pyt. eduk. mat, UKW


Pytania - Edukacja Matematyczna, dr Seidel

  1. Cele edukacji matematycznej zawarte w podstawie programowej dla klas I -III.

Uczeń kończąc klasę I:

  1. w zakresie czynności umysłowych ważnych dla uczenia się matematyki:

  1. ustala równoliczność mimo obserwowanych zmian w układzie elementowo w porównywanych zbiorach

  2. układa obiekty (np. patyczki) w serie rosnące i malejące, numeruje je; wybiera obiekt w takiej serii, określa następne i poprzednie

  3. klasyfikuje obiekty: tworzy kolekcje, np. zwierzęta, zabawki, rzezy do ubrania

  4. w sytuacjach trudnych i wymagających wysiłku intelektualnego zachowuje się rozumnie, dąży do wykonania zadania

  5. Wyprowadza kierunki od siebie i innych osób; określa położenie obiektów względem obranego obiektu; orientuje się na kartce papieru, aby odnajdować informacje (np. w lewym górnym rogu) i rysować strzałki we właściwym kierunku

  6. Dostrzega symetrię (np. w rysunku motyla); zauważa że jedna figura jest powiększeniem drugiej; kontynuuje regularny wzór (np. szlaczek)

  1. w zakresie liczenia i sprawności rachunkowych

  1. sprawnie liczy obiekty (dostrzega regularności dziesiątkowego systemu liczenia), wymienia kolejne liczebniki od wybranej liczby, także wspak (zakres do 20); zapisuje liczby cyframi (zakres do 10)

  2. wyznacza sumy (dodaje) i różnicuje (odejmuje), manipulując obiektami lub rachując na zbiorach zastępczych, np. na palcach; sprawnie dodaje i odejmuje w zakresie do 10, poprawnie zapisuje te działania

  3. radzi sobie w sytuacjach życiowych, których pomyślne zakończenie wymaga dodawania lub odejmowania

  4. zapisuje rozwiązanie zadania z treścią przedstawionego słownie w konkretnej sytuacji, stosując zapis cyfrowy i znaki działań

  1. w zakresie pomiaru:

  1. długości: mierzy długość posługując się np. linijką; porównuje długości obiektów

  2. ciężaru: potrafi ważyć przedmioty; różnicuje przedmioty cięższe, lżejsze; wie, ze towar w sklepie jest pakowany wg wagi

  3. płynów: odmierza płyny kubkiem i miarką litrową

  4. czasu: nazywa dni w tygodniu i miesiące w roku; orientuje się do czego służy kalendarz i potrafi z niego korzystać; rozpoznaje czas na zegarze w takim zakresie, który pomaga mu się orientować w ramach czasowych zajęć szkolnych i domowych obowiązków

  1. w zakresie obliczeń pieniężnych:

  1. zna będące w obiegu monety i banknot o wartości 10 zł; zna wartość nabywczą monet i radzi sobie w sytuacji kupna i sprzedaży

  2. zna pojęcie długu i konieczność spłacenia go

uczeń kończąc klasę III:

  1. liczy (w przód i tył) od danej liczby po 1, dziesiątkami od danej liczby w zakresie 100 i setkami od danej liczby w zakresie 1000

  2. zapisuje cyframi i odczytuje liczby w zakresie 1000

  3. porównuje dowolne dwie liczby w zakresie 1000 (słownie i z użyciem znaków <,>,=)

  4. dodaje i odejmuje liczby w zakresie 100 (bez algorytmów działań pisemnych); sprawdza wyniki odejmowania za pomocą dodawania

  5. podaje z pamięci iloczyny w zakresie tabliczki mnożenia ; sprawdza wyniki dzielenia za pomocą mnożenia

  6. rozwiązuje łatwe równania jednodziałaniowe z niewiadomą w postaci okienka (bez przenoszenia na drugą stronę)

  7. rozwiązuje zadania tekstowe wymagające wykonania jednego działania (w tym zadania na porównywanie różnicowe, ale bez porównywania ilorazowego)

  8. wykonuje łatwe obliczenia pieniężne (cena, ilość, wartość) i radzi sobie w sytuacjach codziennych wymagających takich umiejętności

