Układy równań liniowych

Układem
równań liniowych z
niewiadomymi
, gdzie
, nazywamy układ postaci

,

gdzie
,
dla
,
.

Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy każdy ciąg
liczb rzeczywistych spełniających ten układ .

Układ równań , który nie ma rozwiązania , nazywamy układem sprzecznym .

Uwaga . Powyższy układ
można zapisać w postaci macierzowej :

,

gdzie

,
,
.

Gdy
, to układ nazywamy jednorodnym .

Jednym z rozwiązań układu jednorodnego jest macierz zerowa
.

Gdy
, układ nazywamy układem niejednorodnym .

Gdy macierz
jest macierzą kwadratową nieosobliwą ( tzn.
i
) , to układ

nazywamy układem Cramera .

Twierdzenie . Układ Cramera
ma dokładnie jedno rozwiązanie . Rozwiązanie to jest dane wzorem :

,

gdzie
oznacza stopień macierzy
, natomiast
dla
oznacza macierz
, w której
kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych
.

Przykład . Rozwiązać układ równań :

(1)
.

Oznaczamy :
,
,
. Zatem układ (1) w postaci macierzowej ma postać :
.

Mamy

.

Zatem układ ten jest układem Cramera . Ma on zatem dokładnie jedno rozwiązanie . Wyznaczamy teraz

,

,
.

Na podstawie wzorów
mamy :
,
,
.

(2)
.

Z własności transpozycji macierzy wiemy , że
. Stąd

, czyli
.

Zatem układ (2) możemy zapisać w postaci :

.

Korzystamy ze wzorów (i) :

,

,

,

.

Rozwiązaniem układu są liczby :
,
,
.

Metoda eliminacji Gaussa dla układów Cramera

Niech
będzie układem Cramera , w którym
jest macierzą stopnia
. Rozwiązanie tego układu znajdujemy w następujący sposób :

1. budujemy macierz rozszerzoną układu postaci

;

2. przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci
wykonując na jej wierszach ! następujące operacje elementarne :

(a) zamianę między sobą dwóch dowolnych wierszy ;

(b) pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera ;

(c) dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza pomnożonych

przez dowolną liczbę .

Operacje te mają na celu doprowadzenie macierzy rozszerzonej do postaci :

.

Ostatnia kolumna macierzy rozszerzonej ( macierz
) jest wtedy rozwiązaniem wyjściowego układu równań .

Twierdzenie Kroneckera - Capellego

Układ równań liniowych
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy , gdy rząd macierzy
jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej
tego układu ;

.

Fakt . Niech
będzie układem równań liniowych z
niewiadomymi . Wówczas :

1. jeżeli
, to układ nie ma rozwiązania ( układ jest sprzeczny ) ;

2. jeżeli
, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie ( jest oznaczony ) ;

3. jeżeli
, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od

parametrów ( jest nieoznaczony ) .

Przykład . W podanych układach określić liczbę rozwiązań :

a)
.

Wyznaczamy a następnie porównujemy rzędy macierzy
i macierzy rozszerzonej
:

Otrzymaliśmy macierze o dwóch schodkach ( maciach układu
i macierz rozszerzona ) . Ponieważ
więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań ( jest nieoznaczony ) zależnych od 4-2=2 parametrów .

b)
.

. Zauważmy , że
,
. Ponieważ
, więc układ

jest sprzeczny ( nie ma rozwiązań ) .

3

---