Teoria produkcji

1. Funkcja produkcji

2. Ekspansja produkcji w długim okresie (LR)

3. Ekspansja produkcji w krótkim okresie (SR)

4. Malejące korzyści skali

☺ Przykład: Stałe korzyści a malejący produkt

krańcowy

Funkcja produkcji

W przeciwieństwie do użyteczności, która ma charakter porządkowy, produkcję można mierzyć. Firmy zatrudniają czynniki produkcji aby wyprodukować „mierzalny” produkt. Proces produkcji można zapisać w postaci wzorów przedstawiających dokładne ilości czynników „łączonych” na każdym etapie produkcyjnego procesu. Produkt końcowy można więc przedstawić w postaci funkcji produkcji, np.:

x = K^1/2 L^1/2 .

(Tabela 10.1 i rys. 10.1)

Technologiczna efektywność

Jest to podstawowe założenie czynione w odniesieniu do funkcji produkcji: Kiedy czynniki są wykorzystane do wytworzenia produktów, to kombinacja czynników jest efektywna technologicznie, jeśli NIE jest możliwe otrzymać ten produkt przy zatrudnieniu mniejszej ilości jednego z czynników i nie większej ilości innego czynnika. W przeciwnym razie pojawiłyby się straty.

Technologiczna efektywność oznacza, że jeżeli zatrudnienie jednego czynnika rośnie, przy niezmienionym zatrudnieniu innych czynników, to produkcja musi wzrosnąć. Jeżeli produkcja nie wzrosłaby, to zwiększone zatrudnienie tego czynnika zostałoby stracone.

i
(Jest to odpowiednik założenia o nienasyceniu z teorii konsumenta.)

(rys. 10.2)

Malejąca krańcowa stopa technicznej substytucji (MRTS)

Założenie dotyczące produkcji: izokwanty są wypukłe względem początku układu współrzędnych - malejąca MRTS.

(Odpowiednik malejącej MRS w teorii konsumenta.)

Ujemne nachylenie izokwanty definiujemy jako MRTS:

ponieważ izokwanta ma nachylenie ujemne. Czyli:

ponieważ
na podstawie wypukłości.

Na przykład:

(Cechy funkcji produkcji można streścić dzięki porównaniu z aksjomatami dotyczącymi preferencji konsumenta.)

(Ekonomiści estymują izokwanty funkcji produkcji na podstawie decyzji przedsiębiorstw i po przyjęciu założeń o zatrudnieniu czynników charakteryzującym się efektywnością technologiczną i minimalizacją kosztów.)

Efektywność ekonomiczna i linie izokosztów

Założenie o minimalizacji kosztów określa się mianem założenia o efektywności ekonomicznej głoszącej, że NIE jest możliwe wytworzyć dany produkt po niższych kosztach przy danych cenach czynników.

Oznaczenia:

TC - koszt całkowity;

L - praca;

K - kapitał;

w - rynkowa stawka płac;

r - rynkowa stawka

opłaty za kapitał.

Koszt całkowity wynosi więc:

TC = wL + rK.

Utrzymując TC i ceny czynników jako stałe z powyższego równania możemy wyznaczyć kombinację pracy i kapitału niezbędne do produkcji po określonych kosztach:

K = TC /r -(w/r)L.

Jest to wzór na linię izokosztów. (rys. 10.3)

******

Ekspansja produkcji w długim okresie (LR)

Długi okres (LR): nakłady wszystkich czynników produkcji można zmieniać;

Krótki okres (SR): nakłady części czynników produkcji są stałe.

Korzyści skali

Przy ekspansji produkcji w LR funkcje produkcji mogą wykazywać cechę: homogeniczności. (Funkcja jest homogeniczna stopnia k jeżeli: f(αx, αy) = α^k f (x, y) dla wszystkich α ≥ 0.)

Homogeniczność funkcji produkcji dzieli się na trzy klasy:

1. Jeżeli np. podwoimy zatrudnienie wszystkich czynników, to wielkość produktu też się podwoi: funkcja produkcji charakteryzuje się stałymi korzyściami skali - jest homogeniczna stopnia 1:

f(αx, αy) = α¹ f (x, y), k = 1.

2. Jeżeli np. podwoimy zatrudnienie wszystkich czynników, a wielkość produkcji zwiększy się mniej niż dwukrotnie, to funkcja produkcji charakteryzuje się malejącymi korzyściami skali - stopień homogeniczności jest mniejszy niż 1:

f(αx, αy) = α^k f (x, y), 0 < k < 1.

3. Jeżeli np. podwoimy zatrudnienie wszystkich czynników, a wielkość produkcji zwiększy się więcej niż dwukrotnie, to funkcja produkcji charakteryzuje się rosnącymi korzyściami skali - stopień homogeniczności jest większy niż 1.

f(αx, αy) = α^k f (x, y), k > 1.

Przykład:

x = K^αL^β dla α, β > 0

x (ΘK, ΘL) = (ΘK)^α(ΘL)^β = Θ^α+β K^αL^β .

Z powyższego zapisu wynika:

α + β = 1: funkcja jest homogeniczna stopnia 1 (stałe

korzyści skali)

α + β < 1: funkcja jest homogeniczna stopnia < 1 (malejące

korzyści skali)

α + β > 1: funkcja jest homogeniczna stopnia > 1 (rosnące

korzyści skali).

