LABORATORIUM FIZYKI I			Ćwiczenie nr: 37
						Data: 24.10.08
Wydział: SiMR	Grupa: 2.3	Zespół: 4	Punktacja:	Przygotowanie:
Nazwisko i Imię: Demidowski Tomasz
Temat ćwiczenia: Dyfrakcja elektronów i światła na sieci krystalicznej					Sprawozdanie:
Prowadzący:					Suma punktów:

1. Wstęp teoretyczny

Celem naszego ćwiczenia było zapoznanie się ze zjawiskiem dyfrakcji światła na sieciach krystalicznych oraz potwierdzenie hipotezy de Broglie'a poprzez przeprowadzenie doświadczenie analogicznego to tego, które przeprowadził Thompson.

Światło jest fala elektromagnetyczną, która w określonych warunkach wykazuje właściwości charakterystyczne dla ruchu falowego ( np. zjawisko dyfrakcji lub interferencji). W przypadku, gdy oddziałuje z cząstkami np. elektronem to fala ta zachowuje się jak strumień cząstek (fotonów). Energie takiej fali, można określić wzorem:

Gdzie:

h - stała Plancka

- częstotliwość fali świetlnej

Pęd takiej cząsteczki przedstawia się następująco:

Gdzie:

c - prędkość światła w próżni

- długość fali świetlnej

Francuski uczony Louis de Broglie stwierdził, że każdej cząstce można przypisać towarzyszącą jej falę, której długość wynosi
. Warunkiem tego założenia było przyjęcie, że dualizm korpuskularno-falowy jest podstawowa cechą otaczającej nas materii.

Dyfrakcja to zjawisko fizyczne zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód oraz w ich pobliżu. Zjawisko zachodzi dla wszystkich wielkości przeszkód, ale wyraźnie jest obserwowane dla przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali.

W naszym ćwiczeniu zajmowaliśmy się dyfrakcją na siec krystalicznej atomu. Zgodnie z zasadą Huygensa, każdy atom kryształu oddziałując z falą staje się nowym źródłem fali kulistej. Powstała fala ma taką samą długość jak fala pierwotna. Fala w każdym punkcie jest sumą wszystkich fal (interferencja). Kiedy nakładają się fale o zgodnych fazach następuje wzmocnienie, a kiedy o przeciwnych kierunkach następuje osłabienie. Aby zaszła interferencja nakładające się fale muszą mieć taka sama częstotliwość oraz różnice faz niezmienna w czasie.

Zjawisko dyfrakcji na krysztale opisuje wzór Bragga:

Gdzie:

d- odległość między kolejnymi płaszczyznami atomowymi

- długość fali padającej

- kąt między kierunkiem padania promienia a płaszczyzna atomowa

n - rząd ugięcia

Doświadczenie Thompsona jest potwierdzeniem hipotezy de Broglie'a. Polega one na emisji wiązki elektronów przyśpieszanych w polu elektrycznym z katody lampy oscyloskopowej na folię wykonana z materiału o budowie polikrystalicznej (np. grafit) w wyniku, czego na ekranie można zauważyć okręgi interferencyjne o różnych średnicach D. Wzór opisujący to zjawisko:

Gdzie;

r - odległość ekranu od foli

h - stała Plancka

d - odległość miedzy płaszczyznami atomowymi

U - napięcie przyspieszające

m - masa elektronu

e - ładunek elektronu.

Gdy zjawisko dyfrakcji zachodzi na sieci regularnej prostokątnej, to każdy atom sieci stałej się źródłem nowej fali kulistej. Fale interferują z sobą, a efekt tego jest widoczny na ekranie ustawionym w pewnej odległości od sieci. Aby zaszło wzmożenie fale musza spełnić równania Laubego. Rozwiązaniem tych równań są powierzchnie stożkowe, które na prostopadle ustawionym ekranie tworzą rodziny hiperbol. Rozwiązaniem obu równań obserwowanym na ekranie są świecące punkty w miejscu przecięcia hiperbol.

