∈A d(f(a),f(b))=d(a,b) nazywamy izometrią.

Def.Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek: ∃λ∈(0,1) ∀a,b∈A d(f(a),f(b))≤λd(a,b) nazywamy przekształceniem zwężającym lub kontrakcją.

Przestrzeń unormowana Niech V (przestrzeń liniowa) nad ciałem R. Funkcjonał (odwzorowanie) ||•||:V→R spełniająca warunki:

1.∀v∈V ||v||=0 ⇔ v=0 2.∀λ∈R ∀v∈V ||λv||=|λ|*||v||

3.∀v
,v
∈V ||v
+v
||≤||v
||+||v
|| nazywamy normą w przestrzeni V, a przestrzeń liniową z określoną normą nazywamy przestrzenią unormowaną.