Tomasz Pajączkowski

15.05.2001

Ćwiczenie nr 2c.

Temat: Pomiar przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.

Tabela wartości:

	czas [s]
1	14,114
2	14,119
3	14,117
4	14,100
5	14,113
6	14,109
7	14,114
8	14,116
9	14,118
10	14,118
Σ	14,1138

Teoria zjawiska:

Przez ciężar ciała rozumiemy siłę z jaką Ziemia przyciąga dane ciało. Siła ta nadaje swobodnie spadającemu ciału przyspieszenie g zwane przyspieszeniem ziemskim. Wartość tej siły można przedstawić wzorem: F = mg.

Wartość przyspieszenia ziemskiego nie jest stała, ale zależy od położenia punktu na powierzchni Ziemi. Przyczynami tego zjawiska są: a) spłaszczenie kuli ziemskiej, b) ruch obrotowy Ziemi, c) niejednorodność budowy Ziemi.

Jak wiadomo Ziemia ma kształt zbliżony do elipsoidy obrotowej, spłaszczonej od strony biegunów geograficznych, w skutek tego wartość g zależy od szerokości geograficznej i jest największa na biegunie, a najmniejsza na równiku.

Ruch obrotowy Ziemi powoduje powstanie siły odśrodkowej, która zmniejsza ciężar każdego ciała znajdującego się na Ziemi. Siła odśrodkowa jest prostopadła do osi ziemskiej, a więc jej kierunek względem poziomu zależy od szerokości geograficznej. Zmniejszenie ciężaru ciała jest największe na równiku i w miarę zbliżania się do bieguna maleje do zera.

Wartość g zmienia się w skutek działania tych dwóch czynników od wartości ok. 9,78m/s² na równiku do ok. 9,83m/s² na biegunie.

Niejednorodność budowy Ziemi, jak i również ukształtowanie powierzchni Ziemi powodują niewielkie lokalne wahania wartości g.

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Siłę ciężkości działającą na ten punkt materialny rozkładamy na dwie składowe - równoległą i prostopadłą do nici ( tak jak zostało to pokazane na poniższym rysunku ). Składowa równoległą jest zrównoważona przez siłę naciągu nici, natomiast składowa prostopadła jest bezpośrednią przyczyną drgań tego wahadła.

Ruchem harmonicznym nazywamy taki ruch drgający, w którym siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia i zwrócona ku środkowi drgań.

F = -4π²mx/T² gdzie x - wychylenie

Wyprowadzenie wzoru roboczego:

Z powyższego wzoru widać jasno, że siła powodująca ruch wahadła jest siłą wprost proporcjonalną do wychylenia, z czego wynika, że ruch wahadła dla małych wychyleń można uznać za harmoniczny.

Ponieważ g i l są wielkościami stałymi, równanie to wyraża zasadniczą cechę dynamiczną ruchu harmonicznego: przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia.

F = -4π²mx/T² = -mg x/l

Po przyrównaniu powyższych wartości otrzymujemy: g = 4π²l/T² ( stąd T = 2π (l/g)1/2 )

Opis metody z opisem przeprowadzonego eksperymentu:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego. Cały pomiar przy wykorzystaniu tej metody sprowadza się do wyznaczenia długości nici l na której zawieszona jest kulka i czasu okresu wahadła T.

W tym celu należy odchylić wahadło o 4-5° i zmierzyć jego okres, co też uczyniłem.

Przy dużym zautomatyzowaniu aparatury jaką dysponowaliśmy możliwe było uzyskanie bardzo dokładnych, powtarzalnych wartości eksperymentalnych. Co niewątpliwie winno mieć swoje odzwierciedlenie w końcowej wartości g.

Uzyskane wyniki zebrałem w powyższej tabeli a następnie na ich podstawie dokonałem końcowych obliczeń i wyciągnąłem ostateczne wnioski.

Obliczenia do wykonanego ćwiczenia:

T = t/10 = 1,41 s

l = 49 cm = 0,49 m

Po podstawieniu do powyższego wzoru powyższych wartości otrzymałem: g = 9,73m/s²

Szacowanie niepewności pomiaru:

Δx(t) = 0,001s

U_B(t) = Δx(t)/3^1/2 = 0,0058s

U_A(t) = U_A(t) = [ Σε²/n(n-1) ]^1/2 = 0,00002 s

U_C(T) = 0,00058s

Δx(l) = 0,1·10^-2m

U_C(l) = Δx(l)/3^1/2 = 0,1·10^-2/3^1/2 = 0,00058m

Wyznaczanie pochodnych cząstkowych:

ðg/ðT = 8π²l/T³ = 13,8m/s³

ðg/ðl = 4π²/T² = 30,8 1/s²

U_C(g) = [ (ðg/ðT)² U_C²(T) + (ðg/ðl)² U_C²(l) ]^1/2 = 0,02m/s²

dla α = 0,95

U = 2· 0,02m/s² = 0,04m/s²

Ostatecznie g = ( 9,73 ± 0,04 ) m/s²

Wnioski:

Wyznaczona wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi g = ( 9,73 ± 0,04 ) m/s². Jest ona zbliżona do wartości rzeczywistej, co dowodzi poprawności wykonanego ćwiczenia.

F = mg

F₁ = -F sinα

sinα = łuk AA'/l

dla małych kątów można przyjąć łuk AA' = x

gdzie x - prosta łącząca punkty A i A'

wówczas:

F₁ = -mg x/l

---