2. Układ pomiarowy

a) Doświadczenie Thompsona:

Układ pomiarowy skład się z lampy oscyloskopowej z zasilaczem, który umożliwia regulacje napięcia przyspieszającego. Elektrony padają na folię wykonana z grafitu, a następnie na ekran ustawiony w odległości r = 127 ± 1[mm] od foli

b) Dyfrakcja światła na się krystalicznej.

Układ pomiarowy składa się z lasera emitujące światło czerwone o długości λ = 660 nm. Wiązka światła pada na folię, która stanowi dwuwymiarowy model sieci krystalicznych i polikrystalicznych. Folie są mocowane za pomocą magnesu do podstawki, na której znajduje się laser. w odległości L = 1400 ± 2 mm od laseruj znajduje się ekran, na którym można obserwować obraz interferencyjny.

3. Wykonanie ćwiczenia

1. Dyfrakcja elektronów - doświadczenie Thompsona

1. Zapoznanie się z obsługą zasilacza lampy oscyloskopowej.

2. Sprawdzenie, czy pokrętło regulacji napięcia przyspieszającego elektrony jest w położeniu zerowym.

3. Włączenie zasilania lampy i odczekanie 2 min aż rozgrzeje się katoda.

4. Obserwacja plamki na ekranie podczas obracania pokrętłem regulacji napięcia przyspieszającego elektrony (Ew. regulacja jej jasności).

5. Zwiększenie napięcia przyspieszającego elektrony aż do pojawienia się pierścieni (kontrolując jasność i ostrość obrazu).

6. Pomiar średnicy Di widocznych na ekranie pierścieni przy ustalonym napięciu przyspieszającym U

7. Powtórzenie pomiarów dla 10 różnych wartości napięcia przyśpieszającego

8. Wyłączenie zasilania lampy i pomiar odległości między przeźroczem i ekranem.

2. Dyfrakcja światła na sieci krystalicznej

1. Włączenie lasera i ustawienie go w zaznaczonym na stole laboratoryjnym miejscu tak, aby wiązka padała w pobliżu środka ekranu.

2. Ustawienie na linii biegu wiązki lasera przeźroczy A1, B1 i B5.

3. Odrysowanie obrazu interferencyjnego z ekranu dla każdego użytego przeźrocza.

4. Pomiar stałych sieciowych przeźroczy z wykorzystaniem mikroskopu.

5. Zanotowanie odległości L (przeźrocze - ekran).

4. Opracowanie wyników

a) Dyfrakcja elektronów - doświadczenie Thompsona

W pierwszej części ćwiczenia badaliśmy zjawisko dyfrakcji elektronów na foli grafitowej o sieć heksagonalnej - doświadczenie Thompsona. Wyniki pomiarów zostały przedstawione w tabeli.

Pomiar	U [V]	D1 [m]	D2 [m]
1	3,78	0,023	0,043
2	4,62	0,021	0,038
3	5,46	0,02	0,035
4	6,24	0,019	0,034
5	7,12	0,017	0,031
6	8,04	0,015	0,029
7	8,88	0,014	0,027
8	9,6	0,014	0,026
9	10,54	0,013	0,024
10	11,34	0,013	0,024

Korzystając z programu ORIGIN wykonaliśmy wykres zależności średnicy pierścienia D1 od odwrotności kwadratu napięcia przyśpieszającego.

Równanie opisujące tą zależność to:

Gdzie:

r - odległość ekranu od foli (r=127 [mm]=0,127 [m])

h - stała Plancka (h = 6,626 0693 (11) × 10^-34 J·s)

m - masa elektronu (m= 9,11 x 10^-31 kg)

e - ładunek elektronu (e=1,602 x 10^-19C)

u - napięcie przyspieszające

d - odległość między płaszczyznami atomowymi foli grafitowej

Następnie korzystamy metody sumy najmniejszych kwadratów podstawiając:

Na podstawie tych zależności program ORIGIN tworzy prostą y=Bx+A, która w najlepszy sposób pokrywa się z otrzymanymi punktami. Znając współczynniki B - nachylenia prostej można obliczyć odległość d_i między płaszczyznami dającymi pierścień D_i oraz wartość błędu
_i.

