3.1

Stałe czasowe mają wpływ na charakterystykę skokową w taki sposób, że od ich wartości zależy długość trwania zmian amplitudy obiektu do czasu jej ustabilizowania. Współczynnik proporcjonalności określa wartość amplitudy odpowiedzi po ustabilizowaniu się obiektu. Współczynnik tłumienia ma wpływ na okres gasnącej sinusoidy im współczynnik większy tym tłumienie dłuższe.

Na podstawie uzyskanych charakterystyk można ocenić liniowość układu dynamicznego.

Transmitancja obiektu inercyjnego drugiego rzędu:

Wyznaczamy stałe czasu T₁, T₂ przy pomocy wartości T_a i T_s

Podstawiając otrzymujemy układ równań z którego możemy wyznaczyć stałe czasu.

3.2

Charakterystyka amplitudowo fazowa elementu o transmitancji widmowej

Zależy od części rzeczywistej i urojonej:

Interpretacja charakterystyki Nyquista:

Na podstawie przebiegu wykresu funkcji charakterystyki Nyquista możemy określić stabilność

jednowymiarowego układu zamkniętego. O stabilności mówi nam kryterium Nyquista:

a) Jeżeli układ otwarty jest stabilny to układ zamknięty jest też stabilny wtedy i tylko wtedy,

gdy wykres charakterystyki G(jω) przy wzroscie ω od 0 do ∞, nie obejmuje punktu o

współrzędnych (-1,j0).

b) Jeżeli układ otwarty nie jest stabilny i jego transmitancja ma r biegunów w prawej

półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej to układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy

wykres charakterystyki G(jω) przy wzroscie ω od 0 do ∞, obejmuje punkt (-1,j0) r/2 razy.

Czasami można stosować tzw. „regułę lewej strony” - układ zamknięty jest stabilny, jeżeli przy

wzroście ω od 0 do ∞, wykres G(jω) leży po lewej stronie punktu (-1, j0)

Z wykresu charakterystyki Nyquista można odczytac także amplitudę - jako odległość danego

punktu charakterystyki od środka układu współrzędnych.

Porównać ch-kę Nyquista obiektu inercyjnego drugiego rzędu z ch-ką Nyquista stabilnego członu

oscylacyjnego.

Obiekt inercyjny drugiego rzędu:

Stabilny człon oscylacyjny:

Jak widać dla członu oscylacyjnego spirala jest nie pełna. Jej kształt różni się znacznie od spirali obiektu inercyjnego.

Charakterystyki Nyquista obrazują dokładnie przebiegi transmitancji widmowej układów na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

Jeżeli układ otwarty jest stabilny asymptotycznie, to układ zamknięty jest stabilny wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa G₀(jω) układu otwartego nie obejmuje na płaszczyznie Im[G(jω)];Re[G(jω)] punktu (-1;j0). Gdy charakterystyka ta przechodzi przez punkt (-1;j0) to układ jest stabilny, ale nie asymptotycznie. Nasze przebiegi nie przechodzą przez punkt (-1;j0) zatem układ jest stabilny.

3.3

Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa jest charakterystyką amplitudową przedstawioną we współrzędnych logarytmicznych.

L(w) = 20logM(w) — logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

Wpływ parametrów obiektu inercyjnego na przebieg charakterystyki:

stała czasowa inercji (T) - określa szybkość przyrostu sygnału na wyjściu obiektu;

stała opóźnienia (T₀) - czas, podczas którego wyróżniamy brak reakcji na sygnał wejściowy. Wpływa ona na moment rozpoczęcia pracy elementu sterowanego. Wpływa również na częstotliwość i amplitudę oscylacji ( im większe To tym większa amplituda). Ma również wpływ na szerokość strefy histerezy N.

współczynnik proporcjonalności (x_p) - wraz ze wzrostem xp maleje poziom sygnału wyjściowego (spada wzmocnienie sygnału) i spada wartość amplitudy oscylacji.

Ch-ki fazowe leżą poniżej osi odciętych. W miarę wzrostu częstotliwości charakterystyki bardzo łagodnie opadają, zaś przy wartości 1 stają się bardziej strome.

3.4

Jakie są inne kryteria stwierdzania stabilności układów automatyki?

Kryteria stabilności:
- analityczne (Hurwitza, Roughta)
- graficzne (Nequista)
- anal-graf (Michałowa)

Czy człony, dla parametrów dla których zostały wykreślone ch-ki, są obiekteami stabilnym?

Układ jest stabilny asymptotycznie, jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa mianownika

transmitancji przebiega kolejno, w lewo przez tyle ćwiartek płaszczyzny zespolonej s ile wynosi stopień tego mianownika.

Analizując otrzymane wykresy stwierdzamy że obiekt jest stabilny asymptotycznie.

3.5

Zgodnie z twierdzeniem, że aby obiekt był sterowalny macierz

o n - wierszach i m - kolumnach miała rząd n, czyli n - liniowo niezależnych kolumn.

Warunek:

Nasz badany obiekt jest sterowany, gdyż rząd macierzy jest równy: n=2, zaś jej wyznacznik jest różny od 0.

Warunek obserwowalności odnoszący się do macierzy W formułuje się następująco: układ jest całkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy
jest równy n.

Warunek:

W zwiąku z tym nasz układ jest obserwowalny n=2, a detW ≠0.

3.6

Dla A1: x²+5,0126x+5,0505=(x+3,6159)(x+1,3968)

Dla A2: x²+4,9030x+4,6325=(x+3,6251)(x+1,2779)

Dla A3: x²+2,0230x+6,1180=(x+1,0115-2,2572i) (x+1,0115+2,2572i)

Dla A4: x²+1,9117x+5,5477=(x+0,9558-2,1527i) (x+0,9558+2,1527i)

Dla A5: x²+2,5000x+6,0000=(x+1,2500-2,1065i) (x+1,2500+2,1065i)

---