ROZDZ2B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów


gdzie 0x01 graphic
oznacza moment bezwładności pola przekroju ciała płaszczyzną pływania względem osi x (obliczony zgodnie z oznaczeniami osi przyjętymi na rys. 2.8c). Wprowadzając tę zależność do wzoru (2.38) obliczamy

0x01 graphic
(2.40)

gdzie τ jest objętością zanurzonej części ciała.

Oznaczmy odległość środka ciężkości od środka wyporu literą a; przyj-miemy 0x01 graphic
gdy środek ciężkości leży powyżej środka wyporu. Przedłużając linię działania siły 0x01 graphic
otrzymujemy na przecięciu się z osią punkt M, nazywany punktem metacentrycznym lub metacentrum . Odległość metacentrum od środka ciężkości nazywa się wysokością metacentryczną; jest ona oznaczana literą m. Przyjmuje się w przypadku gdy metacentrum leży powyżej środka ciężkości 0x01 graphic
Z rys. 2.8b i 2.8d wynika, że ciało pływające na powierzchni jest stateczne w zakresie małych wychyleń z położenia równowagi o elementarnie mały kąt, gdy odległość metacentryczna jest dodatnia

0x01 graphic
(2.41)

Z zależności geometrycznych, widocznych na rys. 2.8b, wyznaczamy

0x01 graphic

i następnie po wykorzystaniu (2.40) ostatecznie otrzymujemy

0x01 graphic
(2.42)

ĆWICZENIA

Przykład 2.1. Mikromanometr napełniony dwiema cieczami nie mieszającymi się o różnych gęstościach i zbudowano w kształcie U-rurki z dwoma zbiorniczkami (rys. 2.9). Średnica rurki d = 8 mm, średnica zbiorniczka D = 80 mm. Określić zależność pomiędzy różnicą ciśnień 0x01 graphic
a wysokością h słupa cięższej cieczy.

0x01 graphic

Rys. 2.9

Z rys. 2.9 wynikają zależności:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

które odejmujemy stronami

0x01 graphic

Z porównania wypartych objętości cieczy mamy

oraz

czyli

Po wykorzystaniu tych wzorów uzyskujemy związek

0x01 graphic

i ostatecznie otrzymujemy

0x01 graphic

Przykład 2.2. Do U-rurki zatopionej z jednej strony nalewano stopniowo rtęci (rys. 2.10). Znając ciśnienie atmosferyczne oraz wysokość rurki h, wyprowadzić zależność między wysokościami a i b poziomów rtęci w obu ramionach U-rurki.

0x01 graphic

Rys. 2.10

Zakładamy, że sprężanie powietrza w zamkniętym ramieniu U-rurki odbywa się izotermicznie. Obowiązuje więc w tym przypadku prawo Boyle'a-Mariotte'a

0x01 graphic

gdzie jest nieznanym ciśnieniem powietrza.

Drugie równanie wynika z warunku równości ciśnień na poziomie 0-0:

0x01 graphic

Po wyeliminowaniu ciśnienia 0x01 graphic
otrzymujemy:

0x01 graphic

Przykład 2.3. W akumulatorze hydraulicznym (rys. 2.11) całkowicie wypełnionym olejem o gęstości 0x01 graphic
zainstalowano dwa cylindry z tłokami, przesunięte względem siebie o wysokość h = 0,5 m. Na tłok o średnicy d = 25 mm działa siła 0x01 graphic
Jaką siłę należy przyłożyć do drugiego tłoka, o średnicy D = 100 mm, aby układ znajdował się w stanie równowagi?

0x01 graphic

Rys. 2.11

Ciśnienie na poziomie osi symetrii tłoka o średnicy D (poziom 1 na rys. 2.11) wynosi

0x01 graphic
.

Ponieważ:

0x01 graphic

zatem

0x01 graphic

Z ostatniej zależności wyznaczamy siłę

0x01 graphic

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy

0x01 graphic

Przykład 2.4. Cylindryczny zbiornik wypełniony cieczą wiruje dookoła pionowej osi ze stałą prędkością kątową ω (rys. 2.12a). Wyznaczyć kształt powierzchni swobodnej w zbiorniku oraz określić rozkład ciśnienia.

