Temat: Wpływ oporu, indukcyjności i pojemności na natężenie prądu zmiennego

Numer pary: 7

Numer ćwiczenia: 40

I Opis teoretyczny

1. Prądem zmiennym (przemiennym)

Prądem zmiennym (przemiennym) nazywa się taki prąd, którego natężenie I oraz siły elektromotoryczna ε lub napięcie U są okresowymi funkcjami czasu.

Gdzie:

ω=2πν

ν - częstotliwość prądu (prąd sieciowy ν=50 Hz)

Przyrządy używane do badanie tego ćwiczenia to amperomierz i woltomierz. Te urządzenia nie rejestrują okresowych zmian natężenia i napięcia w czasie, natomiast mierzą natężenie i napięcie skuteczne. W dowolnym obwodzie prądu zmiennego można wyróżnić trzy podstawowe grupy elementów o charakterystycznych parametrach elektrycznych. Są to:

Oporność - elementy obwodu, których charakterystycznym parametrem elektrycznym jest rezystancja R,czyli tzw. opór omowy (rezystor, zwojnice, przewody).

Indukcyjność - elementy obwodu o współczynniku indukcji własnej L,w których zachodzi zjawisko indukcji elektromagnetycznej.

Pojemność - kondensatory i inne elementy o pojemności C.

Obwód prądu zmiennego to obwód składający się z oporu, indukcyjności i pojemności, połączonych szeregowo, czyli obwód RLC. Celem ćwiczenia jest wykonanie pomiarów napięcia i natężenia skutecznego w obwodach RLC, wyliczenie kilku parametrów charakteryzujących te obwody oraz wykazanie, że natężenie prądu zmiennego zależy zarówno od oporu omowego, ja i oporu indukcyjnego oraz oporu pojemnościowego elementów obwodu. Z przeprowadzonych pomiarów należy wyciągnąć wnioski i odpowiedzieć na pytanie: Jak rezystory, cewki i kondensatory, włączone w obwód zasilany okresowo zmienną w czasie siłą elektromotoryczną ε(t), zmieniają natężenie płynącego prądu zmiennego.

2. Wpływ rezystancji na przepływ prądu stałego i zmiennego

Związek między napięciem U lub siłą elektromotoryczną ε a natężeniem prądu I wyraża prawo Ohma:

Gdzie:

R - rezystancja

Prawo Ohma opisuje przepływ prądu zarówno ze źródła prądu stałego jak i prądu zmiennego. Podczas przepływu prądu przez rezystor zostaje wykonana praca W. Zgodnie z zasadą zachowania energii układ przekazuje otoczeniu energią w postaci ciepła Q, w ilości równej wykonanej pracy.

Q=W

Ciepło wydzielone w czasie t, oblicza się ze wzoru Joule'a-Lenza:

Q=RI²t

W ten sposób część energii źródła prądu zostaje rozproszona na rezystorze w ilości zależnej od oporu omowego R. Z powyższych rozważań wynika, że rezystancja R w obwodzie zarówno prądu stałego, jak i zmiennego powoduje rozpraszanie energii elektrycznej, a więc wpływa na zmniejszenie natężenia prądu I.

Za pomocą woltomierza i amperomierza zmierzyć napięcie U i natężenie I prądu stałego, a następnie z prawa Ohma wyliczyć rezystancję R.

