=83/25=3,32
II MIARY ŚREDNIE
1. ŚREDNIA ARYTMETYCZNA
Zadanie 1
W pewnym biurze maklerskim zapytano 25 dorosłych osób ile posiadają akcji spółki Elektrobus S.A. Uzyskano odpowiedzi: 6, 5, 4, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 6, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 6, 3, 3, 3, 1, 5, 3, 5. Określ ile akcji przypada średnio na 1 maklera.
Ilość akcji Xi |
Liczba osób ni |
Xi*ni |
1 2 3 4 5 6 |
4 3 8 4 3 3 |
4 6 24 16 15 18 |
Suma |
25 |
83 |
=83/25=3,32
Odp. Średnio na jednego maklera przypadają 3,32 akcje firmy Elektrobus S.A.
Zadanie 2
Poniższa tabela przedstawia liczbę dzieci w rodzinach uczniów pewnej klasy. Oblicz, ile dzieci przypada średnio na jedną rodzinę wśród rodzin dzieci wyżej wymienionej klasy.
Liczba dzieci |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Liczba rodzin |
2 |
4 |
10 |
6 |
6 |
3 |
2 |
1 |
Liczba dzieci Xi |
Liczba rodzin ni |
Xi*ni |
1 2 3 4 5 6 7 8 |
2 4 10 6 6 3 2 1 |
2 8 30 24 30 18 14 8 |
Suma |
34 |
134 |
=134/34=3,94
Odp. Średnio przypada 3,94 dzieci na jedną rodzinę wśród rodzin wyżej wymienionych.
Zadanie 3
Dzienne zużycie energii elektrycznej (w kWh) w pewnym bloku mieszkalnym kształtowało się następująco:
Zużycie energii |
2 - 4 |
4 - 6 |
6 - 8 |
8 - 10 |
10 - 12 |
12 - 14 |
Liczba rodzin |
6 |
10 |
30 |
40 |
10 |
4 |
Obliczyć średnią arytmetyczną. Otrzymaną wielkość zinterpretować.
Zużycie energii Xi-x1i |
Liczba rodzin ni |
Środek przedziału Xi |
Xi*ni |
2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 |
6 10 30 40 10 5 |
3 5 7 9 11 13 |
18 50 210 360 110 52 |
Suma |
100 |
X |
800 |
=800/100=8
Odp. Średnie zużycie energii elektrycznej pewnym bloku mieszkalnym wynosi 8 kWh.
Zadanie 4
W oparciu o poniższe dane ustalić przeciętny czas eksploatacji maszyn stosując średnią arytmetyczną.
Czas eksploatacji maszyn (w latach) |
Liczba maszyn |
do 2 do 4 do 6 do 8 |
3 10 16 20 |
Czas eksploatacji maszyn (w latach) Xi-x1i |
Liczba maszyn ni |
Środek przedziału Xi |
Xi*ni |
Do 2 Do 4 Do 6 Do 8 |
3 10 16 20 |
1 3 5 7 |
3 30 80 140 |
Suma |
49 |
X |
253 |
=253/49=5,16
Odp. Średni czas eksploatacji maszyn wynosi 5,16 lat.
Zadanie 5
W pewnym roku akademickim na poszczególnych kierunkach Wydziału Finansów i Statystyki SGH przystąpiło łącznie do egzaminu ze statystyki 200 studentów. Średnia ocena 100 studentów na kierunku finansów wynosiła 3,5; 50 studentów na kierunku ekonometrii - 3,7; 30 studentów na kierunku rachunkowości - 4,0; a średnia ocena studentów kierunku statystycznego była równa 4,2. Jaka była średnia ocena ze statystyki ogółu studentów pierwszego roku na badanym wydziale?
Średnia ocen |
Liczba studentów |
X*ni |
3,5 3,7 4,0 4,2 |
100 50 30 20 |
350 185 120 84 |
Suma |
200 |
739 |
X=739/200=3,695
Zadanie 6
W pewnym zakładzie zbadano pracowników produkcyjnych pod względem stażu pracy. Okazało się, że 25% tych pracowników pracowało poniżej 6 lat, połowa od 6 do 12, natomiast wśród pozostałych najwyższy staż wynosił 18 lat. Średni staż pracy pracowników technicznych wynosił 12 lat. Jaki był średni staż pracy ogółu pracowników, jeżeli wiadomo, że grupa pracowników produkcyjnych była 3-krotnie liczniejsza niż technicznych.
