Wzory 9

 

WZORY 9:   przedziały ufności Jerzego Spławy-Neymana zbudowane na podstawie rozkładów dokładnych, określonych przez stopnie swobody

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ, parametry m i σ nie są znane. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

Wzory ogólne przedziałów ufności budowanych na podstawie rozkładów dokładnych, określonych przez stopnie swobody, są następujące:

Rozkład t-Studenta

(9.1)

Rozkład chi-kwadrat

(9.2)

Rozkład F-Snedecora

(9.3)

Ustalając stopnie swobody oraz współczynnik ufności 1 - α na określonym poziomie, najczęściej z przedziału liczbowego <0,9; 1), odczytujemy z tablic odpowiedniego rozkładu (czyli rozkładu t-Studenta, chi-kwadrat lub F-Snedecora) wartości , , ,  i . Statystyki t,  oraz F dane są niżej.

Statystyki z próby o rozkładzie t-Studenta

Statystyki z próby posiadające rozkład t-Studenta określony przez v = n - 1 stopni swobody dane są wzorami (9.A) i (9.B):

(9.A)

gdzie

, i = 1,..., n, ,

, stopnie swobody: v = n - 1.

(9.B)

gdzie

, i = 1,..., n, ,

, stopnie swobody: v = n - 1.

Statystyka z próby posiadająca, przy założeniu  (chociaż, jak pamiętamy z założeń I, parametry  i  nie są znane), rozkład t-Studenta określony przez v = = (n1 - 1) + (n2 - 1) stopni swobody dana jest wzorem (9.C):

(9.C)

gdzie

, , i = 1,..., n1, i = 1,..., n2,

, , i = 1,..., n1, i = 1,..., n2,

, , i = 1,..., n1, i = 1,..., n2,

oraz gdzie

, stopnie swobody: v = (n1 - 1) + (n2 - 1) = n1 + n2 - 2.

Statystyka z próby posiadająca, przy założeniu  (chociaż, jak pamiętamy z założeń I, parametry  i  nie są znane), rozkład t-Studenta określony przez stopnie swobody zapisane wzorem (9.E) dana jest wzorem (9.D):

(9.D) stopnie swobody:      (9.E)

gdzie

, ,  i  dane są wzorami jak wyżej.

Statystyki z próby o rozkładzie chi-kwadrat

Statystyki z próby mające rozkład chi-kwadrat określony przez v = n - 1 stopni swobody dane są wzorami (9.F) i (9.G):

(9.F)

gdzie

S^2 dane jest wzorem jak wyżej, stopnie swobody: v = n - 1.

(9.G)

gdzie

dane jest wzorem jak wyżej, stopnie swobody: v = n - 1.

Statystyka z próby o rozkładzie F-Snedecora

Statystyka z próby posiadająca rozkład F-Snedecora określony przez v1 = n1 - 1 oraz v2 = n2 - 1 stopni swobody dana jest wzorem (9.H):

(9.H)

gdzie

, ,  i  dane są wzorami jak wyżej, stopnie swobody: v1 = n1 - 1, v2 = n2 - 1.

Przedziały ufności

Część I

(9.1)

Wzór (9.A) wstawiamy do wzoru (9.1):

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(9.4)

Losowy przedział ufności (9.4) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby losowej prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (9.4*)

(9.4*)

gdzie

, i = j, j = 1,... n, , i = j, j = 1,... n,

a tα,v odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α oraz ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 tak, aby .

Wzór (9.B) wstawiamy do wzoru (9.1):

.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(9.5) .

Losowy przedział ufności (9.5) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby losowej prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (9.5*)

(9.5*)

gdzie

, i = j, j = 1,... n, , i = j, j = 1,... n,

a tα,v odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α oraz ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 tak, aby .Wzór (9.C) wstawiamy do wzoru (9.1):

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(9.6) .

Losowy przedział ufności (9.6) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) oraz wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2), liczbowym przedziałem ufności (9.6*)

(9.6*)

gdzie

, i = j, j = 1,... n1, , i = j, j = 1,... n2,

, ,

a tα,v odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α oraz ustalonej liczbie stopni swobody v = (n1 - 1) + (n2 - 1) = n1 + n2 - 2 tak, aby .

Wzór (9.D) wstawiamy do wzoru (9.1):

.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(9.7) .

Losowy przedział ufności (9.7) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) oraz wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2), liczbowym przedziałem ufności (9.7*).

(9.7*)

gdzie

dane są wzorami jak wyżej, a tα,v odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α oraz obliczonej liczbie stopni swobody v według niżej podanego wzoru (9.E*) tak, aby .

Stopnie swobody v obliczamy według wzoru: (9.E*) .

Część II

(9.2)

Wzór (9.F) wstawiamy do wzoru (9.2):

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(9.8)

Losowy przedział ufności (9.8) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby losowej prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (9.8*)

(9.8*)                                                                                gdzie

s^2 dane jest wzorem jak wyżej,  oraz  odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α oraz ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 tak, aby  oraz .

Wzór (9.G) wstawiamy do wzoru (9.2):

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy: (9.9)

Losowy przedział ufności (9.9) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby losowej prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (9.9*)

(9.9*)

gdzie

dane jest wzorem jak wyżej,  oraz  odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α oraz ustalonej liczbie stopni swobody v = n - 1 tak, aby  oraz .

Część III

(9.3)

Wzór (9.H) wstawiamy do wzoru (9.3):

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(9.10)

Losowy przedział ufności (9.10) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) oraz wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2), liczbowym przedziałem ufności (9.10*)

(9.10*)

i  dane są wzorami jak wyżej,  oraz , odczytujemy z tablic rozkładu F-Snedecora przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α oraz ustalonej liczbie stopni swobody v1 = n1 - 1, v2 = n2 - 1 tak, aby  oraz .

Warto w tym miejscu przytoczyć wzór

gdzie, jak widzimy, stopnie swobody v1, v2 zamieniają się na v2, v1.

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969; J. Greń: Statystyka matematyczna, podręcznik programowany, PWN, Warszawa 1987; J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998; P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998; J. M. Kenkel: Introductory Statistics for Management and Economics, PWS-Kent Publishing Company, Boston, Massachusetts 1984.

---