3. Wpływ indukcyjności i pojemności na natężenie prądu zmiennego

Prostym modelem symulującym obwody RLC jest obwód, składający się z cewki o współczynniku indukcji własnej L i kondensatora o pojemności C, zasilany źródłem o sile elektromotorycznej ε=ε₀ sinωt. Cewka indukcyjna wykazuje także opór omowy R, ponieważ włączona do obwodu prądu stałego zachowuje się jak rezystor. Stąd wniosek, że obwód zamknięty składający się z cewki i kondensatora jest obwodem RLC. Istotną rolę w takim obwodzie odgrywa zjawisko indukcji elektromagnetycznej. Zgodnie z podstawowymi prawami elektromagnetyzmu (prawo Maxwell'a), zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu w przewodniku siły elektromotorycznej ε wywołanej przez zmienne w czasie pole magnetyczne. Wartość indukowanej siły elektromotorycznej ε w obwodzie jest proporcjonalny do szybkości zmian strumienia pola magnetycznego:

Gdzie:

ϕ - strumień pola magnetycznego

Wzór ten jest ogólnym opisem matematycznym zjawiska indukcji elektromagnetycznej. Pozwala wyjaśnić zjawisko i obliczać indukowaną w obwodzie siłę elektromagnetyczną w różnych przypadkach. Za pomocą tego wzoru można również opisać zjawisko indukcji elektromagnetycznej wzajemnej i własnej oraz wyjaśnić zasadę działania prądnicy i innych urządzeń, w których zachodzi zjawisko indukcji elektromagnetycznej. W tym ćwiczeniu zjawisko indukcji elektromagnetycznej własnej występuje w cewce, gdy w obwodzie RLC płynie prąd zmienny. Strumień ϕ pola magnetycznego w zwojnicy jest proporcjonalny do natężenia prądu zmiennego I:

ϕ I

ϕ=L I

Gdzie:

L - współczynnik indukcji własnej.

Powstającą w cewce siłę elektromotoryczną indukcji własnej ε_in można zapisać wzorem:

Siła elektromotoryczna indukcji własnej jest więc proporcjonalna do szybkości zmian w czasie natężenia prądu płynącego przez zwojnicę. Współczynnik L jest charakterystyczny dla danej zwojnicy i zależy od jej parametrów geometrycznych. Zależność ta wyraża się wzorem:

(1)

Gdzie:

μ - względna przenikalność magnetyczna ośrodka

μ₀ - przenikalność magnetyczna próżni

n - liczba zwojów

l - długość cewki

r - promień poprzecznego przekroju cewki

Jednostką przenikalności magnetycznej próżni wyraża się wzorem: μ₀₌4π 10^-7 H m^-1; gdzie H - henr.

Przyjmuje się, że względna przenikalność magnetyczna powietrza równa się jedności ( μ=1). Po podstawieniu tych wartości do wzoru (1) otrzymuje się następujące wyrażenie na współczynnik L:

(4)

Weźmy pod uwagę obwód RLC, zasilany zmienioną czasie siłą elektromotoryczną
. Zgodnie z drugim prawem Kirchoffa, zwanym też uogólnionym prawem Ohma, w obwodzie suma spadków potencjałów jest równa sumie sił elektromotorycznych czynnych w obwodzie.

Gdzie:

n- liczba połączonych szeregowo elementów elektrycznych, na których występuje spadek potencjału

m - liczba sił elektromotorycznych w obwodzie

W rozpatrywanym obwodzie obserwuje się spadek potencjału na kondensatorze U_c i na rezystorze U_r. Występują dwie siły elektromotoryczne: ε(t) oraz siła elektromotoryczna indukcji własnej ε_in powstała w cewce. Uogólnione prawo Ohma można zapisać:

(11)

Jest to równanie, które opisuje drgania elektryczne wymuszone, czyli okresowo zmienny przepływ ładunku Q(t) pod wpływem siły elektromotorycznej ε(t). Obwód, w którym zachodzi taki przepływ ładunku nazywamy elektrycznym obwodem drgającym.

Rozwiązaniem równania dla prądu elektrycznego ma postać:

Należy znaleźć taką wartość amplitudy I₀ oraz fazy początkowej φ, aby powyższe równanie było rozwiązaniem równania (11), czyli lewa strona równania równała się prawej.

Zapiszmy składniki tak, by szukaną wielkością było I(t).