Zadanie 7
Obliczyć za pomocą średniej arytmetycznej przeciętną wielkość gospodarstwa, jeżeli dane są zestawione w następujący szereg rozdzielczy.
Wielkość gospodarstwa (w ha) |
do 2 |
2-4 |
4-7 |
7-10 |
10 i więcej |
liczba gospodarstw |
2 |
4 |
6 |
5 |
3 |
Dodatkowo wiadomo, że powierzchnia dwóch gospodarstw liczących do 2 ha wynosi po 1,5 ha; zaś gospodarstwa liczące 10 i więcej ha zajmują razem powierzchnię 50 ha.
2. MIARY POZYCYJNE
Zadanie 1
Zmierzono czas obsługi przy kasie sklepowej
a) 25 losowo wybranych klientów, uzyskując dane (czas w sek.):
15, 37, 34, 9, 61, 24, 56, 52, 6, 35, 21, 46, 86, 40, 74, 39, 48, 55, 73, 92, 43, 78, 67, 30, 29
Czas (w sec) Xi0-xi1 |
Liczba klientowi ni |
xi |
xini |
L. skumulowana Nisk |
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 |
2 1 3 5 - Q1 4 - Me=Q2 3 2 - Q3 3 1 1 |
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 |
10 15 75 175 180 165 130 225 85 95 |
2 3 6 11 15 18 20 23 24 25 |
SUMA |
25 |
X |
1155 |
X |
X=1/25*1155=46,2
Q1=25/4=6,25
Q1=30+(6,25-6)*10/5=30+0,25*2=30,5
Q2=25/2=12,5
Me=Q2=40+(12,5-11)*10/4=40+1,5*2,5=40+3,75=43,75
Q3=3*25/4=18,75
Q3=60+(18,75-18)*10/2=60+0,75*5=63,75
Odp: 25 % klientów była obsłużona krócej niż 30,5 sekundy, 75% klientów nie krócej niż 30,5 sekundy
50 % klientów była obsłużona krócej niż 43,75 sekund, 50 % klientów nie krócej niż 43,750 sekund
75% klientów była obsłużona krócej niż 63,75 sekund, 25% klientów 63,75 sekund i więcej
b) 24 losowo wybranych klientów, uzyskując dane (czas w sek.):
15, 37, 34, 9, 61, 24, 56, 52, 6, 35, 46, 86, 40, 74, 39, 48, 55, 73, 92, 43, 78, 67, 30, 29.
Obliczyć wartości ćwiartkowe.
Czas (w sec) Xi0-xi1 |
Liczba klientowi ni |
xi |
xini |
L. skumulowana Nisk |
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 |
2 1 2 5 -Q1 4 -Me 3 2- Q3 3 1 1 |
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 |
10 15 50 175 180 165 130 225 85 95 |
2 3 5 10 14 17 19 22 23 24 |
SUMA |
24 |
X |
1130 |
X |
24/4=6
Q1= 30(6-5)*10/5=30+2=32
24/2=12
Q2=40+(12-10)*10/4=40+2*2,5=45
72/4=18
Q3=60+(18-17)*10/2=60+1*5=65
X=1/24*1130=47,1
Odp: 25 % klientów była obsłużona krócej niż 32 sekund, 75% klientów nie krócej niż 32 sekund
50 % klientów była obsłużona krócej niż 45 sekund, 50 % klientów nie krócej niż 45 sekund
75% klientów była obsłużona krócej niż 65 sekund, 25% klientów 65 sekund i więcej
Zadanie 2
Niżej podana jest tabela przedstawiająca liczbę strzelonych goli podczas jednej kolejki rozgrywek ligi piłki nożnej. Wyznaczyć wartość środkową i kwartyle.