0x01 graphic

Rys. 2.12

Jednostkowa siła masowa działająca na dowolną cząstkę w naczyniu (rys. 2.12b) jest wypadkową jednostkowej siły ciężkości i jednostkowej siły bezwładności, które wyrażają się następującymi zależnościami:

0x01 graphic

Równanie powierzchni ekwipotencjalnej ma postać

0x01 graphic

po jego scałkowaniu uzyskujemy związek

0x01 graphic

który łatwo można zapisać w układzie współrzędnych cylindrycznych

0x01 graphic

Powierzchnie ekwipotencjalne (również powierzchnia swobodna) są więc paraboloidami obrotowymi.

Z warunku dla mamy

0x01 graphic

a stałą można wyznaczyć porównując objętość cieczy w spoczynku i ustalonym ruchu obrotowym.

Rozkład ciśnienia wynika z rozwiązania równania (2.9). Po jego scałkowaniu i wyznaczeniu stałej całkowania z warunku dla , otrzymujemy

0x01 graphic

Przykład 2.5. Określić stosunek wysokości zapory do jej szerokości z warunku, że moment Ph wywracający zaporę stanowi połowę momentu ustateczniającego G b (rys. 2.13). Długość zapory w kierunku normalnym do płaszczyzny przedstawionej na rysunku 2.13 wynosi L; zaporę traktujemy jako bryłę jednorodną o ciężarze właściwym ; ciężar właściwy wody .

0x01 graphic

Rys. 2.13

Parcie działające na zaporę obliczamy ze wzoru (2.26)

0x01 graphic

Odległość punktu przyłożenia wypadkowej parcia od zwierciadła wody jest określona wzorem (2.28). Wobec tego

0x01 graphic

Zważywszy następnie, że:

0x01 graphic

ze wzoru

0x01 graphic

obliczamy

0x01 graphic

Przykład 2.6. Zbiornik wody jest zamknięty obrotową płytą, wygiętą w kształcie ćwiartki walca kołowego i obracającą się względem osi, której śladem jest punkt S (rys. 2.14). Należy obliczyć wypadkowe parcie 0x01 graphic
na płytę, jego punkt przyłożenia oraz moment względem osi S. Szerokość zbiornika wynosi L.

0x01 graphic

Rys. 2.14

Składowe Px i Pz wynikają bezpośrednio ze wzorów (2.30) i wynoszą:

0x01 graphic

Dowolne parcie elementarne przechodzi przez punkt N, przez ten punkt będzie również przechodzić wypadkowa układu parć elementarnych. Stąd wyznaczymy
kąt β, jaki tworzy siła 0x01 graphic
z płaszczyzną poziomą.

Linia działania składowej Px jest określona wzorem (2.31); jej odległość od zwierciadła cieczy jest więc równa

0x01 graphic

Linia działania składowej Pz przechodzi przez środek ciężkości bryły jednorodnej, o podstawie będącej różnicą powierzchni H R i ćwiartki koła; jej położenie określamy wykorzystując wzór (2.32)

0x01 graphic

Moment MS wypadkowej 0x01 graphic
względem osi S jest sumą momentów obu składowych Px i Pz względem tej osi

0x01 graphic

Przykład 2.7. Areometr zanurza się w wodzie o gęstości 0x01 graphic
do głębokości 0x01 graphic
a w cieczy o gęstości 0x01 graphic
do głębokości 0x01 graphic
Na jaką głębokość 0x01 graphic
zanurzy się on w cieczy o gęstości 0x01 graphic

Na podstawie prawa Archimedesa możemy napisać następujące równania równowagi

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
oznacza masę areometru, 0x01 graphic
- przekrój rurki areometru, a 0x01 graphic
- objętość ku-listej części areometru.

Z powyższych równań otrzymamy

0x01 graphic

skąd wynikają dwie zależności dla przekroju rurki areometru:

0x01 graphic

0x01 graphic

z których wyznaczamy szukaną wielkość 0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład 2.8. Obliczyć stosunek średnicy D do tworzącej L walca kołowego jednorodnego o ciężarze właściwym 0x01 graphic
pływającego w cieczy o ciężarze właściwym 0x01 graphic
w taki sposób, że jego tworzące są normalne do zwierciadła cieczy (rys. 2.15).

0x01 graphic

Rys. 2.15

Warunek równowagi trwałej wynika ze wzorów (2.41) i (2.42). Obliczamy poszczególne wielkości. Moment bezwładności płaszczyzny pływania względem osi poziomej x wynosi

Objętość zanurzona

0x01 graphic

Odległość środka ciężkości SC od środka wyporu SW

0x01 graphic

Po podstawieniu tych wielkości do warunku (2.42) otrzymujemy

0x01 graphic

46



Wyszukiwarka