Poprawny zapis ostatniego równania łatwo sprawdzić: należy wyznaczyć z tego równania Q i obliczyć jego pochodną względem czasu

Trzy wyrazy z lewej strony tego równania, to trzy spadki potencjałów wynikające z istnienia w obwodzie cewki indukcyjnej o współczynniku indukcji L, rezystora o oporze R i kondensatora o pojemności C. Z porównania części sinusoidalnie zmiennej tych trzech składników wynika, że spadek potencjału na cewce o fazie początkowej
wyprzedza spadek potencjału na oporze R o
, natomiast spadek potencjału na kondensatorze (faza początkowa
) jest spóźniony o fazie
.

Prostą metodą wyznaczenia I₀ oraz φ są obliczenia trygonometryczne przeprowadzone za pomocą wykresów wektorowych. Spadki potencjałów przedstawia się jako wektory, których kierunki są określone różnicą faz początkowych poszczególnych spadków potencjałów bądź sił elektromotorycznych. Należy pamiętać, że potencjał jest skalarem. Możemy przypisywać tej wielkości fizycznej pewien kierunek tylko wtedy, gdy chcemy korzystać z wykresów wektorowych.

Wyrażenie ostatnie można zapisać:

gdzie

-impedancja (zawada)

stąd

Zawadę Z można wyznaczyć doświadczalnie przez pomiar napięcia U i natężenia I prądu zmiennego w obwodzie. Zgodnie z prawem Ohma

(5)

stąd

Z tego wynika, że wyrażenie Z pełni rolę oporu. Wielkość Z nazywa się zawadą (impedancją) obwodu prądu zmiennego. Zawada jest sumą wektorową oporu omowego R (rezystancja), oporu indukcyjnego R_L=ωL (induktancja) oraz oporu pojemnościowego
(kapacytancja).

(6)

Należy wziąć pod uwagę fakt, że wartość oporu omowego R przewodnika zależy od parametrów charakterystycznych dla danego przewodnika: jego długości, pola przekroju poprzecznego i oporu właściwego. Natomiast wartość oporu indukcyjnego R_L i oporu pojemnościowego R_C (tzw. Oporów biernych), oprócz parametrów charakteryzujących cewkę (L) i kondensator (C), zależy również od częstotliwości ω siły elektromotorycznej wymuszającej przepływ prądu zmiennego w obwodzie.

Włączenie w obwód elementów o indukcyjności L i pojemności C powoduje zmniejszenie natężenia prądu zmiennego.

Amplituda prądu w obwodzie RLC jest mniejsza niż amplituda prądu zmiennego płynącego w obwodzie, w którym jest tylko opór R. Jest to spowodowane powstawaniem pola elektrycznego w kondensatorze i pola magnetycznego w cewce. Energia źródła prądu, dzięki której są przemieszczane nośniki prądu w obwodzie, jest pomniejszona o straty energii przy powstawaniu pola elektrycznego w kondensatorze i pola magnetycznego w cewce indukcyjnej.

Natężenie prądu w obwodzie zależy w decydujący sposób od różnicy między oporem indukcyjnym i oporem pojemnościowym. Jeżeli R_L < R_C, to obwód ma charakter indukcyjny. Występuje wtedy przewaga kumulacji energii źródła prądu w polu magnetycznym cewki. Gdy R_L < R_C, wówczas obwód ma charakter pojemnościowy, tzn. że energia źródła prądu gromadzi się gównie w polu elektrycznym kondensatora.

Szczególny przypadek zachodzi wtedy gdy wymuszająca przepływ prądu siła elektromotoryczna jest w rezonansie z obwodem RLC, czyli amplituda I₀ natężenia prądu osiąga wartość maksymalną.