Liczba goli |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Liczba meczów |
15 |
16 |
4 |
5 |
2 |
1 |
Liczba goli xi |
Liczba meczy ni |
Liczebność skumulowana Nisk |
0 1 2 3 4 5 |
15 16 4 5 2 1 |
15 31 35 40 42 43 |
Suma |
43 |
X |
N/4 = 43/4=10,75
Q1= 0
N/2=43/2=21,5
Me=1
3*N/4=129/4=32,5
Q3=2
Odp: 25 % rozegranych meczy posiada 0 goli, 75% meczy nie mniej niż 0
50 % rozegranych meczy posiada mniej niż 1 gol, 50 % meczy 1 i więcej goli
75 % rozegranych meczy posiada mniej niż 2 gole, 25% meczy 2 gole i więcej
Zadanie 3
Czas dojazdu do pracy pracowników pewnego zakładu przedstawia tabela
Czas dojazdu |
5-15 |
15-25 |
25-35 |
35-45 |
45-55 |
55-65 |
Liczba pracowników |
3 |
5 |
25 |
15 |
5 |
2 |
Czas dojazdu xi |
Liczba pracowników ni |
Liczebność skumulowana Nisk |
5-15 15-25 25-35 -Q1, Me 35-45- Q3 45-55 55-65 |
3 5 25 15 5 2 |
3 8 33 48 53 55 |
Suma |
55 |
X |
N/4=55/4=13,75
Q1=25+10/25(13,75-8)=27,3
N/2=55/2=27,5
Me=25+10/25(27,5-8)=32,8
3M/4=3*55/4=41,25
Q3=35+10/15(41,25-33)=40,5
Odp. 25 % pracowników dojeżdża do pracy krócej niż 27,3 min, pozostali dojeżdżali nie krócej
50 % pracowników dojeżdża do pracy krócej niż 32,8 min, pozostali nie krócej
75% pracowników dojeżdża do pracy krócej niż 40,5 min, pozostali nie krócej
Zadanie 4
Szereg rozdzielczy jest następujący
Szacunkowa wartość środków obrotowych (w mln zł) |
do 20 |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
Liczba zakładów rzemieślniczych |
130 |
100 |
25 |
15 |
8 |
2 |
Na podstawie tych informacji należy:
a) obliczyć medianę i Q3, a wyniki zinterpretować;
Wartość środków(mln zł) Xio-xi1 |
Liczba zakładów rzemieślniczych ni |
Środki przedziałów xi |
Xi*ni |
Liczebność skumulowana Nisk |
0-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 |
130 100 25 15 8 2 |
10 25 35 45 55 65 |
1300 2500 875 675 440 130 |
130 230 255 270 278 280 |
Suma |
280 |
X |
5920 |
X |
X=1/280*5920=21,14
Q2=280/2=140
Me=Q2=20+10/100(140-130)=20+10*1/10=21
Q3=840/4=210
Q3=20+10/100(210-130)=20+80*1/10=28
Odp: 50 % zakładów rzemieślniczych posiada mniej niż 21 mln środków obrotowych, pozostali nie mniej
75% zakładów rzemieślniczych posiada mniej niż 28 mln środków obrotowych, pozostali 28 i więcej
b) wypowiedzieć się, czy za pomocą innych średnich obliczenie przeciętnej wartości byłoby poprawne i możliwe?
Zadanie 5
Mediana wzrostu 150 dzieci w wieku 14 lat znajdowała się w przedziale 155 - 160 cm, do którego należało 40 dzieci i wynosiła 158 cm. Ile dzieci miało wzrost poniżej 155 cm?
Xio-xi1 |
Ni |
0-155 155-160 |
X 40 |
158=155+(40-x)*5/40
158-155=40-x*5/40
3:(-5/40)=40-x
3:(-40/5)=40-x
-120/5=40-x
-24-40=-x
-64=-x /*(-1)
X=64
Odp. Poniżej 155 cm wzrostu miało 64 dzieci.
Zadanie 6
Poniższy szereg rozdzielczy przedstawia punkty uzyskane przez studentów I roku na egzaminie z ekonomii:
Liczba punktów |
0-5 |
5-10 |
10-15 |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
30-35 |
35-40 |
40-45 |
Liczba studentów |
1 |
6 |
10 |
15 |
16 |
18 |
17 |
12 |
9 |
Liczba punktów xi |
Liczba studentów ni |
Liczebność skumulowana nisk |
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 |
1 6 10 15 16 18 17 12 9 |
1 7 17 32 48 66 83 95 104 |
Suma |
104 |
X |
N/4=104/4=26
Q1=15+5/25(26-7)=18,8
Odp: 25% studentów miało mniej niż 18,8 pkt, pozostali mieli nie mniej i zdali egzamin.