2008-11-01 16:24

Linear Regression for Data1_B:

Y = A + B * X

Parameter Value Error

------------------------------------------------------------

A -0,00213 0,00112

B 1,58435 0,09174

------------------------------------------------------------

R SD N P

------------------------------------------------------------

0,98685 6,23115E-4 10 <0.0001

------------------------------------------------------------

Linear Regression for Data1_C:

Y = A + B * X

Parameter Value Error

------------------------------------------------------------

A -0,00238 0,00102

B 2,78698 0,08389

------------------------------------------------------------

R SD N P

------------------------------------------------------------

0,9964 5,69757E-4 10 <0.0001

------------------------------------------------------------

Zatem:

W naszym przypadku;

B₁=1,58435

B₂=2,78698

δB₁=0,09174

δB₂=0,08389

Dokonując podstawień i obliczeń otrzymujemy:

Aby wyznaczyć wartość d_i odległości między płaszczyznami atomowymi dla i-tego pomiaru korzystam ze wzoru:

Dla 3 pomiaru:

r = 0,127 [m]

h = 6,62617⋅10^-34 [Js]

m = 9,107⋅10^-31 [kg]

e = 1,6018⋅10^-19 [C]

D₁= 0,02 [m]

D₂= 0,035 [m]

U= 5460 [V]

Zatem:

Oraz:

b) Dyfrakcja światła na sieci krystalicznej

Celem drugiej części ćwiczenia była obserwacja zjawiska dyfrakcji światła na sieci krystalicznej. Na osobnych kartkach zostały umieszczone obrazy interferencyjne przerysowane z ekranu. Obrazy te powstały w wyniku wstawienia w bieg wiązki światła laserowego przeźroczy wykonanych z foli światłoczułej reprezentującej, dwuwymiarowe model sieci krystalicznej A1, B1 oraz polikrystalicznej B5.

Długość światła laserowego użytego w doświadczeniu:

λ = 660 [nm] = 660 10^-9 [m]

Odległość L między folią, a ekranem:

L=1400 [mm]=1,4 [m]Równocześnie w stosunku do obserwacji obrazów interferencyjnych oglądaliśmy pod mikroskopem model sieci krystalicznych. Na podstawie tych obserwacji wyznaczyliśmy stałe sieciowe ap, które w naszym przypadku to średnie z pomiarów mikroskopem odległości między atomami sieci w dwóch wymiarach. Ponadto dla każdego uzyskanego obrazu interferencyjnego zmierzyliśmy odcinek, Hhk czyli odległość punktu o współrzędnych h=1, k=1 od środka obrazu dyfrakcyjnego, ( czyli punktu o h=0 i k=0). Dla sieci B5 zmierzyliśmy średnice pierścienia interferencyjnego.

Sieć A1:

ap = 98,5 ± 10 [μm]

H_hk=13±1[mm ]

Sieć B1:

ap = 94 ± 10 [μm]

H_hk = 14 ± 1 [mm]

Sieć B5

ap = 100 ± 10 [μm]

D = 18 ± 1 [mm]

;

;

Na podstawie, powyższych wzorów wyznaczamy wzór określający stała sieciową dla sieci krystalicznej regularnej

Z trójkąta prostokątnego można zapisać:

Przyjmując:

n = 1

h = 1

k = 1

otrzymujemy ostatecznie:

Wykorzystując wzór Bragga:

Stosując przybliżenie:

Oraz podstawiając;

d=a

r=L

Otrzymujemy:

Zatem zależność na stała sieciową sieci polikrystalicznej wynosi:

Obliczenia:

a) Sieć A1:

b) Sieć B1:

c) Sieć B5:

5. Rachunek błędów

1. Dyfrakcja elektronów - doświadczenie Thompsona

Wyniki naszych pomiarów obarczone są błędami systematycznymi i przypadkowymi

W celu określenia wartości błędu wyznaczenia d₁ i d₂ należy skorzystać z różniczki zupełnej gdyż wartości te są obliczane w sposób pośredni ze wzoru:

Błąd przypadkowy będzie wynosić

Gdzie:

- to niedokładność pomiaru odległości ekranu od foli

=0,001 [m]

- to błąd wyznaczenia współczynnika nachylenia prostej w programie ORIGIN.