R_C=R_L

stąd

ω_r jest to częstotliwość rezonansowa, natomiast ω₀ jest to częstotliwość drgań własnych obwodu. Zjawisko rezonansu dla natężenia prądu zachodzi więc wtedy, gdy częstotliwość siły elektromotorycznej, powodującej przepływ prądu, równa się częstotliwości drgań własnych obwodu RLC. Są to najkorzystniejsze warunki przepływu prądu ze względu na wartość natężenia prądu. Możemy je uzyskać odpowiednio zmieniając parametry L i C obwodu bądź dobierając siłę elektromotoryczną Ԑ o odpowiedniej częstotliwości ω=ω_r.

Indukcyjność w obwodzie prądu zmiennego

Jeżeli do obwodu prądu zmiennego włączyć cewkę o indukcyjności L i rezystancji R, to można przyjąć, że opór pojemnościowy takiego obwodu równa się zero. Zawada tego równania wyrazi się wzorem
. Jest to tzw. Zawada indukcyjna.

Wystarczy zmierzyć napięcie skuteczne U na cewce oraz natężenie skuteczne I prądu płynącego w obwodzie, aby obliczyć wartość zawady indukcyjnej ze wzoru:

(7)

Tak zmierzoną wartość zawady indukcyjnej można wykorzystać do wyznaczenia współczynnika indukcji własnej L cewki. Po przekształceniu otrzymujemy:

(8)

stąd

(9)

Pojemność w obwodzie prądu zmiennego

Obwód indukcyjny R_L obwodu można przyjąć równy zero. Wzór na zawadę takiego obwodu przyjmuje postać

- zawada pojemnościowa

Gdzie:

R_l - opór przewodników łączących elementy obwodu

W tym ćwiczeniu, oraz w wielu innych przypadkach, opór R_l jest znacznie mniejszy od oporu pojemnościowego R_C, stąd można zapisać: Z_C=R_C. Zawadę pojemnościową wyznacza się ze wzoru:

(8)

gdzie:

U oraz I, to napięcie i natężenie skuteczne prądu zmiennego w obwodzie z kondensatorem.

Zawada obwodu RLC

Aby wyznaczyć zawadę obwodu RLC należy elementy obwodu połączyć ze źródłem prądu zmiennego. Zmierzyć napięcie skuteczne U i natężenie skuteczne I prądu zmiennego płynącego w tym obwodzie oraz obliczyć zawadę Z ze wzoru (5).

II Opis ćwiczenia

Wykonanie pomiaru:

1. Połączyć cewkę indukcyjną ze źródłem prądu stałego. Wykonać pomiary natężenia prądu przy trzech różnych napięciach regulowanych za pomocą opornicy suwakowej. Ze wzoru (3) obliczyć opór omowy R cewki.

2. Włączyć cewkę indukcyjną do obwodu ze źródłem prądu zmiennego. Ze wzoru (7) wyznaczyć zawadę indukcyjną Z_L. Pomiary wykonać dla trzech napięć regulowanych za pomocą opornicy suwakowej (R_s).

3. Obliczyć opór indukcyjny cewki R_L ze wzoru (8).

4. Obliczyć współczynnik samoindukcji L ze wzoru (9) i porównać otrzymaną wartość z wartością L obliczoną ze wzoru (4). Wartości r i l należy wyrazić w metrach.

5. Włączyć kondensator do obwodu prądu zmiennego. Wykonać pomiar dla trzech napięć. Ze wzoru (10) wyznaczyć zawadę pojemnościową Z_C.

6. Połączyć szeregowo cewkę i kondensator ze źródłem prądu zmiennego. Wykonać pomiar dla trzech napięć. Wyznaczyć zawadę Z ze wzoru (5).

7. Wyznaczone w ćwiczeniu wartości R, R_L, R_C wykorzystać do obliczenia zawady Z ze wzoru (6). Obliczoną wartość zawady porównać z wartością wyznaczoną w pkt. 6.

Otrzymane wyniki zestawić w tabelce.

Lp.	U	I	R	ZL	RL	L	ZC	Z

Lp.	U	I	R	ZL	RL	L	ZC	Z

10

---