  9. mierzy i zapisuje wynik pomiaru długości, szerokości i wysokości przedmiotów oraz odległości; posługuje się jednostkami: milimetr, centymetr, metr; wykonuje łatwe obliczenia dotyczące tych miar (bez zmiany jednostek i wyrażeń dwumianowanych w obliczeniach formalnych); używa pojęcia kilometr w sytuacjach życiowych, np. jechaliśmy autobusem 27 kilometrów (bez zamiany na metry)

  10. Waży przedmioty używając określeń: kilogram, pół kilograma, dekagram, gram; wykonuje łatwe obliczenia używając tych miar (bez zamiany jednostek i wyrażeń dwumianowanych w obliczeniach formalnych);

  11. Odmierza płyny różnymi miarkami; używa określeń: litr, pół litra, ćwierć litra

  12. Odczytuje temperaturę (bez konieczności posługiwania się liczbami ujemnymi, pięć stopni mrozu, 3 stopnie poniżej zera)

  13. Odczytuje i zapisuje liczby w systemie rzymskim od I do XII

  14. Podaje i zapisuje daty; zna kolejność dni tygodnia i miesięcy; porządkuje chronologicznie daty; wykonuje obliczenia kalendarzowe w sytuacjach życiowych

  15. Odczytuje wskazania zegarów: w systemi12- i 24- godzinnym, wyświetlających cyfry i ze wskazówkami; posługuje się pojęciami: godzina, pół godziny, kwadrans, minuta; wykonuje proste obliczenia zegarowe (pełne godziny)

  16. Rozpoznaje i nazywa koła, kwadraty, prostokąty, trójkąty (również nietypowe, położone w różny sposób oraz w sytuacji gdy figury zachodzą na siebie); rysuje odcinki o podanej długości; oblicza obwody trójkątów; kwadratów i prostokątów (w cm)

  17. rysuje drugą połowę figury symetrycznej; rysuje figury w powiększeniu i pomniejszeniu; kontynuuje regularność w prostych motywach (np. szlaczki, rozety).

2. Charakterystyka zbioru liczb naturalnych.

Arytmetyka liczb naturalnych

a) do zbioru liczb wymiernych należą wszystkie liczby, które można przedstawić w postaci ilorazu x=p/q gdzie p i q 0x01 graphic
C oraz q ≠ 0

a) ułamki właściwe ,licznik0x01 graphic
mianownik

b) ułamki niewłaściwe licznik 0x01 graphic
mianownik

KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA LICZBY N

1) Co N powinien wiedzieć o liczbie naturalnej?

* zbiory liczb naturalnych (aksjomatyka Peano , i w ujęciu mnogościowym)

* ASPEKTY:

- KARDYNALNY - przekazuje informacje o ilości elementów w zbiorze skończonym

- PORZĄDKOWY - mówi o miejscu elementu w uporządkowanym szeregu elementów (nie ma 0 w tym aspekcie, traktujemy je jako początek)

- MIAROWY - jest wynikiem mierzenia jedności ciągłej ustaloną jednostką

- WARTOŚCI - jest tam zakodowana jakaś wartość

- KODOWY - przekazuje na jakąś informację

- ALGEBRAICZNY - każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci sumy innych liczb

Liczby naturalne nie mają definicji, jest to pojęci pierwotne, czyli niedefiniowalne

Liczba naturalna występuje w :

  1. aspekcie głównym/kardynalnym (mówi nam o ilości elementów w zbiorze skończonym z pomocą liczebnika głównego, który mówi o mocy)

  2. aspekcie porządkowym/ordynarnym (liczna naturalna oznacza tu miejsce elementu w uporządkowanym szeregu elementów)

  3. aspekcie miarowym (l.nat. jest tu wynikiem mierzenia wielkości ciągłej ustaloną jednostką)--------- te trzy aspekty są najważniejsze w klasie I-III

  4. aspekcie kodowym (liczba przekazuje nam zakodowaną w powszechnie znany sposób informację- pieniądze, ceny, oceny etc.)----aspekt wartości to to samo co kodowy!

