1. niDefinicja dziedziny naturalnej funkcji k zmiennych

Dziedzina naturalną funkcji rzeczywistej k - zmiennych określonej wzorem:
nazywamy zbiór:

2. Definicja granicy funkcji wielu zmiennych

Mówimy, że funkcja k zmiennych
dla
ma w punkcie
skupienia zbioru D granicę równą g w sensie Heinego, co zapisujemy:

3. Definicja ciągłości funkcji wielu zmiennych

Mówimy, że funkcja k zmiennych
dla
jest ciągłą w punkcie skupienia
wtedy i tylko wtedy, gdy
. Mówimy, że funkcja jest ciągła w zbiorze D, wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie
.

4. Definicja pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych

Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych
dla
w punkcie wewnętrznym

1. wzg zmiennej x nazywamy granicę skończoną (właściwą) którą oznaczamy:
   

2. wzg zmiennej y nazywamy granicę skończoną (właściwą) którą oznaczamy:
   

Z definicji wynika, że pochodną cząstkową funkcji względem zmiennej x (lub y) obliczamy tak jak pochodną funkcji jednej zmiennej traktując zmienną y (lub x) jako stałą.

Mówimy, że funkcja dwóch zmiennych
dla
jest różniczkowalna w punkcie wewnętrznym
, gdy ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w pewnym otoczeniu tego punktu, ciągłe w tym punkcie. Wektor
nazywamy pochodną, albo gradientem funkcji f w punkcie
. Natomiast funkcję liniową
nazywamy różniczkę zupełną funkcji f w punkcie
na wektorze

5. Wnioski z twierdzenia o przyroście dla funkcji dwóch zmiennych

Jeśli funkcja dwóch zmiennych
jest różniczkowalna w punkcie wewnętrznym
to istnieje liczba
, taka, że przyrost funkcji wyraża się wzorem:
przy czym
lub:

przy czym
. Z powyższego zwory wynika, że dla małej liczby
:

1. przyrost funkcji można przybliżyć różniczką, a więc możemy zapisać, że:

2. wartość funkcji można przybliżać wzorem:

Różniczka zupełna ma szerokie zastosowanie w teorii błędu. Maksymalny błąd bezwzględny, jaki popełniamy przy obliczaniu wartości funkcji
gdy wartości zmiennych x₀ i y₀ są obarczone błędami bezwzględnymi
wyznaczamy ze wzoru:

6. Warunek konieczny i dostateczny na ekstremum funkcji wielu zmiennych

Jeśli funkcja k zmiennych
jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie wewnętrznym
oraz:

1. pierwsza pochodna
   

2. druga pochodna
   

jest w punkcie P₀

• dodatnio określona (
  ) to funkcja ma w tym punkcie minimum lokalne właściwe

• ujemnie określona (
  ) to funkcja ma w tym punkcie maksimum lokalne właściwe

• nieujemnie określona (
  ) to funkcja ma w tym punkcie minimum lokalne

• niedodatnio określona (
  ) to funkcja ma w tym punkcie maksimum lokalne

• nieokreślona (
  ) to funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum

7. Twierdzenie o przyjmowaniu kresów

Jeśli funkcja u=f(x,y,..,z) dla P=(x,y,…,z) ∈ D jest ciągła w zbiorze zwartym D (domkniętym i ograniczonym), to istnieją punkty P₁ i P₂
D takie, że zachodzą nierówności:

8. Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego. Wektor normalny do wykresu, płaszczyzna styczna i prosta normalna do wykresu.

Wektor
jest prostopadły do powierzchni Wf :U=f(x,y) dla (x,y) ∈ D w punkcie (x₀, y₀, f(x₀, y₀))
.

Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni Wf w tym punkcie ma postać

H: -f_x(x₀, y₀)*(x-x₀)-f_y(x₀,y₀)(y-y₀) + 1(U- f(x₀, y₀))=0

9. Definicja funkcji uwikłanej jednej zmiennej oraz wzór na pierwszą pochodną tej funkcji.

Def. niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych u=F(x,y) dla
. Mówimy, że funkcja y=f(x) dla

jest funkcją uwikłaną opisaną równaniem F(x,y)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy F[x,f(x)]=0 dla
. Wzór na pierwszą pochodną:
dla

10. Warunek konieczny i dostateczny na ekstremum funkcji uwikłanej jednej zmiennej.

Tw.(o istnieniu funkcji uwikłanej). Jeśli funkcja dwóch zmiennych u=F(x,y) dla
ma ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu wewnętrznego
oraz
i
to równanie
wyznacza funkcję uwikłaną y=f(x) ciągłą i różniczkowalną w pewnym otoczeniu
punktu x_o taką, że f(x_o)=y_o. Pochodne funkcji uwikłanej są określone wzorami:

dla

dla
.

11. Powierzchnia o równaniu F(x,y,z)=0 w przestrzeni R^3. wektor normalny do powierzchni. Płaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni.

Def. Niech będzie dana funkcja 3 zmiennych u=F(x,y,z) dla
, która ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w pewnym otoczeniu punktu wewnętrznego
przy czym
oraz
lub
lub
. Wtedy równanie
opisuje otoczenie punktu
powierzchnie S w przestrzeni R³

Wektor
jest wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie

( rysunek)

Płaszczyzna styczna do powierzchni S w punkcie
ma postać:

Prosta normalna do powierzchni S w punkcie
ma przedstawienie parametryczne

12. Podać definicję obszaru normalnego w przestrzeni R² względem osi x i y.

Obszar zwarty ( domknięty i ograniczony)
nazywamy:

a). Obszarem normalnym względem osi y gdy da się przedstawić w postaci;
przy czym funkcje φ i ψ są ciągłe w przedziale <a,b> ( rysunek)

b).obszarem normalnym względem osi x, gdy da się przedstawić w postaci
przy czym funkcje γ i δ są ciągłe w przedziale <c,d> (rysunek)

13. Definicja współrzędnych biegunowych w przestrzeni R³ wraz z interpretacją geometryczną. Obliczyć jakobian.

Współrzędnymi biegunowymi w przestrzeni R² punktu
o współrzędnych (x,y) nazywamy uporządkowaną parę liczb
taką, że:

lub

14. Obszar normalny w przestrzeni R³:

Obszar zwarty (ograniczony i domknięty)
nazywamy obszarem normalnym względem osi z gdy da się przedstawić w postaci

gdzie: ϕ i ψ są funkcjami ciągłymi w obszarze zwartym
.

15. Podać definicję współrzędnych walcowych w przestrzeni R³ wraz z interpretacją geometryczną. Obliczyć jakobian.

Współrzędnymi walcowymi punktu
o współrzędnych kartezjańskich (x,y,z) nazywamy uporządkowaną trójkę liczb (r,ϕ,y), taką że:

Obliczam jakobian (przekształcenie) odwzorowania:

16. Podać definicjęwspółrzędnych sferycznych w przestrzeni R³ wraz z interpretacją geometryczną. Obliczyć jakobian.

Współrzędnymi sferycznymi punktu
o współrzędnych kartezjańskich (x,y,z) nazywamy uporządkowaną trójkę liczb
, taką że:

Obliczam jakobian (przekształcenie) odwzorowania:

stąd