Ekspansja produkcji w krótkim okresie (SR)

(rys. 10.5) Dla stałego zatrudnienia kapitału zmienia się zatrudnienie pracy: ekspansja produkcji może odbywać się wzdłuż ścieżki rozwoju w SR.

Produkt (fizyczny): całkowity, przeciętny i krańcowy

Na podstawie rys. 10.6 można zapisać wzór funkcji produkcji:

: całkowity produkt pracy: TP_L .

(Analogicznie:
: całkowity produkt kapitału: TP_K .)

Przeciętny produkt pracy (AP_L) =

Przeciętny produkt kapitału (AP_K) =

Krańcowy produkt pracy (MP_L) =

Krańcowy produkt kapitału (MP_K) =

Przykład:

x = K^αL^β dla α, β > 0

Rys. 10.7 przedstawia wyprowadzenie AP_L i MP_L (wyprowadzenie geometryczne !)

MPP a MRTS

(Analogicznie do MU i MRS)

Aby wykazać zależność między MP i MRTS wyprowadzamy różniczkę zupełną funkcji produkcji przy założeniu o stałości wielkości produkcji:

• funkcja produkcji: x = x (K, L)

• różniczka zupełna:
  (wzdłuż izokwanty)

• MRTS:
  

Rys. 10.8: z malejącej MRTS wynika, że jeżeli zatrudnienie pracy zwiększa się przy ruchu wzdłuż izokwanty, to MP_L musi maleć względem MP_K.

Malejące przychody

Ważną cechą większości funkcji produkcji są malejące przychody z zatrudnienia zmiennych czynników. Jeżeli zatrudniony jest tylko jeden zmienny czynnik, to malejące przychody są tym samym, co malejący MP.

Dla ogólnej postaci Cobb - Douglas'a funkcji produkcji:

x = K ^αL^β dla α, β > 0

⇒ ta funkcja produkcji wykazuje malejące przychody względem zatrudnienia pracy, jeżeli:

β - 1 < 0 (β < 1).

Analogicznie:

⇒ malejące przychody dla α < 1.

(Jeżeli zatrudniony jest tylko jeden zmienny czynnik, to malejące przychody gwarantują, że krzywa podaży produktu w SR ma nachylenie dodatnie, a krzywa popytu na czynnik ma nachylenie ujemne.)

Malejące przychody a stałe i malejące korzyści skali

Jeżeli funkcja produkcji wykazuje stałe lub malejące korzyści skali, to MP_L i MP_K maleją - rys. 10.9.

Przy stałych korzyściach skali TP_L jest wklęsły (nachylenie maleje ze wzrostem zatrudnienia pracy). Przy stałych korzyściach skali podwojenie zatrudnienia czynników prowadzi do podwojenia produktu. Poruszając się wzdłuż promienia 45⁰ widzimy, że rzeczywiście podwojenie zatrudnienia czynników prowadzi do podwojenia produktu.

Przy stałych korzyściach, jeżeli zatrudniana jest stała ilość kapitału,
, malejąca MRTS gwarantuje, że wzrost zatrudnienia pracy niezbędny do uzyskania danego przyrostu produktu musi być większy. A przecież MP_L maleje. Powód tego przedstawia dyskretna wersja MP_L: MP_L = Δx/ΔL. Ponieważ licznik jest stały, a mianownik rośnie, to stosunek musi maleć.

Przy malejących korzyściach skutek jest jeszcze silniejszy. Przyrosty produktu (Δx) maleją, zatrudnienie pracy (ΔL) rośnie z jednej izokwanty na drugą przy stałym zatrudnieniu kapitału (
). Tak więc licznik wyrażenia na MP_L maleje, a mianownik rośnie, czyli stosunek musi maleć.

Przy rosnących korzyściach, (Δx) rośnie między izokwantami, czyli zarówno licznik, jak i mianownik wyrażenia na MP_L rośnie, a produkt krańcowy może zmaleć lub wzrosnąć.

Przykład

Dla ogólnej postaci Cobb - Douglas'a funkcji produkcji:

x = K ^αL^β dla α, β > 0:

1. x wykazuje stałe korzyści jeżeli α + β = 1, malejące korzyści, jeżeli: α + β < 1 i rosnące korzyści, jeżeli:

α + β > 1

2.
: malejące przychody dla β < 1

3.
: malejące przychody dla α < 1

Podsumowując możemy więc stwierdzić, że jeżeli funkcja produkcji wykazuje stałe lub malejące korzyści skali, wtedy

β - 1 < 0 i α - 1 < 0, gdyż α + β ≤ 1. Z tego wynika, że dla obydwu czynników istnieją malejące przychody. Jeżeli funkcję charakteryzują rosnące korzyści, α + β > 1, możliwe jest istnienie rosnących przychodów dla jednego lub obu czynników.

Dowód, że stałe korzyści skali determinują malejący produkt krańcowy

Stałe korzyści skali, inaczej liniowa homogeniczność, oznaczają:

f(αK, αL) = αf(K, L).

Po zróżniczkowaniu względem α :

(równanie Euler'a)

Różniczkujemy równanie Euler'a względem L:

Po przekształceniu:

Różniczkujemy równanie Euler'a względem K:

Różniczka zupełna funkcji produkcji (wzdłuż izokwanty):

Malejąca MRTS,
. To oznacza, że f_KL > 0. Czyli jeżeli f_LLL + f_KLK = 0 i f_LKL + f_KKK = 0, to f_LL < 0 i f_KK < 0, z czego wynikają malejące produkty krańcowe.

11

☺

---