  5. Aspekcie algebraicznym (l.nat. może być rozumiana jako wynik działania na innych liczbach)

Wybieramy dwie aksjomatyki dla liczb naturalnych

  1. aksjomatyka Peano - mówi o konstrukcji zbioru liczb naturalnych

1° 0 є N

2° n є N => n + 1 є N

3° n є N => n + 1 ≠ 0

4° (m,n) є N => m+1 =n+1 =>m=n

  1. aksjomatyka mnogościowa - mówi o interpretacji liczb naturalnych

1° istnieje pewien zbiór N, którego elementy nazywany liczbami naturalnymi

2° każdemu zbiorowi skończonemu A przyporządkowana jest pewna liczba naturalna zwana liczebnością tego zbioru, liczbą elementów tego zbioru lub mocą tego zbioru

3° jeżeli zbiór A i B są skończone to z warunku, ze liczba elementów w zbiorze A jest równa liczbie elementów zbioru B, wynika, ze te dwa zbiory A i B są równoliczne

4° każda liczna naturalna jest przyporządkowana co najmniej jednemu zbiorowi skończonemu

Liczby naturalne są ujęte w systemy:

  1. system rzymski

  2. system arabsko-hinduski

  3. system dziesiątkowy

  4. system dwójkowy

  5. system trójkowy

podstawowe pojęcia teorii mnogości - działania na zbiorach

  1. cześć wspólna zbiorów (=iloczyn zbiorów = przekrój zbiorów)

0x01 graphic
częścią wspólną A i B nazywamy zbiór do którego należą te elementy, które należą do zbioru A i jednocześnie do zbioru B

A ∩ B = {a; a є A ^ a є B}

Własności:

1. część wspólna zbiorów jest naprzemienna A ∩ B= B ∩ A

2. A ∩ A = A

3. A ∩ Ø = Ø

4. część wspólna zbiorów A i B jest łączną, tzn. że jeżeli mamy więcej niż dwa zbioru to też mogą część wspólną stworzyć (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B∩C)

  1. suma zbiorów (= złączenie zbiorów)

0x01 graphic
opiera się na alternatywie; złączeniem zbiorów A i B nazywamy zbiór takich elementów a które należą do zbioru A lub zbioru B

A U B = {a; a є A v a є B}

Własności:

1. A U B = B U A

2./ A U A= A

3. A U Ø = A

4. (A U B ) U C = A U (B U C)

  1. różnica zbiorów

0x01 graphic
różnicą zbioru A i B nazywamy zbiór takich elementów a które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B

A\B = {a; a є A ^ a ¢( nie należy) B}

DOPEŁNIENIEM ZBIORU B DO ZBIORU A NAZYWAMY RÓŻNICĘ ZBIORU A\B!

Własności:

  1. A\A = Ø

  2. A\ Ø= A

3. Omów wprowadzenie mnożenia w klasach I - III.

Kształtowanie umiejętności mnożenia i dzielenia, podobnie jak i dodawania i odejmowania powinno prowadzić do systematycznego ujawniania liczby naturalnej z uwzględnieniem trzech podstawowych aspektów liczby.

Mnożenie wprowadzane jest w kilku etapach

  1. Obliczanie iloczynów dwóch liczby jednocyfrowych (kl I-II)

  2. Iloczyny liczb dwucyfrowej przez jednocyfrową (kl III)

  3. Iloczyny liczb wielocyfrowych przez pełne dziesiątki, pełne setki ( kl IV)

  4. Iloczyny liczb wielocyfrowych przez liczby wielocyfrowe (kl IV)

Wprowadzając kolejne etapy działań należy stosować zasadę stopniowania trudności uwzględniając:

  1. Klasyfikację pod względem trudności rachunkowej:

  1. Klasyfikację pod względem stopnia zaawansowania na drodze od konkretu do formalnego algorytmu

4. Zasady organizowania pracy domowej.

Praca domowa- to druga po zajęciach szkolnych, ważna forma pracy dydaktyczno- wychowawczej. Powinna towarzyszyć w zasadzie każdym zajęciom lekcyjnym i mieć określony cel.