=0,09174

=0,08389

Oraz

Dokonując obliczeń otrzymujemy:

Oraz

W celu wyznaczenia błędu obliczenia d_i dla i-tego pomiaru także korzystamy z różniczki zupełnej gdyż wielkość ta nie jest wyznaczana w sposób bezpośredni.

Dla 3 pomiaru:

D₁= 0,02 [m]

D₂= 0,035 [m]

U₃= 5460 [V]

Δ r = 0,001 [m]

ΔD =0,001 [m]

ΔU = 0,02 [kV] = 20 [V]

Po wykonaniu podstawień i obliczeń otrzymujemy

Oraz

Po dokonaniu analizy wielkości wyznaczonych błędów systematycznych oraz przypadkowych dochodzimy do wniosku, że należy skorzystać z prawa przenoszenia błędów:

Wartości błędów systematycznych:

Δd1=0,122067 [A]

Δd₂=0,0439259 [A]

Wartości błędów przypadkowych:

δd₁=0,0984293[A]

δd₂=0,0238598[A]

Zatem ostateczna wartość odległości między płaszczyznami atomowymi d₁ i d₂ dla pierwszego i drugiego pierścienia wynoszą;

2. Dyfrakcja światła na sieci krystalicznej

Wyznaczona wartość stałej sieciowej sieci krystalicznej obarczona jest błędem systematycznym, który można obliczyć korzystając z różniczki zupełnej ( wartość nie jest wyznaczana bezpośrednio):

Dla sieci krystalicznych regularnych:

Dla sieci A1:

Dla sieci B1:

Dla sieci polikrystalicznej błąd systematyczny będzie wynosić:

Dla sieci B5;

Ostatecznie wartości stałych sieciowych przedstawiają się następująco:

Siec A1 - a = 77,1±5,6[μm]

Sieć B1 - a = 66,0±4,9[μm]

Sieć B5 - a = 102,7±5,9[μm]

6. Wnioski

1. Na podstawie pomiarów średnic D₁ i D₂ powstałych w wyniku dyfrakcji oraz metody sumy najmniejszych kwadratów wyznaczyliśmy odległość między płaszczyznami atomowymi d₁ i d₂. Wynoszą one:

2. Rzeczywiste odległości między płaszczyznami międzyatomowymi w sieci krystalicznej grafitu dla dwóch pierwszych pierścieni wynoszą:

d₁ = 2,13 [A]

d₂ = 1,23 [A]

3. Wyznaczone przez na wartości d₁ i d są zbliżone do wartości rzeczywistych, jednak różnica przekracza wyliczoną wartość błędu. Powodem tego może być duża niedokładność pomiaru średnic pierścieni interferencyjnych.

4. Zależność między średnica pierścienia interferencyjnego, a odwrotnością pierwiastka kwadratowego napięcia jest zależnością liniową. Współczynniki korelacji liniowej wynoszą

0,98685 oraz 0,9964 odpowiednio dla pierwszego i drugiego widocznego pierścienia. Zależność ta jest zgodna z teoretyczną zależnością wyprowadzona na podstawie hipotezy de Broglie'a a tym samym potwierdza słuszność założeń francuskiego uczonego.

5. Na podstawie przeprowadzonych pomiarów obliczyliśmy stałe sieciowe dla przeźroczy, które reprezentują dwuwymiarowe modele sieci krystalicznych i polikrystalicznych. Wynoszą one odpowiednio:

Siec A1 - a = 77,1±5,6[μm]

Sieć B1 - a = 66,0±4,9[μm]

Sieć B5 - a = 102,7±5,9[μm]

Wartości te odbiegają od wartości uzyskanych na podstawie pomiaru z wykorzystaniem mikroskopu modeli przeźroczy. Powodem tego może być duża niedokładność pomiaru odcinków H_hk na rysunkach obrazów interferencyjnych. Ponadto same rysunki mogą być sporządzone niedokładnie w stosunku do uzyskanych obrazów interferencyjnych.

H_hk

L

---