3. DOMINANTA
Zadanie 1
Zbadano rodziny pod względem liczby posiadanych akcji TP S. A. i otrzymano następujące wyniki:
5, 4, 2, 5, 5, 10, 6, 9, 4, 3, 5, 10, 4, 6, 5, 10, 3, 5, 6, 6, 6, 8, 10, 5, 5, 4, 2, 5, 4, 10, 3, 5, 5, 4, 3, 4, 5, 7, 7, 5
Wyznaczyć dominującą ilość akcji w grupie rodzin.
Liczba akcji xi |
Liczba osób Ni |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
0 2 4 7 13 - D 5 2 1 1 5 |
Suma |
40 |
Zadanie 2
Czas tygodniowo poświęcony przez studentów na pracę w czytelni
Czas ( w godz.) |
2-5 |
5-8 |
8-11 |
11-14 |
14-17 |
Liczba studentów |
2 |
3 |
10 |
8 |
2 |
Jaki czas jest czasem dominującym?
Czas (w godz.) xi |
Liczba studentów Ni |
2-5 5-8 8-11 11-14 14-17 |
2 3 10 - D 8 2 |
Suma |
25 |
D=xd+(nd-nd-1)/( nd-nd-1)+ (nd-nd+1) *hd
D=8+(10-3)/(10-3)+(10-8)*3 = 10,33
Odp.: Otrzymany wynik oznacza, że wśród studentów dominował czas 10,33 min
Zadanie 3
Metodą graficzną zbadać dominującą wagę produktów :
Waga (w gr) |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70-80 |
80-90 |
90-100 |
Ilość produktów |
4 |
7 |
9 |
12 |
6 |
2 |
Wada (w gr.) xi |
Ilość produktów ni |
40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 |
4 7 9 12 6 2 |
Suma |
40 |
D= 70+(12-9)/(12-9)+(12-6)*10 =73,33
Odp Otrzymany wynik oznacza, że wśród produktów dominowała waga 73,33 g.
Zadanie 4
Zbadać przeciętny staż pracy pracowników przez wyznaczenie wartości najczęściej występującej:
Staż pracy (w latach) |
0-2 |
2-6 |
6-12 |
12-15 |
Liczba pracowników |
5 |
15 |
20 |
5 |
Staż pracy (w latach) xi |
Liczba pracowników ni |
xi |
Xini |
0-2 2-6 6-12 12-15 |
5 15 20 5 |
1 4 9 13,5 |
5 60 180 67,5 |
Suma |
45 |
X |
312,5 |
X= 1/45*312,5=6,94
Odp. Przeciętny staż pracowników wynosi 6,94 lat
Zadanie 5
Strukturę wg wieku w pewnym przedsiębiorstwie przedstawia poniższy szereg
Wiek (w latach) |
do 25 |
do 30 |
Do 35 |
do 40 |
do 45 |
do 50 |
do 55 |
Liczba pracowników |
8 |
32 |
47 |
59 |
84 |
95 |
100 |
Pracownicy w jakim wieku stanowią najliczniejszą grupę?
Wiek (w latach) Xio-xi1 |
Liczba pracowników nisk |
ni |
xi |
0-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50- D 50-55 |
8 32 47 59 84 95 100 |
8 24 15 12 25 11 5 |
12,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 |
Suma |
X |
|
|
D= 40+(25-12)/(25-12)+(25-11)*5=42,41
Zadanie 6
Rozkład rozwodów według wieku kobiet w momencie wniesienia powództwa (dane rocznikowe):
Wiek kobiet |
do 19 |
20-24 |
25-29 |
30-34 |
35-39 |
40-44 |
45 i więcej |
Liczba kobiet |
314 |
6979 |
11440 |
6391 |
5412 |
8450 |
4200 |
Obliczyć dominantę tego szeregu.
Wiek kobiet |
Liczba kobiet |
0-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 |
314 6979 11440 -D 6391 5412 8450 4200 |
Suma |
43186 |
D=25+(11440-6979)/(11440-6979)+(11440-6391)*4=26,88
Odp. Najwięcej pozwów rozwodowych wnoszonych do sądu są przez kobiety w wieku 26,88 lat
Zadanie 7
Wyznaczyć jakiego warzywa zebrano najwięcej
Warzywo |
Zbiór (w tys. Ton) |
Kapusta Cebula Marchew Buraki Ogórki Pomidory |
1954 -D 724 931 594 377 363 |
Suma |
4943 |
2