Zasady organizowania:

5. Interpretacja rzeczowa i metodyczna mnożenia liczb naturalnych.

a) wychodzimy od dodawania takich samych składników

b) prezentujemy inny sposób zapisu; poprzez: czynnik* czynnik =iloczyn

c)łączenie zbiorów o tej samej liczbie elementów (jednorodne elementy)

d) organizowanie treści aby zachować powtarzalność czynności:

#Mama dała dziecku dwie marchewki na śniadanie i dwie marchewki na drugie śniadanie do szkoły. Ile dziecko zjadło marchewek tego dnia?

2+2 =4

2*2= 4 - 2 razy po tyle samo (rysujemy zbiory, liczymy na liczmanach)

# Każdego dnia dziecko zjada 2 marchewki. Ile marchewek zje w ciągu 5 dni?

2+2+2+2+2= 5*2 (rysujemy zbiory liczymy na liczmanach)

BARDZO WAŻNA METODA CZYNNOŚCIOWA

e) Tabliczka mnożenia- pamięciowe opanowanie 100 operacji wykonywanych na liczbach jednocyfrowych

do 20- klasa 2;

do 30- klasa 3, do 100 koniec klasy 3

f) mnożenie w aspekcie porządkowym

# Kominiarz wchodził po drabinie co dwa szczeble łącznie wykonał 3 kroki. Na którym szczeblu drabiny się zatrzymał? ( możemy wykorzstać patyki, lub oś liczbową)

g) mnożenie w aspekcie miarowym( na klockach Cuisienera)

# Żaba skoczyła 3 razy po 2 kamienie. Jak daleko skoczyła żaba?

h) PRAWO MNOŻENIA:

# przemienność a*b= b*a

w aspekcie kardynalnym: Dzieci miały zjeść 3 razy dziennie po dwie marchewki. Adam jadł jak mama kazała, natomiast Piotr zjadł 2 razy na dzień po 3 marchewki. Ile marchewek zjadło każde dziecko? ( rysujemy zbiory)

3*2=6

2*3=6

3*2=2*3

w aspekcie porządkowym

Dwa zajączki skakały na łące. Jeden z nich wykonał 3 skoki o długości 2 kroków, natomiast drugi 2 skoki o długości 3 kroków. Ile kroków przeskoczył każdy z zajączków? (wykorzystujemy oś liczbową, zaznaczamy kroki (1,2,3....) i na tym skoki zajączków)

w aspekcie miarowym

Brukarz chciał położyć chodnik o szerokości 8 z różnych kostek. Pomóż mu to zrobić stosując tylko jedną długość kostek brukowych w jednym rzędzie. ( klocki Cuisenera)

6. Środki dydaktyczne w liczbach naturalnych.

można tutaj ilustrować pojęcie liczby naturalnej w różnych aspektach, działania na liczbach oraz własności działań a także rozwiązywać proste równania. Podstawowym elementem jest klocek sześcienny w kolorze białym. Pozostałe różnią się długością i wielokrotnością długości klocka białego i dodatkowo kolorem. Kolor związany jest z długością.

specjalne klocki , mające od 1 do 10 segmentów będące wizualizacja liczby i wizualizacja tez
tego, jakie są związki między liczbami, np że liczba sześc może być wynikiem kilku różnych działań... (poznałyśmy je z dr. Nowak

7. Środki dydaktyczne w zbiorach.

Pomoce dydaktyczne w nauczaniu o zbiorach:

8. Metodyczne własności wprowadzenia porównywania ilorazowego.

9. Przykłady rachunku pamięciowego dla f. indywidualnej, zbiorowej i grupowej.

Podaję kilkanaście ciekawszych form rachunku pamięciowego. Myślę, że bez sensu jest rozdzielanie tego na poszczególne klasy. Wystarczy zmienić zakres liczbowy i zadania dla odpowiedniego etapu gotowe!

0x01 graphic
Powtórzenie dodawania w zakresie 10- nauczyciel pokazuje wskaźnikiem działanie np.: 6+2. Dzieci podnoszą kartonik z wynikiem 8. Praca odbywa się bez słów. Tą samą tarczę można wykorzystać w zadaniach: która liczba jest większa 8 czy 7? (dzieci podnoszą kartonik z 8), która liczba jest mniejsza 2 czy 5? itp.

Można to też wykorzystać do powtórzenia mnożenia i zamiast „+ - „wpisujemy „x”.